68假设检验

第八章假设检验§1假设检验一、假设检验的定义和基本思想1、定义在总体的分布函数完全未知或只知其形式，但不知其参数的情况下，为了推断总体的某些未知特性，提出某些关于总体的假设，然后根据样本对所提出的假设作出是接收，还是拒绝的决策，称这一过程为假设检验。2、基本思想例如：某车间用一台包装机包装糖果，包得的袋装糖重是一个随机变量，它服从正态分布。当机器正常时，其均值为0.5公斤，标准差为0.015公斤，一次开工后为检验包装机是否正常，随机地抽取它所包装的糖9袋，称得其净重为（公斤）：0.4970.5060.5180.5240.4980.5110.5200.5150.512问机器是否正常工作？以分别表示这一天袋装糖重总体的均值和标准差，实践表明标准差比较稳定的，所以在这里我们认为标准差是已知的。为了检验机器是否正常工作，我们提出以下两个相互独立的假设,X015.05.0:00H和01:H接下来，是要讨论如何检验假设是正确还是错误的？0H我们知道是的无偏估计，的观察值的大小在一定程度上反映了的大小，因此观察值与的偏差不应太大；XXxx0||0x这里是根据实际推断原理（即小概率事件在一次试验中几乎是不发生的）。接下来，是要根据给定的样本值，去考察是否有一个拒绝的小概率事件发生。0H假设成立，则。选择，使是一个拒绝原假的小概率事件，一单它发生了，即有，我们就有理由怀疑假设的正确性，所以我们是通过控制概率来作出是否接受假设的决策。knX/00HknXP/||0kknX/00H0H)1,0(~/0NnX例如在本例中取，则有，又已知，再由给定的样本观察值算得，所以，即于是拒绝，认为这天包装机工作不正常。05.096.12/zk015.0,9n511.0x2.2/||||0nxzkz||0H对于事先给定的一个很小的数，如果要使得则，所以我们只要验证是否有。若，即小概率事件发生了，则拒绝。knXP/||02/zk2/0/||znx2/0/||znx0H这里是采用反证法的思想，为了检验“假设”是否成立，先假设这个“假设”是成立的，看由此会产生什么后果。如果导致了一个不合理的现象出现（小概率事件发生），就表明原来的假设是不正确的，也就是说，“假设”是不能成立的。因此应拒绝这个“假设”；如果没有导致一个小概率事件发生，则没有理由拒绝原假设。实际上，假设检验的基本思想是一种带有概率的反证法。0H0H0H3、有关的几个概念通常我们称为原假设（或称零假设），而称为备择假设（或称对立假设），称数为显著水平，称统计量为检验统计量。当检验统计量取某个区域中的值时，就拒绝原假设，则称区域为拒绝域，拒绝域的边界点为临界点。0H1HnXZ/||0CC例如上例的拒绝域为，而为临界点。2/||zz2/zz二、两类错误由于我们是根据一次抽样结果对假设作出判断的，因此不可避免地会犯以下错误：（1）当为真时，我们可能犯拒绝的错误，我们将这类错误称之为第I类错误；该错误的概率可表示为，该类错误是“弃真”错误；0H0H}){}(|{1010HPHHPH或（2）当不真时，我们也可能犯接受的错误，我们将这类错误称之为第II类错误；该错误的概率可表示为，该类错误是“取伪”错误。0H0H}){}(|{0101HPHHPH或设一袋中装有黑球和白球共5个，可能是2黑3白，也可能是4黑1白，为了检验假设：袋中有2个黑球，袋中有4个黑球从该袋中抓取两个球，检验规则为：当取到的两个都是黑球时，就拒绝，否则接受，求该检验方法犯第一类错误的概率和犯第二类错误的概率。:0H:1H0H0H由此可知，以上所讲的假设检验就是对犯第一类错误的概率加以控制，而没有考虑犯第II类错误的概率，我们将这类假设检验称为显著性检验。即对事先给定的小数，寻找拒绝域，使得C}|{}{0100HHPHHP为真时拒绝当三、单边检验我们将形如的假设检验称为双边假设检验。0100:,:HH或0100:,:HH但有时需要作0100:,:HH的假设检验。通常称形如的假设检验为右边检验；称形如的假设检验为左边检验；我们把右边检验和左边检验统称为单边检验。0100:,:HH0100:,:HH右边检验拒绝域的形式为kx（是某一正常数）k0100:,:HH}{0kXPH}{00HHP为真时拒绝当nknXP//000nknXP//00这里要注意：当时，有0nknXnknX////000即所以右边检验的拒绝域为0100:,:HHnzx/0znxz/0类似地可得左边检验的拒绝域为0100:,:HHznxz/0由于，由上式得)1,0(~/NnXznk/0nzk/0例2：某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率服从正态分布，，现在用新方法生产了一批推进器，从中随机取25只，测得燃烧率的样本均值为，设在新方法下总体均方差仍为，问用新方法生产的推进器的燃烧率是否较以往生产的推进器的燃烧率有显著的提高？