画法几何问题分析与求解方法1

第四讲画法几何问题分析与求解方法浙江大学施岳定一、概述1基本作图题求解方法2综合作图题求解方法3辅助平面法、辅助球面法和投影变换法概述＞＞基本作图题求解方法1基本作图题求解方法★基本作图题一般是单纯的平行、相交、垂直作图题，满足的条件比较单一，作图过程比较简单。★按问题性质可以分为三类，即平行问题、相交问题、垂直问题。概述＞＞基本作图题求解方法基本作图题解题应注意：★熟悉平行、相交、垂直的有关几何定理及交点、交线的性质和基本求法，它们是解题的依据。★对问题中各几何元素的相对位置进行空间分析，对各几何元素与投影面之间的相对位置进行投影分析，如几何元素与投影面处于特殊位置，则应充分利用其特殊的投影特性，如积聚性、反映实长、反映直角等，以简化作图。概述＞＞基本作图题求解方法基本作图题解题应注意：★有些问题的作图步骤可能由若干个，如往往包含求一般位置的直线与平面的交点等，但这些步骤是固定的，主要是作图时要细心，避免出错。基本作图题：求一般位置直线与一般位置平面的交点；过点作平面的垂线；过点作直线平行已知平面且与以知直线相交。概述＞＞综合作图题求解方法2综合作图题求解方法★在解题过程中需综合运用点、线、面之间相对位置的概念和基本作图方法求解的综合题，一般要求满足的条件和基本作图方法在两个以上，空间关系和作图过程也比较复杂。★按题目的性质来分，点、线、面综合作图题可分为四类：相对关系题、距离题、角度题、综合题。概述＞＞综合作图题求解方法2综合作图题求解方法★轨迹法就是先根据已知条件和题目要求进行空间分析，分别作出满足题目各个要求的轨迹，然后求出这些轨迹间的交点或交线，即得所求解答，可见求交是一个基本解题工具。★逆推法则是先假设最后解答已经作出，然后应用有关的几何定理进行空间分析和逻辑推理，找出最后解答和已知条件之间的几何关系，并由此得到解题的方法和步骤。概述＞＞综合作图题求解方法（1）直线与平面垂直若一直线分别垂直于定平面上的一对相交直线，则该直线垂直于定平面。为便于解题，取这一对相交直线为平面上的一对投影面平行线，根据直角投影定理，得到直线与平面垂直时垂线的投影特性。概述＞＞综合作图题求解方法概述＞＞综合作图题求解方法直线与平面垂直垂线MN的正面投影m’n’垂直于平面上正平线CⅡ的正面投影c’2’；垂线MN的水平投影mn垂直于平面上水平线AⅠ的水平投影a1；同理，垂线的侧面投影垂直于平面上侧平线的侧面投影。概述＞＞综合作图题求解方法（2）平面与平面垂直若一平面通过另一平面的垂线，则两平面互相垂直。若两平面垂直，则由第一平面向第二平面所作的垂线必在第一平面内。概述＞＞辅助平面法、辅助球面法和投影变换法3辅助平面法、辅助球面法和投影变换法★辅助平面法和辅助球面法都是通过辅助面将复杂问题转化为直接可解的简单问题，辅助平面法应用较广，几乎贯穿画法几何始终。★辅助球面法主要应用于立体与立体求交。概述＞＞辅助平面法、辅助球面法和投影变换法3辅助平面法、辅助球面法和投影变换法★投影变换法是一种相对统一的解析方法，它通过投影面的变换，保持几何元素之间的关系不变，而通过几何元素与投影面之间的相对位置，将复杂问题转化为直接可解的简单问题。★若通过几何元素变化从而改变几何元素与投影面之间的相对位置，则称为旋转变换法。二、轨迹法和逆推法1相对关系题2距离题3角度题4其他类综合题综合作图题求解题应注意：★必须对题目中各几何元素进行投影分析，如果几何元素相对投影面处于特殊位置，充分利用其特殊的投影特性，以简化作图。★点、线、面综合作图题都由若干个作图步骤，而每一个作图步骤通常就是一个基本作图题，所以熟练掌握各种基本作图题的作法是求解点、线、面、综合作图题的重要基础。★同一个题目，由于思路不同，可能有不同的解题方法，应多作分析比较，选用最简便的方法求解。轨迹法和逆推法＞＞相对关系题例2-1过点M作一平面垂直于△ABC，且平行于直线DE。