7-5 平面图

离散数学DiscreteMathematics课程回顾欧拉图：哥尼斯堡七桥问题、无向欧拉图定义与判定定理、一笔画问题、有向欧拉图定义与判定定理、计算机鼓轮设计及其它应用汉密尔顿图：周游世界问题、汉密尔顿图定义与判定定理、图的闭包、判别汉密尔顿路不存在的标号法第七章图论第5讲7-5平面图7-6对偶图与着色问题引入例考虑把三座房和三种设施每种都连接起来的问题，如图7-64所示，是否有可能使得这样的连接里不发生交叉？这个问题可以用K3,3来建模。原来的问题可以重新叙述为：能否在平面里画出K3,3，使得没有两条边发生交叉？•例如印刷线路板上的布线。•在现实生活中，常常要画一些图形，希望边与边之间尽量减少相交的情况，7-5平面图学习本节要熟悉如下术语（8个）：平面图、边界、面、要求：掌握4个定理，重点掌握欧拉定理。在2度结点内同构非平面图、有界面、无界面、面的次数、一、平面图本节重点考虑无向图。1、定义7-5.1如果无向图G=V,E的所有结点和边可以在一个平面上图示出来，而使各边仅在顶点处相交。无向图G称为平面图（planargraph），否则称G为非平面图。有些图形从表面看有几条边是相交的，但是不能就此肯定它不是平面图。例1判断下面的两个图是否为平面图。解：K4是平面图，因为可以不带交叉地画出它（图7-66所示）；Q3是平面图（图7-68所示）；有些图形不论怎样改画，除去结点外，总有边相交。如K3,3图，故它是非平面图。2、面、边界定义7-5.2设G=V,E是一连通平面图，G的边将G所在的平面分成若干个区域，每个区域称为G的一个面(regions)，包围该面的所有边所构成的回路称为这个面的边界（boundary）。面积有限的区域称为有界面（内部面），面积无限的区域称为无界面（外部面）。面r的边界长度称为面r的度（degree）记为deg(r)，又称为面r的次数。例如图7-5.3deg(r1)=3deg(r2)=3deg(r3)=5deg(r4)=4deg(r5)=3deg(r1)+deg(r2)+deg(r3)+deg(r4)+deg(r5)=18如边是两个面的分界线，该边在两个面的度数中各记1次。如边不是两个面的分界线(称为割边)则该边在该面的度数中重复记了两次，故定理结论成立。见前面的图7-5.33、定理7-5.1设G为一有限平面图，面的次数之和等于其边数的两倍。证明思路：任一条边或者是两个面的共同边界（贡献2次），或者是一个面的重复边（贡献2次）4、欧拉定理定理7-5.2（欧拉定理）设G为一平面连通图，v为其顶点数，e为其边数，r为其面数，那么欧拉公式成立v–e+r=2证明（1）若G为一个孤立结点，则v=1，e=0，r=1，故v-e+r=2成立。（2）若G为一个边，即v=2，e=1，r=1，则v-e+r=2成立。（3）设G为k条边时，欧拉公式成立，即vk-ek+rk=2。考察G为k+1条边时的情况。因为在k条边的连通图上增加一条边，使它仍为连通图，只有下述两种情况：①加上一个新结点b，b与图上的一点a相连，此时vk和ek两者都增加1，而面数rk没变，故（vk+1）-（ek+1）+rk=vk-ek+rk=2。②用一条边连接图上的已知两点，此时ek和rk都增加1，结点数vk没变，故vk-（ek+1）+（rk+1）=vk-ek+rk=2。练习317页（1）练习317页（6）证明彼得森图中每个面由5条边围成，k=5，e=15，v=10，k(v-2)/(k-2)=40/315。不成立，所以彼得森图不是平面图。证明彼得森图是非平面图。例：已知一个平面图中结点数v=10，每个面均由4条边围成，求该平面图的边数和面数。解：因每个面的次数均为4，则2e=4r，即e=2r，又v=10，代入欧拉公式v-e+r=2有10-2r+r=2解得r=8，则e=2r=16。说明：这是简单连通平面图的必要条件。5、定理7-5.3设G为一简单连通平面图，其顶点数v≥3，其边数为e，那么e≤3v–6证明思路：设G的面数为r,当v=3,e=2时上式成立,若e=3,则每一面的次数不小于3,各面次数之和为2e,因此2e≥3r,r≤2e/3代入欧拉公式:2=v-e+r≤v-e+2e/3整理后得:e≤3v–6本定理的用途:判定某图是非平面图。例如：K5中e=10，v=5，3v-6=9，从而e3v-6，所以K5不是平面图。定理7-5.3的条件不是充分的。如K3,3图满足定理7-5.3的条件（v=6，e=9，3v-6=12，e≤3v-6成立），但K3,3不是平面图。315页例2证明K3,3图不是平面图。在K3,3中任取三个结点，其中必有两个结点不邻接，故每个面的次数都不小于4，由4r≤2e，r≤e/2，即v-e+e/2≥v-e+r=2，v-e/2≥2，2v-e≥4，2v-4≥e。证明假设K3,3图是平面图。在K3,3中有6个结点9条边，2v-4=2×6-4=89,与2v-4≥e矛盾，故K3,3不是平面图。在给定图G的边上，插入一个新的度数为2的结点，使一条边分成两条边，或者对于关于度数为2的结点的两条边，去掉这个结点，使两条边化成一条边，这些都不会影响图的平面性。6、定义7-5.3给定两图G1和G2，或者它们是同构的，或者反复地插入或去掉二度结点后，使G1和G2同构，则称G1和G2是在2度结点内同构的，也称G1和G2是同胚的。7、库拉托夫斯基定理(Kuratowski定理)定理7-5.4一个图是平面图的充要条件是它不含与K5或K3，3在二度结点内同构的子图。欧拉公式有时可以用来判定某个图是非平面图。下面的库拉托夫斯基定理给出了判定一个图是平面图的充要条件K3，3K5K5和K3，3常称作库拉托夫斯基图。•例2确定下图所示的图是否为平面图？•解：G有与K5二度结点内同构的子图作业317页（2）（3）（5）本节内容到此结束