第三章_随机变量的数字特征

2020/1/301第三章随机变量的数字特征通常求出随机变量的分布并不是一件容易的事,而人们更关心的是用一些数字来表示随机变量的特点,这些与随机变量有关的数字,就是随机变量的数字特征.最常用的数字特征为数学期望,方差，协方差和相关系数.2020/1/302§1数学期望数学期望是任何一个随机变量的最重要的,也被最广泛使用的数学特征,英文是expectation,另一种叫法为均值(meanoraveragevalue)它的实际意义就是平均值.但属于一种更为严格的平均值,和本书后面讲到的统计平均值有一些小差别.2020/1/303一、离散型随机变量首先从一个例子说起例1假设一个班共20人,其中18岁的有6人,19岁的有10人,20岁的有4人,现任取一人观察其岁数,则观察到的岁数X为一随机变量,不难求出X的分布率如下表所示.X181920p6/2010/204/202020/1/304现在要计算这个班的学生的平均年龄有两种计算办法,第一种办法是将这个班的学生的每个人的年龄加起来,再除以这个班的人数20人,即6个18岁,10个19岁,4个20岁加起来得平均年龄为1819206181019420()206104181920202020181920EXppp2020/1/305第二种办法是统计的办法,实际情况更有用就是通过对随机变量X进行一遍又一遍地重复试验,假设这试验一共做了n次,而获得了18,19,20这三个年龄的次数分别为n18,n19,n20次,则将这n次试验所获得的年龄数统统加起来除以n就是统计平均的年龄181920181920181920181920181920181920nnnXnnnnnnnppp当然,统计平均值X与准确计算的平均值E(X)还可能有差距,但是当试验次数趋向于无穷时,统计平均值X就趋近于数学期望E(X)了.2020/1/306定义1绝对收敛,则称这级数为X的数学期望或平均值,简称期望或均值,记为E(X),即1kkkpx1()kkkEXxp假设离散型随机变量X有概率函数P{X=xk}=pk(k=1,2,...),若级数1kkkExp2020/1/307数学期望的意义x1x2x3p1p2p3E(X)关于数学期望的一个力学上的解释,在坐标轴上的x1,x2,...,等点处放置质量为p1,p2,...的质点,则数学期望处为整个质点体系的重心，质量总和为：11kkp2020/1/308掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求X的数学期望。6111217()662kkkkEXxpk解：例22020/1/309例3解:E(X)=10.4+20.1+30.5=2.1E(Y)=10.1+20.6+30.3=2.2这表明,如果进行多次射击,他们得分的平均值分别是2.1和2.2,故乙射手较甲射手的技术好.X123p0.40.10.5Y123p0.10.60.3甲乙两名射手在一次射击中得分(分别用X,Y表示)的分布律如下表所示,试比较甲,乙两射手的技术.2020/1/3010例4因此,E(X)=60.7+5.40.1+50.1+40.06+00.04=5.48(元)X65.4540P0.70.10.10.060.04一批产品中有一、二、三等品，等外品及废品5种,相应的概率分别为0.7,0.1,0.1,0.06及0.04,若其产值分别为6元,5.4元,5元,4元及0元.求产品的平均产值.解:产品产值X是一个随机变量,其分布如下表:2020/1/30111、0-1分布B(1,p),101ppPXE(X)=1×p+0×(1-p)=p；2、二项分布B(n,p)00!()(1)!()!nnknkkkknEXkpkppknk{}(1)0,1,...kknkknpPXkCppkn1(1)(1)1(1)!(1)(1)!()!nknkknnpppknk;nplnlnllnppCnpkl1101)1(1令几个重要的随机变量的数学期望2020/1/30123、泊松分布π(λ)...,2,1,0,!}{~kekkXPXk011;)!1(!)(kkkkekekkXE几个重要的随机变量的数学期望2020/1/3013定义2设连续型随机变量X的密度函数f(x),若积分dxxxfXE)()(()xfxdx为X的数学期望或者均值，简称期望或者均值。二、连续型随机变量的数学期望()xfxdx若积分不绝对收敛，则称X的期望不存在。绝对收敛,则称2020/1/3014若随机变量X服从拉普拉斯分布，其密度函数为试求E(X)。0)(exp21)(xxf解：dxxxXEexp2)(exp||2xtttdt令dttexp0例52020/1/3015例6P82设随机变量X服从密度函数为的柯西分布，求X的数学期望。解：由于21()(1)fxxx2||||()(1)xxfxdxdxx所以，E(X)不存在0220(1)(1)xxdxdxxx202021ln(1)|(1)xdxxx2020/1/30164、均匀分布U(a,b),,0,,1)(~其他bxaabxfXbabadxabxXE;21)(5、指数分布e()0()00xexfxx011|;xe0()xEXxedx0xxde00xxxeedx几个重要的随机变量的数学期望2020/1/30176、正态分布N(,2)xexfXx,21)(~222)(dxexXEx222)(2)(222txttedt令01几个重要的随机变量的数学期望2222122tttedtedt2020/1/3018例7设随机变量X的分布律为解:Y的分布律为求随机变量Y=X2的数学期望。