第二章 平面体系的几何构造分析b

石家庄铁道大学平面体系的机动分析第二章平面体系的机动分析§2-1概述§2-2平面体系的计算自由度§2-3几何不变体系的组成规则§2-4瞬变体系§2-5机动分析举例§2-6三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况§2-7几何构造与静定性关系石家庄铁道大学平面体系的机动分析§2-1概述一、基本概念1.几何不变体系与几何可变体系几何不变体系(Geometricallystablesystem):若不考虑材料的应变，体系的位置和形状不会改变。几何可变体系(Geometricallyunstablesystem):若不考虑材料的应变，体系的位置和形状是可以改变的。石家庄铁道大学平面体系的机动分析二、几何组成分析的目的1.判断某个体系是否为几何不变体系，因为几何可变体系不能作为结构来使用。2.正确区分静定结构与超静定结构。2.几何组成分析的概念分析一个体系的几何组成部分，判定它的几何组成性质，以确定它能否被工程结构采用，这一工作称为几何组成分析（机动分析）石家庄铁道大学平面体系的机动分析§2-2平面体系的计算自由度一、几个概念2.自由度(Degreesoffreedom)体系运动时可以独立变化的几何参数的数目确定体系位置所需要的独立坐标的数目1.刚片(Rigidbody)由于不考虑材料的应变，可以把一根梁、一根链杆或一个几个不变部分作为一个刚体，在几何构造分析中称为刚片。石家庄铁道大学平面体系的机动分析2）一个刚片在平面内有三个自由度，因为确定该刚片在平面内的位置需要三个独立的几何参数x、y、φ。结点自由度xyAyx刚片自由度xyyxφ1）一个结点在平面内有二个自由度，因为确定该点在平面内的位置需要二个独立的几何参数x、y。石家庄铁道大学平面体系的机动分析1）链杆(Links)约束的种类分为：链杆约束xyxφ,xxyxy321,,,,yx132简单链杆:仅连结两个结点的杆件称为简单链杆。一根简单链杆能减少一个自由度，故一根简单链杆相当于一个约束。3.约束(Restraints）凡是能减少体系自由度的装置就称为约束，也称为联系。石家庄铁道大学平面体系的机动分析n=3复杂链杆连结三个或三个以上结点的杆件称为复杂链杆，一根复杂链杆相当于（2n-3）根简单链杆，其中n为一根链杆连结的结点数。(23)2333n2）铰(Hinges)一个单铰能减少体系两个自由度，故相当于两个约束。单铰:只与两个刚片连结的铰称为简单铰。xyxIII2121,,,yxy石家庄铁道大学平面体系的机动分析xyxIIIIII2(3-1)=4123321,,,,yxy3）刚性连结(Rigidconnections)看作一个刚片若连结的刚片数为m，则该复铰相当于(m-1)个简单铰，故其提供的约束数为2(m-1)个。复铰:与三个或三个以上刚片连结的铰称为复饺。请你思考：任何约束都能使体系的自由度减少吗？不能使体系的自由度减少的装置称为多余约束。石家庄铁道大学平面体系的机动分析4）瞬铰（Instantaneoushinge)两根链杆的约束作用相当于在链杆交点处一个简单铰所起的约束作用。故两根链杆可以看作为在交点处有一个瞬铰（虚铰）。关于∞点的情况需强调几点：——每一个方向有一个∞点;——不同方向有不同∞点;——各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线;——各有限点都不在∞线上。相交在∞点AA石家庄铁道大学平面体系的机动分析二、平面体系的计算自由度设平面体系是由m个刚片用h个单铰相连,然后与基础用r个链杆相连,则其计算自由度为)2(3rhmW请您思考:为什么称W为计算自由度?实例例1试求图示体系的计算自由度。解：ABCIIIIII1230)522(33W石家庄铁道大学平面体系的机动分析例2求图示体系的计算自由度。