取显著水平),(2Nscmscm/2,/40scmx/25.41scm/205.0四、如何选定原假设和备择假设0H1H尽管在一对对立假设中，可以挑选其中之一作为原假设，但在进行显著性检验时，我们是通过使犯第I类错误的概率很小，而不考虑犯第II类错误的概率，这就意味着是受保护的，也表明、的地位不是对等的，因此选择哪一个假设作为原假设是有区别的，选择原假设和备择假设的原则是：0H1H0H0H1H（1）使得两类错误中后果严重的错误成为第I类错误；注：特别是对单边假设检验，如果没有明确告诉采用怎样的假设作为原假设，一般都要根据以上的原则来选择原假设。（2）持谨重的态度，取原假设为维持现状；即取为“无效率”、“无改进”、“无价值”等。0H五、假设检验的基本步骤1、根据实际问题的要求，提出原假设和备择假设；0H1H2、给定显著水平和样本容量；n3、确定检验统计量及拒绝域的形式；4、按求出拒绝域；}{00HHP为真时拒绝当5、取样，根据样本观察值作出是接受还是拒绝的决策。0H§2正态总体均值的假设检验一、单个总体均值的检验1、已知，关于的检验2（1）双边检验双边检验问题为：0100:,:HH拒绝域为2/0/||||znxz通常称这种检验为检验法。Z（2）单边检验右边检验问题：0100:,:HH在显著水平为下的拒绝域为znx/0左边检验问题：0100:,:HH在显著水平为下的拒绝域为znx/02、未知，关于的检验2（1）双边检验双边检验问题为：0100:,:HH在显著水平为下的拒绝域为)1(/||||2/0ntnsxt通常称这种检验为检验法。t（2）单边检验右边检验问题：0100:,:HH在显著水平为下的拒绝域为)1(/0ntnsx左边检验问题：0100:,:HH在显著水平为下的拒绝域为)1(/0ntnsx二、两个正态总体均值差的检验1、方差已知的情形2221,(1)双边检验双边检验问题为：211210:,:HH2/222121|)(|znnyx在显著水平为下的拒绝域为（2）单边检验右边检验问题：211210:,:HH在显著水平为下的拒绝域为znnyx222121)(左边检验问题：211210:,:HHznnyx222121)(在显著水平为下的拒绝域为2、方差未知且相等的情形2221,（1）双边假设检验双边检验问题：211210:,:HH在显著水平为下的拒绝域为)2(11|)(|212/21nntnnsyxw2)1()1(212222112nnSnSnSw（2）单边检验右边检验问题：211210:,:HH在显著水平为下的拒绝域为)2(11)(2121nntnnsyxw左边检验问题：211210:,:HH在显著水平为下的拒绝域为)2(11)(2121nntnnsyxw双边检验问题：是双边检验问题：当时的一种特殊情形。211210:,:HH211210:,:HH0单边检验问题：或是单边检验问题：或当时的一种特殊情形。211210:,:HH211210:,:HH0211210:,:HH211210:,:HH三、举例例1：为检验某种含有特殊润滑油的容器的容量是否为10公升，随机抽取10个容器，测得其容量为：10.29.710.110.310.19.89.910.310.410.3设容器的容量服从正态分布；在显著水平为下，检验这批容器的容量是否符合标准？01.0例2：某种元件的寿命（以小时计）服从正态分布，未知，现测得16只元件的寿命为：X),(2N2,159280101212224379179264222362168250149260485170问是否有理由认为元件的平均寿命大于225（小时）（取显著水平为）？05.0注意：怎样选择原假设的问题！§3正态总体方差的假设检验一、单个总体方差的检验双边检验问题：20212020:,:HH取作为检验统计量，检验问题的拒绝域的形式为：2022)1(Sn1202)1(ksn2202)1(ksn或1、双边假设检验2202120200)1()1(}{ksnksnPHHP为真时拒绝当通常取2)1(1202ksnP2)1(2202ksnP由上分位点的定义知)1(22/11nk)1(22/2nk在显著水平为下的拒绝域为)1()1(22/1202nsn)1()1(22/202nsn或通常，称这种检验法为检验法。22、单边假设检验右边检验问题：20212020:,:HH拒绝域的形式为：ks2}{}{200202kSPHHP为真时拒绝当20202)1()1(202knSnP2022)1()1(202knSnP202022022)1()1()1()1(knSnknSn这里要注意：当时，有202必需)1()1(220nkn)1(1220nnk在显著水平为下的拒绝域为)1()1(2202nsn)1(12202nns即)1(~)1(222nSn2022)1()1(202knSnP所以，要使因为20212020:,:HH左边检验问题：在显著水平为下的拒绝域为)1()1(21202nsn二、两个总体的方差检验1、双边假设检验双边检验问题：2221122210:,:HH拒绝域的形式为：2222112221ksskss或222212221122212221222211222100////}{22212221