自动控制原理考试试题第四章习题及答案

1第四章根轨迹法练习题及答案4-1系统的开环传递函数为)4)(2)(1()()(*sssKsHsG试证明点311js在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K和开环增益K。解若点1s在根轨迹上，则点1s应满足相角条件)12()()(ksHsG，如图解4-1所示。对于31js，由相角条件)()(11sHsG)431()231()131(0jjj6320满足相角条件，因此311js在根轨迹上。将1s代入幅值条件：1431231131)(*11jjjKsHsG）（解出：12*K，238*KK4-2已知开环零、极点如图4-22所示，试绘制相应的根轨迹。（ａ）（ｂ）（ｃ）（ｄ）2解根轨如图解4-2所示：4-3已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。⑴)15.0)(12.0()(sssKsG⑵)3)(2()5()(*ssssKsG⑶)12()1()(sssKsG（ｅ）（ｆ）（ｇ）（ｈ）题4-22图开环零、极点分布图图解4-2根轨迹图3解⑴)2)(5(10)15.0)(12.0()(sssKsssKsG系统有三个开环极点：01p,22p,53p①实轴上的根轨迹：5,,0,2②渐近线：,33)12(373520kaa③分离点：021511ddd解之得：88.01d，7863.32d(舍去)。④与虚轴的交点：特征方程为010107)(23kssssD令010)](Im[0107)](Re[32jDkjD解得710k与虚轴的交点（0，j10）。根轨迹如图解4-3(a)所示。⑵根轨迹绘制如下：①实轴上的根轨迹：3,5,0,2②渐近线：22)12(02)5(320kaa③分离点：5131211dddd用试探法可得886.0d。根轨迹如图解4-3(b)所示。4⑶)21(2)1()12()1()(sssKsssKsG根轨迹绘制如下：①实轴上的根轨迹：1,,0,5.0②分离点：115.011ddd解之得：707.1,293.0dd。根轨迹如图解4-3(c)所示。4-4已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出相应的根轨迹。⑴)21)(21()2()(*jsjssKsG⑵)1010)(1010()20()(*jsjsssKsG解⑴)21)(21()2()(*jsjssKsG根轨迹绘制如下：①实轴上的根轨迹：2,②分离点：21211211djdjd解之得：23.4d③起始角：43.15390435.631801p由对称性得另一起始角为43.153。根轨迹如图解4-4(a)所示。⑵)1010)(1010()20()(*jsjsssKsG系统有三个开环极点和一个开环零点。根轨迹绘制如下：①实轴上的根轨迹：0,205②起始角：01359045180根轨迹如图解4-4(b)所示。4-５已知系统的开环传递函数，试概略绘出相应的根轨迹。⑴)208()()(2sssKsHsG⑵)5)(2)(1()()(ssssKsHsG⑶)22)(3()2()()(2sssssKsHsG⑷)164)(1()1()()(2sssssKsHsG解⑴)208()()(2sssKsHsG①实轴上的根轨迹：0,②渐近线：,33)12(383)24()24(0kjjaa③分离点：02412411jdjdd解之得：33.3,2dd。④与虚轴交点：KssssD208)(23把js代入上方程，整理，令其实、虚部分别为零得：020))(Im(08))(Re(32jDKjD6解得：00K16052K⑤起始角：由相角条件632p，633p。根轨迹如图解4-5(a)所示。⑵)5)(2)(1()()(ssssKsHsG①实轴上的根轨迹：,2,50,1②渐近线：43,44)12(24)1()2()5(0kaa③分离点：05121111dddd解之得：54.1,399.0,06.4321ddd(舍去)；④与虚轴交点：KsssssD10178)(234令js，带入特征方程，令实部，虚部分别为零05)6())(Im(028))(Re(324KjDKjD解得：00K7.1912.1K根轨迹如图解4-5(b)所示。⑶)22)(3()2()()(2sssssKsHsG系统有四个开环极点、一个开环零点。根轨迹绘制如下：①实轴上的根轨迹：,3,0,27②渐近线：,33)12(13)2()11()11(3kjjaa③与虚轴交点：闭环特征方程为)2()22)(3()(2sKsssssD把js代入上方程，令05)6())(Im(028))(Re(324KjDKjD解得：00K03.761.1K④起始角57.2557.2513590451803p根轨迹如图解4-5(c)所示。