AIII12345例2-3-3求图示体系的计算自由度。解：67D(3)9A(2)12345C(1)E(1)810B(2)2m1h8r4)812(23W7m9h3r0)392(73W石家庄铁道大学平面体系的机动分析注：对铰结链杆体系，其计算自由度可用下式计算2Wjbr67D(3)9A(2)12345C(1)E(1)810B(2)其中，j为铰结点的数目为体系内部链杆数目为支座链杆数目br对右图体系，25730W其计算自由度为5j7b3r请思考：计算自由度小于零，或者等于零，体系一定是几何不变的吗？石家庄铁道大学平面体系的机动分析1.三、组成几何不变体系的必要条件0W表示体系缺少必要的自由度，体系为几何可变。2.0W表示体系具有成为几何不变所必需的最少联系数目，体系可能不变也可能可变。3.0W表示体系具有多余联系，体系可能不变也可能可变。注：构成一个几何不变体系必须满足的条件为0W，但此条件为必要条件而非充分条件。当体系不与基础相连时，体系对基础有3个自由度，此时，体系为几何不变体系的必要条件变为3W石家庄铁道大学平面体系的机动分析§2-3几何不变体系的组成规则一、几何不变体系的组成规则1.规则1——三个刚片之间的连接三个刚片用三个铰两两相连，且三个铰不在同一直线上，则组成几何不变体系且无多余约束。AIIIIIIBC被约束对象：刚片I，II，III提供的约束：铰A、B、C注意：1，铰A、B、C不能在一条直线上；2，必须是两两相连，即每两个刚片之间有一个单铰；3，铰A、B、C可以是实铰，也可以是虚铰。石家庄铁道大学平面体系的机动分析下图示体系，结点A、刚片I由共线的链杆1，2相连，是瞬变体系。A12I2.规则2——两个刚片之间的连接两个刚片用一个铰以及与该铰不共线的一根链杆相连，则组成几何不变体系且无多余约束。刚片I,II——用铰A连接刚片I,III——用铰B连接刚片II,III——用铰C连接（虚铰）AIIIIIIBC石家庄铁道大学平面体系的机动分析铰A是瞬铰时，二刚片规则也可以这样描述：A1III两个刚片用三根互不平行也不交于同一点的链杆相连，则组成几何不变体系且无多余约束。被约束对象：刚片I，II提供的约束：铰A及链杆1A1III注意：Ⅰ，链杆1的延长线不能通过铰A；Ⅱ，铰A既可以是实铰，也可以是虚铰。石家庄铁道大学平面体系的机动分析3.规则3——一个结点与一个刚片的连接一个结点与一个刚片用不共线的两根链杆相连，则组成几何不变体系且无多余约束。被约束对象：结点A，刚片I提供的约束：两根链杆1，2A12I二元体：由两个不共线的链杆引出一个新结点的装置叫作二元体。二元体规则：在一个刚片上增加一个二元体，仍为几何不变体系。推论：在一个体系上增加或者去掉一个二元体，不改变体系的几何组成性质。石家庄铁道大学平面体系的机动分析§2-4几何瞬变体系瞬变体系——本来几何可变，经微小位移后又成为几何不变的体系称为瞬变体系。B1BACo瞬变体系注：只有几何不变体系才能作为结构使用；此外应根据几何不变体系的规律设计新结构。石家庄铁道大学平面体系的机动分析2PNSin0时体系为瞬变体系若P=0，则N为不定值；若P0，则N为无穷大。表明：瞬变体系在很小的荷载作用下也会产生巨大的内力，以致体系破坏。设每个杆长为l，当中间点产生向下的微小位移时，杆件的伸长量为24222111282llllllll石家庄铁道大学平面体系的机动分析该式表明：杆件稍有变形时，结点就会产生显著的位移结论：无论从受力的角度看还是从位移的角度看，瞬变体系均不能作为结构在实际工程中采用。一般说来，当几个简单组成规则中的条件不满足时，都为瞬变体系，如下面几个体系：A1B2IIIIII石家庄铁道大学平面体系的机动分析基础看作一个大刚片；要区分被约束的对象及提供的约束；在被约束对象之间找约束；除复杂链杆和复杂铰外，约束不能重复使用。解题思路：例2-2-1试分析图a)所示体系的几何构造。