第三章_通信原理《随机过程

在通信系统中，随机过程是非常重要的数学工具。因为通信中的信号与噪声都具有一定的随机性，它们不能用一个确定的时间函数来表示，而必须根据随机过程的理论来描述。本章在介绍随机过程的分布及其数字特征等基本概念的基础上，着重介绍通信系统中常见的几种重要的随机过程的统计特性，以及随机过程通过线性系统的情况。第三章随机过程3.1随机过程的基本概念3.2平稳随机过程3.3高斯随机过程3.4平稳随机过程通过线性系统3.5窄带随机过程(了解）3.6正弦波加窄带高斯噪声（了解）3.7高斯白噪声和带限白噪声3.8小结主要内容：一、随机过程二、随机过程的分布函数三、随机过程的数字特征3.1随机过程的基本概念一、随机过程什么是随机过程？我们以通信机为例，理解随机过程的定义。角度1：随机过程是所有样本函数的集合。随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。随机是指取值不定，仅有取某值的可能而无确切的取值；过程是指其为时间t的函数。可从两种不同角度看：例如：有N台性能完全相同的通信机,工作条件相同,用n部记录仪同时记录它们的输出噪声。N部通信机的噪声输出记录测试结果表明，得到的n张记录图形并不因为有相同的条件而输出相同的波形。恰恰相反，即使n足够大，也找不到两个完全相同的波形。这就是说，通信机输出的噪声电压随时间的变化是不可预知的，因而它是一个随机过程。因此从这个角度得到随机过程的这种定义：随机过程是所有样本函数的集合。测试结果的每一个记录，都是一个确定的时间函数，称之为样本函数或随机过程的一次实现。全部样本函数构成的总体，就是一个随机过程，记作。txitx,,tx,txn21t角度2：现在，我们在某一特定时刻如时刻观察各台接收机的噪声，可以发现在同一时刻，每个接收机的输出噪声值是不同的，它在随机变化。1t即随机过程在任意时刻上的取值是一个随机变量。1t因此，我们得到随机过程的另一种定义:随机过程是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。随机过程的定义：角度1：随机过程是所有样本函数的集合。角度2：随机过程是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。随机过程的基本特征：首先它是时间的函数，其次它在任意时刻上的取值是一个随机变量。思考：随机变量与随机过程有啥区别和联系？随机变量的样本是一个实数值的集合；而随机过程的样本是时间函数的集合。随机过程在某一确定时刻的值是一个随机变量。二、随机过程的分布函数11111,xtptxF设表示一个随机过程，则在任一时刻上的值是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。并把它们定义为随机过程的一维分布函数和一维概率密度函数。t1t1t一维分布函数：一维概率密度函数：1111111,,xtxFtxf''xdxt,xft,xF11111111xtpt,xF1一维分布函数：一维概率密度函数：xtxFtxf,,11一般情况下：txF,1txf,1和即是的函数，又是时间的函数。很显然，一维分布函数及一维概率密度函数仅仅表示了随机过程在任一瞬间的统计特性，它对随机过程的描述很不充分，通常需要在足够多的时间上考察随机过程的多维分布。xtxdytyftxF,,11§(t)的n维分布函数:nnnnnxtxtxtptttxxxF,,,,,;,,,22112121nnnnnnnxxxtttxxxFtttxxxf2121212121,,,;,,,,,;,,,§(t)的n维概率密度函数:•n越大，对随机过程的描述越充分。三、随机过程的数字特征在大多数情况下，往往不容易或不需要确定随机过程的整个统计特性，而只需要知道它的一些数字特征就可以了。随机过程的数字特征是由随机变量的数字特征推广而得到的，其中最常用的是均值（数学期望）、方差和相关函数。1、均值（数学期望）dxtxfxtE,1设随机过程在给定瞬时的值为，它是一个随机变量，它对应的概率密度函数为，其数学期望，显然是时间的函数，由于是任意指定的，直接写为，则上式改写为：t1t11,txfdxtxfxtE111,1tE1t1ttdxtxfxtE),(1上式定义为随机过程的均值（数学期望）。显然它是时间的函数，记为：ttadxtxfxtE),(1tat,t01t上图画出了3个样本函数（细线）及它的数学期望（实线）。均值表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心。a(t)2、方差：dxt,xftaxtatE)t(D122它表示随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏离程度，是一维统计特性，总是正数。随机过程的方差为：显然，方差也是时间的函数，记为;tttD2)(tatattEtatEtD2222)(因为：所以随机过程的方差也等于随机过程均方值减去均值的平方。tatEt222即：taEtatEtE222t2tatatE2222tatE22均方值均值平方方差数学期望和方差是随机过程的重要数字特征，但它们仅与随机过程的一维概率密度函数有关。