⑷)164)(1()1()()(2sssssKsHsG系统根轨迹绘制如下：①实轴上的根轨迹：,1,1,0②渐近线：,33)12(323)1()32()32(1kjjaa③分离点：1132213221111djdjddd解得：16.276.0,49.0,26.24321jddd、(舍去)④与虚轴交点：闭环特征方程为0)1()164)(1()(2sKsssssD把js代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：803)16())(Im(012))(Re(324KjDKjD解得：00K7.2138.1K3.3766.2K⑤起始角：79..5489..130120901..1061803p由对称性得，另一起始角为79.54，根轨迹如图解4-5(d)所示。4-６已知单位反馈系统的开环传递函数，要求：（1）确定)20)(10()()(2ssszsKsG产生纯虚根为1j的z值和K值；（2）概略绘出)23)(23)(5.3)(1()(jsjssssKsG的闭环根轨迹图（要求确定根轨迹的渐近线、分离点、与虚轴交点和起始角）。解（1）闭环特征方程020030)()20)(10()(2342zKsKssszsKssssD有0)30()200()(324KjzKjD令实虚部分别等于零即：0300200324KzK把1代入得：30K，30199z。（2）系统有五个开环极点：23,23,5.3,1,054321jpjpppp①实轴上的根轨迹：,5.3,0,1②渐近线：13.5(32)(32)2.15(21)3,,555aajjk9③分离点：02312315.31111jdjdddd解得：45.01d,4.22d(舍去),90.125.343jd、(舍去)④与虚轴交点：闭环特征方程为0)23)(23)(5.3)(1()(KjsjsssssD把js代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：05.455.43)Im(05.795.10)Re(3524jKj解得：00K，90.7102.1K，3.1554652.6K（舍去）⑤起始角：根据法则七（相角条件），根轨迹的起始角为74..923..1461359096..751804p由对称性得，另一起始角为74.92，根轨迹如图解4-6所示。4-７已知控制系统的开环传递函数为22)94(2)()(sssKsHsG）（试概略绘制系统根轨迹。解根轨迹绘制如下：①实轴上的根轨迹：2,②渐近线：,33)12(323)2(5252kjjaa③分离点：21522522djdjd图解4-6根轨迹图图解4-7根轨迹图10解之得：29.3d71.0d(舍去)④与虚轴交点：闭环特征方程为02)94()(22）（sKsssD把js代入上方程，令08)72())(Im(028134))(Re(324KjDKjD解得：9621K⑤起始角：）（）（129022901kp解出135,4521pp根轨迹如图解4-7所示。4-８已知系统的开环传递函数为)93()(2sssKsG试用根轨迹法确定使闭环系统稳定的开环增益K值范围。解根轨迹绘制如下：①实轴上的根轨迹：0,②起始角：30③渐近线：,33)12(136.25.16.25.1kjjaa④与虚轴交点：闭环特征方程0)9()(2KssssD把js代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：图解4-8根轨迹图1109))(Im(03))(Re(32jDKjD解得：00K273K根轨迹如图解4-8所示。从根轨迹图可知，闭环系统稳定的K范围为270K，又9*KK，故相应的的K范围为30K。4-９单位反馈系统的开环传递函数为)174()1()12()(2sssKsG试绘制系统根轨迹，并确定使系统稳定的K值范围。解根轨迹绘制如下：①实轴上的根轨迹：4/7,5.0②渐近线：22)12(412)5.0(4/711kaa③与虚轴交点：闭环特征方程为01)7102(7174)(23KsKsssD把js代入上方程，令074)7102())(Im(0711))(Re(32KjDKjD解得：10K，792K根轨迹如图解4-9所示。由图解4-9可知使系统稳定的K值范围为791K。图解4-9根轨迹图124-10单位反馈系统的开环传递函数为)5.0)(2()52()(2ssssKsG试绘制系统根轨迹，确定使系统稳定的K值范围。解根轨迹绘制如下：①实轴上的根轨迹：5.0,2②分离点：由211211215.01jdjddd解得：41.01d。③与虚轴交点：0)52()5.0)(2()(2ssKsssD把s=j代入上方程，令0