相对关系题轨迹法和逆推法＞＞相对关系题m‘n’⊥c‘1’，mn⊥a2，mk∥de，m‘k’∥d‘e’,则MN⊥△ABC，MK∥DE平面MNK即为所求。轨迹法和逆推法＞＞相对关系题例2-2过M点作直线MN同时与△ABC及△EFG平行。逆推法：先求两平面的交线轨迹法：过M作两已知平面的平行面轨迹法和逆推法＞＞相对关系题分析一（逆推法）：假设要求的直线MN已作出，则根据几何定理直线MN必平行于△ABC与△EFG的交线KL，因此要求直线MN，只要先求出△ABC与△EFG的交线KL，然后过M点作直线平行交线KL即可。轨迹法和逆推法＞＞相对关系题分析二（轨迹法）：所求解MN轨迹之一为过点M且与△ABC平行的平面；轨迹之二为过点M且与△EFG平行的平面，两轨迹平面之交线即为所求。轨迹法和逆推法＞＞相对关系题作图：（1）用三面共点原理作辅助平面P、R，求出△ABC与△EFG的交线KL。（2）过点M作直线MN//KL即为所求。轨迹法和逆推法＞＞距离题距离题距离题又分定距离题和等距离题，其分析和解题方法是不同的。定距离题除简单的已知几何元素的距离外，主要是根据已知几何元素按要求的距离作出另一几何元素或几何元素所缺的投影，通常用轨迹法分析求解，等距离题一般都用轨迹法分析求解。轨迹法和逆推法＞＞距离题例2－3已知点K到△ABC的距离为20mm，求点K的正面投影k’。K点的轨迹？轨迹法和逆推法＞＞距离题分析：点K的轨迹是与△ABC距离为20mm的平面P，点K既在平面P内，即可用平面内求点的作图方法求出所缺投影k'。轨迹法和逆推法＞＞距离题过△ABC内任意一点，例如点A，作直线AM⊥△ABC（a‘m’⊥c‘f’，am⊥ag）。求线段AM的实长a’M0。在a‘M0M上截取20mm，得N0。在AM上求出点N。过N点作轨迹平面P（由NⅠ、NⅡ二相交直线决定，图中NⅠ//AB，NⅡ//AC）。在平面P内，根据点K水平投影k即可求出正面投影k'。作图：轨迹法和逆推法＞＞距离题归纳：求解这一类问题时，一般都要作与已知平面平行且定距离的轨迹平面，而要作出此轨迹平面，需把两平面间的距离转化为两点间的距离，具体作图方法是先在已知平面内任取一点，并过此点作已知平面的垂线，然后在所作垂线上用直角三角形法截取要求距离的实长及投影，得到距离的另一端点，最后再过此点作已知平面的平行面。由于轨迹平面有位于已知平面两侧的两个平面，因此这一类题一般都有两解。轨迹法和逆推法＞＞距离题常见的有关等距离的轨迹有：（1）与两点等距离的直线其轨迹是平行两点连线的任一直线和通过连线中点的任一直线，如图a。直线EF和CD均与A、B两点等距离。（2）与两点等距离的平面其轨迹是平行两点连线的任一平面和通过连线中点的任一平面。如图b中平面P和平面Q均是A、B两点等距离的平面。轨迹法和逆推法＞＞距离题常见的有关等距离的轨迹有：（3）与三点等距离的直线是过三角形任何两边中点，且垂直于三角形的平面内的平行于三角形的任何直线，如图c上KL线和P平面上平行于KL的所有线。（4）与三点等距离的平面是与三角形平行的任何平面以及过三角形任何两边中点连线的任何平面，见图d。轨迹法和逆推法＞＞距离题例2-4在直线AB上求作一点K与已知两点E、F等距离。与E、F等距离的轨迹是？轨迹法和逆推法＞＞距离题分析:点K要与E、F两点等距离的点，其轨迹是E、F两点连线的中垂面P，而点K又要求在直线AB上，则另一轨迹即是直线AB自身，因此，上述中垂面P与直线AB的交点就是所求点K。轨迹法和逆推法＞＞距离题作图:（1）连接E、F两点，并过中点M作直线EF的中垂面P（由正平线MⅠ、水平线MⅡ决定）。（2）求出直线AB与中垂面P的交点K即为所求。轨迹法和逆推法＞＞距离题归纳:求解这一类问题時，所作轨迹平面是两点连线的中垂面、两平行直线或两平行平面间公垂线的中垂面等，因此不需要用直角三角形法求距离的另一端点，也不需过此端点作平面平行已知平面，但由于要作中垂面等，所以都要用过点作平面垂直已知直线的基本作图方法。