画法几何投影变换

第九讲投影变换§5-1概述§5-2换面法基本要求§5-3旋转法基本要求（1）掌握换面法的基本原理和换面法作图的投影变换规律。（2）掌握用换面法求线段实长、平面图形实形及其对投影面的倾角基本作图方法。（3）掌握用换面法解决一般空间几何元素间的定位和度量问题。（4）了解用旋转法的基本原理及用旋转法求线段实长的作图方法。§5-1概述当直线或平面对于投影面处于特殊位置（平行或垂直）时，它们的投影反映线段的实长、平面的实形及其对投影面的倾角，当它们处于垂直位置时，至少有一个投影具有积聚性。当直线或平面和投影面处于一般位置时，则它们的投影就不具备上述的特性。投影变换就是将直线或平面由一般位置变换为和投影面平行或垂直的位置，从而简便地解决一些定位、度量问题。将直线或平面从一般位置变换为与投影面平行或垂直的位置，一般有三种途径，即：•几何元素不动，变换投影面称换面法；•投影面不动，变换几何元素称旋转法；•几何元素和投影面都不动，变换投影方向称换向法；aabbbaabccddaabbccaabb两点之间距离aabbcc三角形实形一般位置与特殊位置时求解一些量度、定位问题方法对比aabbccddabbccdd直线与平面的交点abcdabc(d)两平面夹角θa§5-2换面法换面法就是保持空间几何元素不动，用新的投影面替换旧的投影面，使新投影面对于空间几何元素处于有利于解题的位置。一、换面法的基本概念二、新投影面的选择原则三、点的投影变换规律四、六个基本问题VAHCBcbXaabc一、换面法的基本概念a1c1b1V1X1X1换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的投影面，使其对新投影面的相对位置变成有利于解题的位置，作出在新投影面上的投影并解决有关问题。V/H体系变为V1/H体系c1b1a1(b)cabacX新投影面V1⊥H新轴旧投影面旧轴保留的不变投影面新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：1、新投影面必须使空间几何元素处于有利解题的位置。2、新投影面必须垂直于保留投影面。VAHCBcbXaabcV1X1c1b1a1二、新投影面的选择原则三、点的投影变换规律1、点的一次变换2、点的投影变换规律3、点的两次变换a1aXVHaVHXV1a1aAa2点的投影变换规律1、点的新投影和保留投影的连线，必垂直于新投影轴。2、点的新投影到新投影轴的距离，等于点本次被换掉的旧投影到本次被换掉的旧投影轴的距离。1点的一次变换点在V/H1体系中的投影a1VHXaAaa1a1XVHaaa′a1⊥X1a1x1﹦axxa2aaa1XVH3点的两次变换V1X1a2a1aAa四、六个基本问题1、把一般位置直线变为投影面平行线例题12、把投影面平行线变为投影面垂直线3、把一般位置直线变为投影面垂直线思考题1思考题2例题24、把一般位置平面变为投影面垂直面例题3例题45、把投影面垂直面变为投影面平行面6、把一般位置平面变为投影面平行面例题5VHXAaBbab1、把一般位置直线变为投影面平行线a1b1a1b1babaXVH例题1求直线ΑΒ的实长及倾角β。babaXHVa1b1SCVHXaAabBba1b1XVHaaa12、把投影面平行线变为投影面垂直线bb（b1）a1(b1)3把一般位置直线变为投影面垂直线（投影作图）aaXVHbba2（b2）aaXbbcc思考题1如何求点C到直线AB的距离？aaXVHbba2b2提示VH把一般位置直线变为投影面垂直线aaXbbcdcd思考题2如何求两直线AB与CD间的距离？aaXVHbba2b2V提示Ha2b2d2c2d1c1112121babdcaXVHdc211222例题2求两直线AB与CD公垂线的投影及其最短距离。H2acXVHbbacVHXcbabCAcBaddDH1a1c1b1d1d4、把一般位置平面变为投影面垂直面k1s1acbbacss'例题3求点S到平面ABC的距离。HVXddacbbacNkeNddk例题4已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e。