《数理统计》第6章§2抽样分布

§2抽样分布1/23第六章样本及抽样分布12,,,nXXX从总体抽取样本)(~xFX怎样集中、提炼出有用的信息“杂乱无章”的数据包含了各种有用的“信息”下面的量能较好地反映全班整体学习情况某班级《高等数学》课程考试成绩单列出个学生成绩分别为如何评价全班整体学习情况？12,,,.nXXXn11niiXn1,maxiinX1,miniinX通过构造样本函数，加工提炼出有用信息12,,,nXXX)(~xFX12,(,,,)ngxxx设为来自总体的样本12r.v(,,,)ngXXX为元函数，若n不含任何未知参数，则称为统计量.12(,,,)ngXXX§2抽样分布2/23第六章样本及抽样分布试验前是随机变量12(,,,)ngXXX试验后是具体的数值12(,,,)ngXXX12,,,nXXX),(~2NX设为来自总体的样本,其中均未知，判断下列哪些是统计量：2,221111111,(),(),max{}nnniiiiiniiiXXXXnnn为什么要求统计量不含任何未知参数§2抽样分布3/23第六章样本及抽样分布11niiXXn22111()niiXSXn11(1,2,)nkkiiAXkn11()(1,2,)nkkiiBXkXn(1)12min{,,,}nXXXX()12max{,,,}nnXXXX2SS2111()niiXXn与均值和方差有什么不同?为什么不是(下章说明)1n与第4章介绍的矩有什么不同?§2抽样分布4/23第六章样本及抽样分布11()()nkkiiEAEXn()(1,2,)kkEXk11()(1,2,)nkkiEXkn独立,与总体同分布12,,,nXXX12,,,kkknXXX独立,与同分布kX11,nkikkiPAXnn1212(,,,)(,,,),kkPgAAAgn由辛钦大数定律知1,2,k都存在12,,,nXXX)(~xFX设为来自总体的样本,总体阶矩k其中为连续函数g§2抽样分布5/23第六章样本及抽样分布设总体的均值和方差X12,,,nXXXX是来自总体的样本，则都存在.222(),(),()EXDXESn11()()niiEXEXn11()niiEXn11()()niiDXDXn211()niiDXn2n2(1)nS2(),()EXDX21[()()]niiXX21()niiXX2211()2()()()nniiiiXXXnX221()()niiXnX2221()2()()niiXnXnX2221(1)()()()niinESEXnEX221ninn2(1)n22()ES§2抽样分布6/23第六章样本及抽样分布11niiXXn2211()1niiSXXn222(),(),()EXDXESn说明了什么？是全体实验数据12,,,nXXX的平均值是数据12,,,nXXX的中心反映了实验数据与数据中心的偏离程度，反映了全体实验数据的离散程度12,,,nXXX12,,,nXXX§2抽样分布7/23第六章样本及抽样分布12,,,nXXX12(,,,)ngXXX包含了各种有用信息集中、提炼数据中包含的有用信息它们是随机变量,必须确定其分布，称为抽样分布来自标准正态总体的抽样分布来自一般正态总体的抽样分布2分布分布分布,t,F五个抽样分布定理§2抽样分布8/23第六章样本及抽样分布0,00,)2/(21)(2/12/2/yyeynΓyfynn222212nXXX321O65498721110151413101.002.003.004.0y)(yf1n2n4n6n11n随着自由度的增加曲线重心向右下方移动2是来自总体)1,0(~NX12,,,nXXX设的样本,令称服从自由度为的分布，记为2222.~()nn210()(0)xzΓzxedxz22221212~()nn且相互独立,则22221122~(),~(),nn2212,设22221212~()kknnn且22~(),1,2,,,iinik22212,,,k设相互独立,则,于是理解为可独立变化的r.v个数222212nYYY122212nXXX122212nXXX222212nYYY则22~(),n22(),()2EnDn设12r.v,,,nXXX取个独立同分布的n)1,0(N则与222212nXXX同分布221()()niiXEE21()niiEX1()niiDX11nin21()nDX42211{()[()]}nEXEX2421(1)2xnxedxnn2)13(221()()niiDDX2§2抽样分布9/23第六章样本及抽样分布()()fxfx()0(0)fxx()0(0)fxx随着自由度的增加曲线越来越趋近(0,1)N/XtYnt且,XY2~(0,1),~(),XNYn设相互独立,令称服从自由度为的分布，记为tt.