在求解与两平行平面等距点或等距直线的作图中，仍需用过点作直线垂直已知平面的基本作图方法。轨迹法和逆推法＞＞角度题角度题角度题也可分为定夹角和等夹角题，但能用点、线、面及直线与平面、平面与平面相对位置的概念和基本作图方法求解的这一类题，多数是二相交直线的夹角问题，而且大部分是以完成矩形、直角三角形、等腰三角形、菱形及正多面体的形式出现，因此，求解这一类题时，要充分利用这些特殊平面图形的直角关系进行分析和作图。轨迹法和逆推法＞＞角度题常见的角度问题轨迹:与线段夹定角的点，其轨迹是以线段为轴线的锥面；与两相交线夹等角的直线其轨迹是两线夹角的角平分面（包括补角的角平分面），以及与它平行的一系列平面(a)。与两相交线夹等角的平面是两个平面束，一束是通过两线的角平分线（即包含该角平分线的所有平面），另一束是通过两线为腰的等腰三角形底边（包含该底边的所有平面）(b)。与两面夹等角的直线其轨迹是两已知平面的角平分面(c)，以及与两已知平面交线平行与它们夹等角的平面(d)。注意：凡与这种平面平行的面同样具有这一性质。轨迹法和逆推法＞＞角度题轨迹法和逆推法＞＞角度题例2－5已知等腰△ABC的正面投影及底边AB的水平投影，试完成△ABC的水平投影。轨迹法和逆推法＞＞角度题直角关系分析：等腰△ABC的底边为AB，则高CD必垂直平分AB。轨迹法和逆推法＞＞角度题空间分析：因CD⊥AB，且D为底边AB的中点，则C点的轨迹为过D点并垂直于底边AB的平面P。C点既在平面P内，即可用平面内求点的作图方法求出所缺投影c，完成△ABC的水平投影。轨迹法和逆推法＞＞角度题作图：作底边AB的中垂面P（由水平线DⅠ及正平线DⅡ决定）在中垂面P（△DⅠⅡ）内，根据C点的正平面投影c'求出水平投影c，则△abc为所求轨迹法和逆推法＞＞角度题归纳：这一类题中都存在直角关系，而且两直角边中总是已知一边，要求作出另一边或另一边所缺的投影。求解这一类题时，首先应分析要求完成的平面图形中直角在何处，哪一直角边是已知的，哪一直角边是要求作出或作出其所缺投影的，然后通过空间分析作出所求直角边的轨迹平面，再根据题中所给的其他几何条件，用平面内取点的作图方法求出要求的直角边或顶点、或它们所缺的投影。轨迹法和逆推法＞＞其他类综合题其他类综合题★这一类题几何关系往往比较复杂，既有距离要求，又有角度要求，但能用点、线、面及直线与平面、平面与平面、相对位置的概念和基本作图方法求解的这一类题，大部分仍以完成矩形、直角三角形、等腰三角形、菱形及正多面体的形式出现。★求解这一类题时，须进行综合分析，最好能得到解题空间模型，再应用上述求解方法即可。轨迹法和逆推法＞＞其他类综合题例2－6已知等腰△ABC的高在直线AD上，腰AB平行于直线EF，且长度等于23mm，试作出△ABC的两投影。轨迹法和逆推法＞＞其他类综合题直角关系分析等腰△ABC的高在直线AD上，因此BC为底边，直线AD是底边BC的中垂线，K为垂足，即底边BC的中点。轨迹法和逆推法＞＞其他类综合题空间分析根据腰AB平行于直线EF，且长度等于23mm的已知条件把点B的位置确定下来。由于AD⊥BC，则底边BC必过点B所作的垂直直线AD的轨迹平面P内，而直线AD与平面P的交点即为K点。根据BK＝CK，即可求出C点，完成等腰△ABC。图片有误轨迹法和逆推法＞＞其他类综合题作图：求直线EF的实长e‘F0，并在其上截取23mm得G0、g’、g；过A点作直线平行于直线EF，且使AB＝EG，即a‘b’＝e‘g’、ab＝eg；过B点作垂直于直线AD的轨迹平面P（由水平线BⅠ及正平线BⅡ决定）；轨迹法和逆推法＞＞其他类综合题作图：求长为23mm的AB线；过B作AD的垂直面；求直线AD与平面P（△BⅠⅡ）的交点K；连接BK，并在其延长线上截取CK＝BK；连接CA，则△ABC即为所求。三、辅助平面法1一般位置平面与一般位置平面相交2一般位置平面与立体相交3平面与立体相交4立体与立体相交辅助平面法的应用：★