XPk-101313131YPk10313231131031)1(32310321)(222YE三、随机变量函数的期望2020/1/3019定理若X~P{X=xk}=pk,k=1,2,…,则Y=g(X)的期望;)()]([)(1kkkpxgXgEYE定理若(X,Y)~P{X=xi,Y=yj,}=pij,i,j=1,2,…,则Z=g(X,Y)的期望;),()],([)(11ijijijpyxgYXgEZE若X~f(x),-x,则Y=g(X)的期望.)()()]([)(dxxfxgXgEYE若(X,Y)~f(x,y),-x,-y,则Z=g(X,Y)的期望.),(),()],([)(dxdyyxfyxgYXgEZE2020/1/3020设随机变量(X,Y)的分布律如下，求E(XY)。XY1200.150.1510.450.25解:)(XYE15.01015.02045.01125.02195.0例82020/1/3021设随机变量(X,Y)的概率密度求数学期望其它01,123),(23xxyxyxyxfXYEYE1),(例913132xxdydxxy14311133()(,)25xxEfxydydxdxdyXYxyxy解:()(,)EYyfxydydx31/131ln2xxydxx31ln3xdxx33113ln3122xdxxx342020/1/30221、E(C)=C,C为常数;2、E(CX)=CE(X),C为常数；3、E(X+Y)=E(X)+E(Y)；4、若X与Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y).四、数学期望的性质2020/1/3023例11设随机变量nXX,...,1均服从),(2N求随机变量niiXnX11的数学期望解:niiXEnXE1)(1)(分布，若X~B(n,p),求E(X)解:设次实验不成功第次实验成功第iiXi,0,1则,1niiXX,)(pXEiniiXEXE1)()(nppni1因此例102020/1/3024设某种疾病的发病率为p，在N个人中普查这种疾病,为此要化验每个人的血。方法是，每k个人一组，把从k个人抽来的血混在一起化验，如果混合血样呈阴性，则通过，如果混合血样呈阳性，则再分别化验该组每个人的血样。假设每个人的化验反应相互独立。(1)试说明：当p较小时，相比一个个地验血，选取适当的k可以减少化验次数；(2)求k的最佳值。1、在医疗化验方面五、数学期望的应用2020/1/3025某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品的产量。他们估计出售一件产品可获利m元，而积压一件产品导致元n的损失。再者,他们预测销售量Y（件）服从参数为θ0的指数分布，其概率密度为：问若要获得利润的数学期望最大，应生产多少件产品（m,n,θ均已知）？2、市场策略方面0001)(yyexfy数学期望的应用2020/1/3026方差是衡量随机变量取值波动程度的一个数字特征。如何定义？一、方差的定义§2方差2020/1/3027先看两个例子则两炮有相同的期望值(E(Xi)=90,i=1,2),但比较两组数据可知乙炮较甲炮准确.弹着点集中.X180859095100P0.20.20.20.20.2X28587.59092.595P0.20.20.20.20.2例1设甲,乙两炮射击弹着点与目标的距离分别为X1,X2(为简便起见,假定它们只取离散值),并有如下分布律.2020/1/3028图示比较:909095958585801002020/1/3029例2有两批钢筋,每批各10根,它们的抗拉强度指标如下:第一批:110,120,120,125,125,125,130,130,135,140第二批:90,100,120,125,130,130,135,140,145145它们的平均抗拉强度指标都是126,但是,使用钢筋时,一般要求抗拉强度指标不低于一个指定数值(如115).那么,第二批钢筋的抗拉强度指标与平均值偏差较大,即取值较分散,不合格的多,可以认为第二批比第一批质量差.2020/1/3030可见在实际问题中,仅靠期望值(或平均值)不能完善地说明随机变量的分布特征,还必须研究其离散程度.通常人们关心的是随机变量X对期望值E(X)的离散程度.定义如果随机变量X的数学期望E(X)存在,称X-E(X)为随机变量的离差.显然,随机变量离差的数学期望是零,即E(X-E(X))=0不论正偏差大还是负偏差大,同样都是离散程度大,为了消除离差X-E(X)的符号,用(X-E(X))2来衡量X与EX的偏差.2020/1/3031定义()XDX22()(),(),()()()dkkkDXxEXpXxDXxEXxx如果是连续型随机变量有概率密度则如果X是离散型随机变量,并且P{X=Xk}=pk(k=1,2,...),则随机变量X离差平方的数学期望，称为随机变量的方差，记作D(X),有D(X)=E(X-E(X))2称为X有相同量纲的为X的均方差或标准差。可见随机变量的方差是非负数,即D(X)0,常量的方差是零.当X的可能值密集在它的期望值E(X)附近时,方差较小,反之则方差较大.因此方差的大小可以表示随机变量