()~ttnnt2(1)/2[(1)/2]()1+,(/2)nΓnxfxxnnΓn易知：lim()0xfxO1x()fx234512345)2(t)9(t)1,0(Nlim()0xfx22xe()n()n12利用伽马函数的斯特林公式22(1)lim()2xnfexx即故当较大时,可认为n()(0,1)(45)tnNn英国统计学家兼化学家戈塞特(GossetWS1876-1937)于1908年用笔名Student发表了关于t分布的论文,这是一篇在统计学发展史上划时代的文章,它创立了小样本代替大样本的方法，开创了现代统计学的新纪元.Gosset,Student的最后一个字母都是t,故取名为“t分布”,又称为“学生氏分布”.§2抽样分布10/23第六章样本及抽样分布12//nUFnVF且,UV2212~(),~(),UnVn设相互独立,令称服从自由度为的分布，记为FF12.(,)~FFnn12(,)nnF()fx112121212/2/21212212[()/2],0(/2)(/2)()nnnnnΓnnxnnxΓnΓnnxn0,0x()fxO0.1x0.2)4,10(F)50,10(FF若12~(,),FFnn211~(,)FnnF则分布是为了纪念著名统计学家F费歇耳(R.A.Fisher1890-1962)而命名§2抽样分布11/23第六章样本及抽样分布1、2、3、5§2抽样分布12/23第六章样本及抽样分布2~(,)XN如何由样本推断12,,,nXXX2,对的推断是通过构造统计量实现的2,12(,,,)ngXXX?如何构造“好”的统计量服从什么分布？12(,,,)ngXXX统计推断中最重要的结论：§2抽样分布13/23第六章样本及抽样分布仍服从正态分布,且的样),(~2NX12,,,nXXX设是来自总体本,则2~(,)XNn121()nXXXXn2(,)N12,,,nXXX独立同分布由正态分布的性质知，线性组合2(),()EXDXn2~(,)XNn§2抽样分布14/23第六章样本及抽样分布的样本，),(~2NX12,,,nXXX设是总体分别为样本均值和样本方差，则有2,XS222(1)~(1)nSn相互独立2,XS2221(1)()()niinSXnX222221/niiXXn22221(1)/niinSXXn2~(,)XNn~(0,1)/XNn2~/Xn2(1)~(0,1)iXN21~niiX2()n2()n2(1)2(1)n§2抽样分布15/23第六章样本及抽样分布的样本，),(~2NX12,,,nXXX设是总体分别为样本均值和样本方差，则有2,XS)1(~/ntnSX由定理一、定理二有)1,0(~/NnXY2222(1),~(1)nSn且与独立Y2，由分布的定义有t2/YSn22/(1)/1XnnSn/XSn~(1)tn222(1)~(1)nSn2222(1)(1)1,2(1)nSnSEnDn42222(),()1ESDSn即“平均”说来与的差别不大2S2,故可用“代替”2S2)1,0(~/NnX)1(~/ntnSX两个未知参数,一个未知参数§2抽样分布16/23第六章样本及抽样分布的样本；211~(,)XN112,,,nXXX设是总体的样本,且两样本相互独立,222~(,)YN212,,,nYYY是总体两样本均值和样本方差分别为则2212,,,.XYSS由定理二，有因两样本独立，故独立2221,SS211121222222(1)(1)(1)(1)nSnnSn22112222//SS12~(1,1)Fnn2211122222/~(1,1)/SFnnS22112222122212(1)(1)~(1),~(1)nSnSnn§2抽样分布17/23第六章样本及抽样分布的样本；21~(,)XN112,,,nXXX设是总体的样本,且两样本相互独立,22~(,)YN212,,,nYYY是总体两样本均值和样本方差分别为则2212,,,.XYSS121212()()~(2)11XYtnnSnn其中2211222212(1)(1),2nSnSSSSnn.221212~(,),~(,)XNYNnn,且相互独立,XY221221~(,)XYNnn12()()~(0,1)XYNσ2111nn又221122221222(1)(1)~(1),~(1)nSnSnn由的独立性及分布的可加性有2212,SS2222112212212222(1)(1)(2)~(2)nSnSnnSnn由两样本的独立性及分布的定义有F12()()XY1211nn12~(2)tnn212122(2)/(2)nnSnn1212()()11XYSnn§2抽样分布18/23第六章样本及抽样分布Oxy)(xfy面积为ffdxxffXP)(}{则称为分布密度的上分位点f)(xf~(),Xfx01,设若存在常数满足f的上分位点记为(0,1)Nz§2抽样分布19/23第六章样本及抽样分布fdxxffXP)(}{则称为分布密度的上分位点f)(xf~(),Xfx01,设若存在常数满足f的上分位点记为(0,1)NzOz查标准正态分布表,可求得05.0z645.1265.164.195.0z05.0z645.1