VHcbXCABbcaabcabacXHVa1c1b1sxV1c1b1a15、把投影面垂直面变为投影面平行面acXVHbbacdda2c2b2d26、把一般位置平面变为投影面平行面SX例题5已知点E在△ABC上，距离A、B为15，求E点的投影。acXVHbbacdda2c2b2d215eee1e2sx换面法小结一般位置直线投影面平行线投影面垂直线新轴∥保留投影新轴⊥实长投影求SC、α、β求α保留H投影求β保留V投影可利用积聚性一般位置平面换两次，先新轴∥保留投影换成投影面平行线，再新轴⊥实长投影换成投影面垂直线新轴⊥平面上的投影面平行线的实长投影投影面垂直面投影面平行面新轴∥积聚投影可利用积聚性；求平面的α、β，求α作水平线求β作正平线求SC换两次，先新轴⊥平面上的投影面平行线的实长投影换成投影面垂直面，再新轴∥积聚投影换成投影面平行面§6-3旋转法旋转法就是投影面保持不动，将空间几何元素绕某一轴旋转，使空间几何元素对投影面处在有利于解题的相对位置。一、点的旋转规律二、直线的旋转1、直线旋转的投影规律2、直线旋转的投影作图2点的旋转规律若点绕某投影面的垂直轴旋转，则点在该投影面上的投影作圆周运动，在另一投影面上的投影作平行于投影轴的直线运动。oo′一点的旋转规律VHAa′oOo′1点绕正垂轴旋转轨迹圆平行于V面，其V投影反映实形Aa′Aa′aa′aa′afffa′二、直线的旋转aa′b′b2、直线旋转的投影规律b1θθa1a1′b1′o′ooo′1、直线的旋转可用直线上两点的旋转来决定。且必须遵循绕同一轴、按同一方向，旋转同一角度的“三同原则”，以保证几何元素相对位置不改变。当直线绕垂直于某一投影面的轴线旋转时，直线在该投影面上的投影长度不变.直线上各点的另一面投影则作平行于投影轴的直线运动。因此直线在进行绕铅垂线旋转法投影变换时，其水平面投影长度不变。同样道理，直线绕正垂线进行旋转法投影变换时，其正投影长度不变。三、平面的旋转aa′b′b2、平面旋转的投影变化规律b1θθa1a1′b1′cc′c1′c1o′ooo′1、平面的旋转由不在同一直线上的三点(或其它几何要素组合)的旋转来决定。必须遵循绕同一轴、按同一方向，旋转同一角度的“三同原则”，以保证几何元素相对位置不改变。当平面图形绕垂直于某一投影面的轴线旋转时，它在该投影面上的投影形状和大小不变。平面上各点的另一面投影则作平行于投影轴的直线运动。因此，当平面绕正垂线旋转时，它的正面投影形状大小不变。当平面绕铅垂线旋转时，它的水平投影形状大小不变。HABa′b′b1′αaB1α当直线、平面绕垂直于某一投影面的轴旋转时，它们对该投影面的倾角不变，而对另一面投影的倾角则随着旋转而改变。当过直线的端点作旋转轴时,解题更简便.把一般位置直线旋转成投影面平行线a′b′abb1′OXb1a′b1′∥OXe′ea′b′c′bacb1c1a1e1a1′b1′e1′c1′α把一般位置平面旋转成投影面垂直面•把一般位置平面旋转成正（铅）垂面,实际上就是把平面内的一条水（正）平线旋转为正（水）平线。求法为：•在平面中求一条水平线（BE）•将BE旋转成正垂线B1E1，求得一个旋转角度。•以同样大小的旋转角度将A、C两点绕B点旋转，求得正垂面A1B1C1(△ABC≌△A1B1C1)把投影面垂直面旋转成投影面平行面a′b′c′abcb1a1实形a1′b1′例题过M点作直线MN与直线AB正交，并求垂线实长m′a′b′abmm1a1b1m1′a1′b1′n1′n1n′n第一次旋转：将A绕铅垂线旋转成正平线，M同时旋转。则m1′n1′⊥a1′b1′垂线已在作出。为求实长，进行第二次旋转，将AB和M一起绕正垂线旋转，把AB旋转成铅垂线。m2′a2′b2′n2m2a2b2n2四、六个基本问题1、把一般位置直线变为投影面平行线例题12、把投影面平行线变为投影面垂直线3、把一般位置直线变为投影面垂直线思考题1思考题2例题24、把一般位置平面变为投影面垂直面例题3例题45、把投影面垂直面变为投影面平行面6、把一般位置平面变为投影面平行面例题5本讲重、难点（1）掌握换面法的基本原理和换面法作图的投影变换规律。（体现在如何画新轴上）（2）掌握用换面法求线段实长、平面图形实形及其对投影面的倾角基本作图方法。（体现在应该先变换哪一个投影面上）（3）掌握用换面法解决一般空间几何元素间的定位和度量问题。（这一问题在教材上有分类总结）习题﹕P2P3