a）§2-5机动分析举例石家庄铁道大学平面体系的机动分析1）被约束对象：刚片I,II及结点D。刚片I、II用链杆1、2、3相连，符合两刚片规则，组成大刚片；I解：大刚片、结点D用链杆4、5相连，符合二元体规则，故体系为几何不变且无多余约束。Ia）12345DIII（基础）石家庄铁道大学平面体系的机动分析2）被约束对象：刚片I,II,III及结点D，见图b)。II（基础）b）刚片I、II用链杆1、2相连(瞬铰o)；刚片I、III用铰B相连；刚片II、III用铰A相连。铰A、B、o不共线，符合三刚片规则，组成大刚片。IA1234DIIIIBo大刚片与结点D用链杆3、4相连，符合规律1。故体系几何不变且无多余约束。I解：石家庄铁道大学平面体系的机动分析例2-2-2试分析图示体系的几何构造。刚片I、II用链杆1、2、3相连，符合规律4。故该体系几何不变且无多余约束。123III（基础）解：石家庄铁道大学平面体系的机动分析例2-2-3试分析图示体系的几何构造。刚片I、II用链杆1、2相连，（瞬铰A)；刚片I、III用链杆3、4相连，（瞬铰B)；刚片II、III用链杆5、6相连，（瞬铰C)。A、B、C三铰均在无穷远处，位于同一无穷线上，故为瞬变体系。解：BAC6I125IIIII34石家庄铁道大学平面体系的机动分析例2-2-4试分析图示体系的几何构造。刚片I、II用链杆1、2相连（瞬铰A)刚片I、III用链杆3、4相连（瞬铰B)（瞬铰C)刚片II、III用链杆5、6相连因为A、B、C三铰不在同一直线上，符合三刚片规则，故该体系几何不变且无多余约束。解：CA12IIII（基础）II4356B石家庄铁道大学平面体系的机动分析思考题：试分析下图示各体系的几何构造组成。石家庄铁道大学平面体系的机动分析石家庄铁道大学平面体系的机动分析小结：3）注意约束的等效替换。1）要正确选定被约束对象（刚片或结点）以及所提供的约束。2）要在被约束对象（刚片或结点）之间找约束，除复杂链杆和复杂铰外，约束不能重复使用。石家庄铁道大学平面体系的机动分析1.一铰无穷远图示体系，一个瞬铰C在无穷远处，铰A、B连线与形成瞬铰的链杆1、2不平行，故三个铰不在同一直线上，该体系几何不变且无多余约束。AIII1IIB2IC§2-6三刚片体系中虚铰无穷远情况石家庄铁道大学平面体系的机动分析当铰A、B连线与形成瞬铰的链杆1、2平行时，则三个铰处在同一直线上，该体系便成为几何瞬变体系。AIII1IIB2IC特殊情况下，如果A，B为实铰，且1、2与A、B的连线等长，则体系为几何可变。A1B2IIIIII石家庄铁道大学平面体系的机动分析图示体系，瞬铰B、C在两个不同方向的无穷远处，它们对应于无穷线上两个不同的点，铰A位于有限点。由于有限点不在无穷线上，故三铰不共线，体系为几何不变且无多余约束。BIIIIICIA2.两铰无穷远石家庄铁道大学平面体系的机动分析图示体系，形成瞬铰B、C的四根链杆相互平行（不等长），故铰B、C在同一无穷远点，所以三个铰A、B、C位于同一直线上，故体系为瞬变体系。AIIIIICIBACBIIIIII特殊情况下，若形成瞬铰B、C的四根链杆相互平行且等长，则体系为几何常变体系。如右图石家庄铁道大学平面体系的机动分析图示体系，三个虚铰A、B、C都在无穷远处，此时，根据无穷远点的理论知道，这三个铰点是在同一直线上的，故三铰共线，体系为几何瞬变体系。BIIIIICIA3.三铰无穷远石家庄铁道大学平面体系的机动分析§2-7几何构造与静定性的关系几何不变体系有多余约束无多余约束平衡方程有唯一解（静定结构）平衡方程有无穷多解（超静定结构）qq石家庄铁道大学平面体系的机动分析几何可变体系常变体系瞬变体系平衡方程无解平衡方程无解q特殊情况特殊情况有解有解（超静定）结论：只有无多余联系的几何不变体系有解且唯一。或者说，静定结构的几何构造牲是：几何不变且无多余约束。