放缩法证明数列不等式【最终】

专题：放缩法证明数列不等式第一课时可求和型（一）资料卡片：何为“放缩法”在证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的。我们把这种方法称为放缩法。—《数学选修4-5不等式选讲》如何放大（或缩小）？放大（或缩小）过度如何解决？观察下列各式，你有什么发现？12naaafn形如数列求和方法：公式法，错位相减法，裂项相消法，倒序相加法，分组求和法。例1例2例3化简化简11(1)12211212nn左式222nn左式nN2222nn1112n【定性分析】将通项放缩为等比数列将通项放缩为错位相减模型放大放大11212nn22nnnnn【放缩探究】【方法总结之一】(1)入手点：不等式左边若可以直接求和，就先求和再放缩；若不能直接求和，一般要先放缩成可求和的数列模型后再求和。(2)放缩方法：*Nn减小分母（“直接删减”）；根据寻找常数(3)放缩模型：等比数列模型，错位相减模型。例1例2例3化简转化11111()133557(21)201319)(21)2nnnN(求东证(广文第3)问：例2111111[(1)()()]233521211111(1)=2212221nnnn左边11122212n11122212n提示1提示2222(201319(311171()23)4)nnN理求证：广东第问变式222)111111=1(1)121(21nnnnnnn22)11111=(1)1(2nnnnnnnn【放缩探究】(2)n(2)n22)111111=1(1)121(21nnnnnnn22)111111=1(1)121(21nnnnnnn22)11111=(1)1(2nnnnnnnn22)11111=(1)1(2nnnnnnnn提示122)1(121nnn提示222)1(12nnnn2222221111231111+++2233nnn12n【放缩探究】711742==42224222nnnnn2222221111231111+++21311nn自主探究合作交流•同样是使放大，为什么提示1可以证明原不等式而提示2会出现问题？•如何改进提示1的证明过程？21n思路二保留项变多，放大项变少思路一在原有基础上，即从第二项开始放缩，缩小放大程度将通项放得比提示2更小一点，例如提示1222(201319(311171()23)4)nnN理求证：广东第问变式2【放缩探究】2211111nnnnnnn2211111nnnnnnn【方法总结之二】(1)注意点：放缩法证明与数列求和有关的不等式的过程中要注意放缩程度，放缩时做到“有所保留”.(2)放缩方法：减小分母（“缩小组成部分”）(3)放缩模型：裂项相消模型练一练在数列na中，1=1a，*11112Nnnnnnaaaa（1）求证数列na是等差数列，并求na的通项公式；（2）21nnba，求证1254nbbb例1例2例3提示*11112N23nnn求证：.例3122nn2=+nn【放缩探究】)122(1122nnnnnn111123210213212nnnn【方法总结之三】常见的裂项放缩技巧222111111(1)111111121(1)(1)21112232(1)21nnnnnnnnnnnnnnnnnnn练一练已知nS为数列na的前n项和，3(1)nnSnann（*nN），且211a．（1）求1a的值；（2）求数列na的前n项和nS；（3）设数列{}nb满足nnnbS，求证：122323nbbbn．课堂小结本节课我们一起研究了利用放缩法证明数列不等式不可求和可求和放缩目标（可求和；放缩程度）等比数列错位相减模型裂项相消模型先求和再放缩先放缩再求和12naaafn形如入手点证明过程放缩模型本节课学到的放缩方法2221112122211111121(1)(1)211111113(1)1nnnnnnnnnnnnnnnnnnnn本节课学到的放缩方法2221112122211111121(1)(1)211111113(1)112242(1)21nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn牛刀小试练习1已知数列na的前n项和为nS，且满足2=1nnSan（1）求na的通项公式；（2）求证121113+4nSSS练习2（08·辽宁卷）已知：21,1nnannbn求证：1122111512nnababab练习3设数列na的前n项和为nS。已知11a，2*1212N33nnSannnn（1）求2a的值；（2）求na的通项公式；（3）证明：*121115N3nnaaa练习4已知数列na满足：nan是公差为1的等差数列，且12=1nnnaan。（1）求na的通项公式；（2）设*41Nnnbna，求证*1221Nnbbbnn拓展探究223311113()(201219(33))32322322nnnN广东理第求证：问