求速度和加速度的拉格朗日描述

1第一章流体力学基础——流体的性质及流体运动的描述方法西安建筑科技大学粉体工程研究所21.1流体力学概述EXIT•流体的性质•描述流体运动的方法•流线与迹线•系统与控制体•雷诺输运定理3EXIT•流体的性质流体的基本物理性质流体质点和流体微元的概念流体的连续性——连续介质模型流体的可压缩性与热膨胀性流体的传递性质流体的运动4EXIT流体的基本物理性质密度某空间点附近单位体积内流体质量的平均值。Vm0VVΔΔlimΔΔ比容dVdmVΔmΔlim)z,y,ρ(x,0VΔVρdVm密度的倒数，即单位质量流体所占有的体积。ρ1kg/m3m3/kg5EXIT流体的基本物理性质（多组分流体的浓度）质量浓度在单位体积中所含某组分i的质量，通常用i表示。dVdmzyxAAVΔmΔlim),,,(A0VΔ摩尔浓度dVdmVΔmΔlim)z,y,(x,BB0VΔBρ单位体积中所含某组分i的物质的量，用符号ci表示。kg/m3BA混合流体密度质量分数BBAAww,mol/m3dVdnΔVΔn)(x,y,z,cdVdnΔVΔnABΔVBAAΔVA00limlim)z,y,(x,c6EXIT流体质点和流体微元的概念流体质点流体微元为了满足数学分析的需要，引入流体质点模型：(1)流体质点无线尺度，无热运动，只在外力作用下作宏观平移运动;(2)将周围临界体积范围内的分子平均特性赋于质点。为了描述流体微团的旋转和变形引入流体微元（流体质元、流体元）模型：(1)流体微元为由大量流体质点构成的微小单元（δx，δy，δz）;(2)由流体质点的相对运动形成流体微元的旋转和变形。7EXIT流体的连续性——连续介质模型连续介质模型假设流体是由连续分布的流体质点组成的介质。(1)可用连续性函数B(x,y,z,t)描述流体质点物理量随空间分布和时间变化；(2)可利用物理学基本定律建立流体运动微分或积分方程，并用连续函数理论求解方程。连续介质假设是对物质分子结构的宏观数学抽象。除了稀薄气体、激波外的绝大多数流动问题，均可用连续介质假设作理论分析。说明8EXIT流体的可压缩性与热膨胀性也可以用体积弹性模量来度量，简称为体积模量，用E表示。在等温条件下，压强的变化引起流体体积和密度变化的性质。在SI制中体积模量的单位是帕(Pa)水92210/ENm空气551.410/ENm体积模量越大，说明流体越不容易被压缩。液体的可压缩性通常可以忽略。通常用等温压缩系数来度量，用T表示。流体的可压缩性TT1ργ()ρPdρdpργ1ET9＝常数EXIT流体的可压缩性与热膨胀性在等温条件下，压强的变化引起流体体积和密度变化的性质。通常用热膨胀系数来度量，用表示。流体的可压缩性在温度改变时，流体的体积或密度可以改变的性质。流体的热膨胀性1()PddT可压缩流体与不可压缩流体10牛顿粘性定律EXIT流体的传递性质（动量、能量、质量）动量传递——流体的粘性流体粘性首先表现在相邻两层流体作相对运动时有内摩擦作用。流体内摩擦的概念最早由牛顿（I.Newton,1687）在《自然哲学的数学原理》一书中提出。“流体的两部分由于缺乏润滑而引起的阻力（若其他情况一样），同流体两部分彼此分开的速度成正比”;“不过，流体的阻力正比于速度，与其说是物理实际，不如说是数学假设”。11牛顿内摩擦假设在过了近一百年后，由库仑（C.A.Coulomb,1784）用实验得到证实。库仑把一块薄圆板用细金属丝平吊在液体中，将圆板绕中心转过一角度后放开，靠金属丝的扭转作用，圆板开始往返摆动，由于液体的粘性作用，圆板摆动幅度逐渐衰减，直至静止。库仑分别测量了三种圆板的衰减时间普通板涂腊板细砂板动量传递——流体的粘滞现象（粘性）12动量传递——流体的粘性三种圆板的衰减时间均相等。库仑得出结论:衰减的原因，不是圆板与液体之间的相互摩擦，而是液体内部的摩擦。13EXIT动量传递——流体的粘性牛顿粘性定律AyuFΔΔ负号：若0yu/则y=c平面下方流体施加给该面上方流体粘性力的方向与x轴的负方向相同。—流体的动力学粘性系数，简称粘度，Pas。dyudyxuyx—流体的运动粘性系数，m2/s。v14EXIT动量传递——流体的粘性牛顿流体非牛顿流体遵循牛顿粘性定律的流体。所有气体和大多数低分子量的液体均属牛顿型流体。某些高分子溶液、油漆、血液理想流体粘性系数等于零的流体。当流体的粘性较小（如水、空气等），或各层流体运动的相对速度也不大时，所产生的粘性应力较之其他的作用力（如惯性力等）可忽略不计粘性流体实际流体15能量传递——流体的导热现象（导热性）傅立叶定律流体的导热现象：当静止流体中的温度分布不均匀时，流体分子会从温度高的地方向温度低的地方迁移，同时流体的热能也伴随着分子热运动从高温区域向低温区域传递的现象。dydtkqy热流密度（单位时间单位面积上所传递的热量），w/m2。16质量传递——流体的扩散现象菲克定律流体的扩散现象：当流体的密度分布不均匀时，流体的分子会从高密度处向低密度处迁移的现象。