只描述了随机过程在各个孤立时刻的特性。为了衡量随机过程在任意两个时刻上获得的随机变量之间的而关联程度，常采用相关函数或协方差函数。3、相关函数2121212221121221121),;,()()(),()()()()(),(dxdxttxxftaxtaxttBtattatEttB),;,(21212ttxxf是二维概率密度函数。（1）随机过程的协方差函数:B(t1,t2)描述了随机过程§(t)在任意两个时刻t1和t2，相对均值的起伏量之间的相关程度。(2)随机过程的相关函数：212121221212121),;,(),()()(),(dxdxttxxfxxttRttEttR),(21ttR、是随机过程在任意两个时刻和上的两个随机变量。)(1t)(2t)(t1t2t),;,(21212ttxxf是二维概率密度函数。协方差函数、相关函数体现了随机过程的二维统计特性。(3)协方差函数与相关函数的关系：)()(),(),(212121tatattRttB)()()()(),(221121tattatEttB若随机过程的数学期望为零，则协方差函数与相关函数是相同的。即使数学期望不为零，协方差函数与相关函数尽管形式不同，但它们所描述的随机过程内部联系的效果是相同的。本书将采用相关函数。)()()()()()()()(12212121tattattatattE)()()()(2121tatattE（4）互相关函数：dxdytt;y,xxyfttE)t,t(R,,,2121212,1,;,ttyxf互概率密度或联合概率密度。如果把相关函数的概念引伸到两个随机过程中，就得到互相关函数，它的定义如下：相应的衡量同一过程的相关函数称为自相关函数。习题3-2设随机过程可表示为式中是一个离散随机变量，且、，试求和。ttt2cos2210P212P1E1,0R习题3-2设随机过程可表示为式中是一个离散随机变量，且、，试求和。ttt2cos2210P212P1E1,0R1E代表求时的数学期望。1tt解：1,0R代表求时的自相关函数。1,021ttt2cos211EEEcos2Ecos2E2cos210cos2121习题3-2设随机过程可表示为式中是一个离散随机变量，且、，试求和。ttt2cos2210P212P1E1,0R1,0R代表求时的自相关函数。1,021ttt1,0R2cos4E2cos210cos21422210E2cos2cos2E2cos4E3.2平稳随机过程一、定义二、各态历经性三、平稳过程的自相关函数四、平稳过程的功率谱密度平稳随机过程是一类应用非常广泛的随机过程，它在通信系统的研究中有着极其重要的意义。一、平稳随机过程的定义平稳随机过程：若随机过程n维分布函数或概率密度函数与时间的起点无关，即:ttttttxxxftttxxxfnnnnnn,,,;,,,,,,;,,,21212121则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。如果已知某随机过程是严平稳的，下面来研究它的一维分布函数和一维概率密度函数。根据平稳的定义,一维分布函数与一维概率密度满足:ntxFtxFtxF,,,11211111ntxftxftxf,,,11211111这就是说平稳随机过程的一维分布和概率密度与时间是无关的。上述表示式中的t可以省略，因此：平稳随机过程的一维分布和概率密度可分别简化为：和xF1xf1同理，二维分布只与时间间隔τ有关。结论：平稳随机过程的：一维分布与时间无关。二维分布仅与时间间隔τ有关。dxtxxftEta,1随着分布函数和概率密度的简化，平稳随机过程的数字特征也可以相应地得到简化。平稳随机过程的均值：adxxxf1即平稳随机过程的均值为常数。22tEtEt平稳随机过程的方差：即平稳随机过程的方差为常数。dxtxftax,12dxxfax1222121,ttEttR平稳随机过程的自相关函数：21212121,;,dxdxttxxfxx21112121,;,dxdxttxxfxx21212121;,,dxdxxxfxxttRR即平稳随机过程的自相关函数仅仅是时间间隔的函数。12tt结论：平稳随机过程的均值（和方差是与时间t无关的常数，自相关函数只是时间间隔τ的函数，而与所选取的时间起点无关。在工程中，我们常用这两个条件来直接判断随机过程的平稳性，并把同时满足均值为常数、自相关函数只与时间间隔有关的随机过程定义为广义平稳随机过程。显然，严平稳必定是广义平稳，反之不一定成立。在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多可视为平稳的随机过程。以后的讨论除特殊说明，均假定是广义平稳的，简称平稳。下面我们来看一道例题，来判断一个随机过程是否是平稳随机过程？例题：某随机过程是一个幅度、角频给定的正弦波，其相位值是随机的，即式中：与为常数，在内均匀分布随机变量，试证明其为广义平稳过程。tAt00cos0A02,0例题：某随机过程是一个幅度、角频给定的正弦波，其相位值是随机的，即式中：与为常数，在内均匀分布随机变量，试证明其为广义平稳过程。tAt00cos0A02,0解：按广义平稳的定义，只要证明均值为常数且自相关函数仅与时间间隔有关即可。200021cosdtAtE0ttEt