自扩散指在单组分流体中，因流体自身密度差所引起的扩散；互扩散多组分的混合流体中，因各组分各自的浓度差而在其他组分中所引起的扩散；dydρDjy流体沿y轴方向的质量扩散通量（单位时间通过单位面积的物质质量），kg/(m2s)17三种传递现象的相似性dydρDjydudydydtkqy18流体的状态参数与状态方程一定质量流体容积、压强与绝对温度的状态方程：(,)pfTV理想气体：mpVRTnRTM单位质量单组分气体：pRTcRTMA、B两组分混合气体：AAAABBBBABpRTcRTMpRTcRTMppp高温压缩气体：2()()pVRTV19EXIT流体的运动流体分子微观运动自身热运动流体团宏观运动外力引起统计平均值流体团分子速度的统计平均值曲线临界体积uuu20•描述流体运动的方法拉格朗日法对象为流体质点，描述每个流体质点自始至终的运动过程，即流体质点的位置随时间的变化规律。研究质点的运动轨迹用数学语言来描述流体的运动（方程，数学模型），把真实的物理问题转变为数学问题。欧拉法对象为空间点，描述空间每一点上的流体运动随时间的变化。研究物理量在空间的分布21用拉格朗日法描述流体的运动•拉格朗日坐标运动初始时刻流体质点的位置坐标。说明：①=0时刻，流体质点的坐标为(a,b,c),(a,b,c)即为拉格朗日坐标。不同的流体质点，(a,b,c)的值不同，所以(a,b,c)应是针对不同质点的一组数。②在直角坐标系中，拉格朗日坐标可以用=0时流体质点的初始位置坐标(x0,y0,z0)表示。•拉格朗日描述f=f(a,b,c,)说明：f为流体质点的某一物理量，上式表示在运动初始时刻坐标为(a,b,c)的流体质点在时刻该物理量的值或表达式。22用拉格朗日法描述流体的运动将流体质点的物理量具体为流体质点的位置、速度、加速度。位置),,,(cbarr或),,,(),,,(),,,(cbazzcbayycbaxx速度),,,(cbauu或tcbazcbautcbaycbautcbaxcbauzyx),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(质点速度为质点矢径随时间的变化率rΔ)(a,b,c,r)Δ(a,b,c,r)(a,b,c,uΔt0lim23用拉格朗日法描述流体的运动),,,(cbaaa加速度质点加速度为质点在时刻的速度随时间的变化率220),,,(),,,(),,,(),,,(lim),,,(cbarcbaucbaucbaucbaat22),,,(),,,(),,,(cbaxcbaucbaaxx22),,,(),,,(),,,(cbaycbaucbaayy22),,,(),,,(),,,(cbaztcbaucbaazz24用欧拉法描述流体的运动•欧拉坐标固定于空间的坐标系的一组坐标。说明：①用其表示流体质点在不同时刻运动到空间某一点的位置②在直角坐标系中，欧拉坐标可以可以直接用直角坐标(x,y,z)表示。•欧拉描述)),(),(),((zyxFf25用欧拉法描述流体的运动位置)),(),(),((zyxrr或)()()(zzyyxx速度)),(),(),((),(zyxurudrdu或ddzzyxuuddyzyxuuddxzyxuuzzyyxx),,,(),,,(),,,(26用欧拉法描述流体的运动ddzzuddyyuddxxuududzyxa),,,(加速度ddzuddyuddxuzyx,,uuuzuuyuuxuuuzyx)(zuyuxuzkyjxikujuiuuzyxzyx)()(——哈密顿算子；zkyjxi威廉.哈密顿xxxxxxyzyyyyyxyzzzzzzxyzduuuuuuuudxyzduuuuuuuudxyzduuuuuuuudxyz27用欧拉法描述流体的运动使用欧拉描述涉及到场的概念。场：如果在全部空间或部分空间里的某一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，就说在这个空间里确定了该物理量的一个场。使用欧拉法所描述的各物理量均为空间点坐标和时间的函数——速度场，加速度场，压力场，温度场……28欧拉描述与拉格朗日描述的比较拉格朗日描述欧拉描述分别描述有限质点的轨迹同时描述所有质点的瞬时参数不能直接反映参数的空间分布直接反映参数的空间分布不能描述流体元的运动变形特性适合描述流体元的运动变形特性拉格朗日观点是重要的流体力学最常用的解析方法29欧拉描述与拉格朗日描述的互换拉格朗日描述欧拉描述求解),,,(cbarr得到a,b,c作为x()，y()，z()的函数，将之代入f＝f（a，b，c，），便可得到f的欧拉描述。例1.1已知流体运动的拉格朗日描述ccxae,ybe,求速度与加速度的欧拉描述。30欧拉描述与拉格朗日描述的互换解：利用已知的拉格朗日运动描述和速度与加速度的定义，可得速度与加速度的拉格朗日描述为22.ccxy_yxccxyxaybue,ue,ccuuabae,aecc已知ccaxe,bye（1）（2）速度与加速度的欧拉描述：a,b关于（x,y,)的表达式（1）、（2）式2222ccxy_ccxyaxbyue,ue,ccccaxbyae,ae.cccc31②利用=0时代入求得c1，c2,，c3依赖于a,b,c的表达式；欧拉描述与拉格朗日描述的互换欧拉描述拉格朗日描述①利用速度的定义将速度表达式积分求得矢径的表达式或空间位置坐标表达式：),,,(321cccrr),,(),,(),,,(32,13,21321ccczzcccyycccxx),,,(cbaAr③将c1，c2,，c3的表达式代入矢径和物理量的欧拉描述，即得拉格朗日描述。32将积分欧拉描述与拉格朗日描述的互换解：求速度和加速度的拉格朗日描述。例1.2已知流体运动的欧拉描述xyxyu,ucc和初始条件＝0时byax,,xydxxdyyuudcdc