第二章 平面汇交力系与平面力偶系

1第二章平面汇交力系与平面力偶系2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法2.3平面力对点之矩2.4平面力偶系22.1平面汇交力系合成与平衡的几何法所谓平面汇交力系指各力的作用线在同一平面内且汇交于一点的力系。2.1.1平面汇交力系合成的几何法及力多边形法则平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力作用线通过各力的汇交点，合力的大小和方向等于原力系中所有各力的矢量和，即R12niFFFFF1F2F3F4FRF1F2F3F4FRF1RF2RF2F3FRF4F1F32.1.2平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系可用其合力来代替。显然，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零，即R10niiFF平面汇交力系平衡的几何条件可表述为：该力系的力多边形自行封闭。42Fa4F3F1FRFbedc501015力比例尺(kN)30454F3FRF1F2F解：根据图中所示的力的比例尺，按顺序画出各力的矢量，得到力多边形abcde，封闭边即表示平面汇交力系合力FR。按比例量得FR=27.5kN，并量得该矢量与水平方向的夹角为α=55o。【例2-1】如图所示，平面吊环上作用有四个力F1、F2、F3、F4，它们汇交于圆环的中心。其中F1水平向左，大小为10kN，F2指向左下方向，与水平轴夹角为30o，大小为15kN；F3垂直向下，大小为8kN；F4指向右下方，与水平方向夹角为45o，大小为10kN，试求其合力。5【例2-2】如图所示的简支梁在中点C处受集中力F=20kN的作用，其与水平线夹角为60o，应用图解法求梁两端约束反力的大小。BFFABAFCC60Faa30ABBFaFAFbc解：选取梁AB为研究对象，画出梁AB的受力图如图所示。根据平面汇交力系平衡的几何条件，这三个力应组成一封闭的力三角形。由三角关系，可得cos3020cos301732kNAFF.sin3020sin3010kNBFF6AFCFWCOAWCBOA解：选圆球O为研究对象，受力分析所示。由三力平衡汇交原理可知它们构成一平面汇交力系。【例2-3】如图所示的圆球O重为，放在与水平成α角的光滑斜面上，BC为绳索，与铅垂面成β角，求绳索拉力与斜面对球的约束反力。7sinsinsin(180)CAFFWAsinFWsin()CsinFWsin()根据平面汇交力系平衡的几何条件，这三个力应组成一封闭的力三角形。由三角关系，可得解得AFCFWabc82.2平面汇交力系合成与平衡的解析法ABabxyOb'a'cosFFxcosFFxcosFFy设F与x轴的正向的夹角为α，则有2.2.1力在轴上的投影2.2.2力在平面直角坐标系中的投影与分解ABabxO设力F与x,y轴正方向的夹角分别为α，β,则Fx、Fy可分别表示为9若力的投影Fx和Fy已知，则力F的大小和方向可由下式计算FFFFFFFyxyxcoscos22，必须指出，只有在直角坐标系中才有上述对应关系。对一般坐标系，一个力在两坐标轴上的投影和该力沿两坐标轴分解所得到的分力在数值上并不一定相等。利用力在直角坐标系中的投影和力矢量的关系以及合力投影定理，可以用解析法来计算平面汇交力系的合力。102.2.3平面汇交力系合成的解析法Rx121Ry121nxxxnxiinyyynyiiFFFFFFFFFF2222RRRRRRRRRRR()()cos()cos()xyxyyyxxFFFFFFFFF,,,FFFFFiFj合力投影定理:合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。若已知合力在两坐标轴上的投影，则合力的大小和方向可分别表示为11【例2-4】用解析法计算例2-1中的合力。1110kNxFF10yF22cos301299kNxFF.22sin3075kNyFF.30xF338kNyFF44cos45707kNxFF.44sin45707kNyFF.，，30454F3F2F1FxyRFRx1592kNxFF.Ry2257kNyFF.解：选定参考坐标系如图所示。分别求出它们在两坐标轴上的投影。由合力投影定理，合力在两坐标轴上的投影分别为12合力的大小和方向分别为:22RRxRy2762kNFFF.RxRR1592cos()057642762F.,.F.FiRyRR2257cos()081722762F.,.F.FjR()1252,.FiR()1448,.Fj合力通过原汇交点且指向左下方，如上图所示。30454F3F2F1FxyRF132.2.4平面汇交力系平衡的解析条件2222RRxRy()()0xyFFFFF00yxFF平面汇交力系平衡的必要与充分条件是合力为零，即要使上式成立，必须同时满足上式称为平面汇交力系的平衡方程。即平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：力系中各力在任一坐标轴上投影的代数和为零。利用这两个独立方程可求解出两个未知量。14【例2-5】重量G=100N的球用两根细绳悬挂固定，如图所示。试求各绳的拉力。解：以A球为研究对象，其受力图如图所示。先用几何法计算，根据力多边形闭合条件，作出力三角形。GCCEFBBDFAxy3045GBCDEA500100CEFBDFGcabsin75sin45sin60CEBDFGF由三角关系，可得15解得两绳的拉力分别为732NBDF.897NCEF.0cos45cos300xCEBDFFF0sin45sin300yCEBDFFFG897NCEF.732NBDF.然后再用解析法求解。建立如图所示的坐标系，列出平衡方程两种方法解出的结果完全相同。联立求解，可得两绳的拉力分别为GCCEFBBDFAxy162.3平面力对点之矩17平面力对点之矩dOABF如图所示为用扳手松紧螺母的示意图。力F对于点O的矩用MO(F)表示,即()OMFdF力对刚体的运动效应使刚体的运动状态发生改变(包括移动与转动),其中力对刚体的移动效应可用力矢来度量，而力对刚体的转动效应则要用力对点的矩(简称力矩)来度量，即力矩是度量力对刚体转动效应的物理量。18点O称为矩心；d称为力臂。正负号表示力矩在其作用面上的转向。一般规定力F使刚体绕点O逆时针转动为正，顺时针转动为负。()2OOABMSF力F对点O之矩，其值还可以用以力F为底边，以矩心O为顶点所构成的三角形面积的两倍来表示，即力矩的单位为N·m(牛顿·米)或kN·m(千牛顿·米)。由力矩的定义式可知：当d=0，即力的作用线通过矩心时，力矩的值为零；当力沿作用线滑动时，该力对任一固定点的矩保持不变。192.4平面力偶系BAF'FCd2.4.1力偶的概念力偶是作用在物体上的两个大小相等、方向相反，且不共线的一对平行力所组成的力系，记作(F，F′)，如图所示。两个力之间的垂直距离d称为力偶臂，力偶所在的平面称为力偶作用面。力偶对刚体的外效应只能使刚体产生转动。20平面力偶系实例21平面力偶系实例22平面力偶系实例232.4.2力偶的性质F'FABM=性质1力偶既没有合力，也不能用一个力平衡。性质2力偶对其作用面内任意一点的矩恒等于该力偶的力偶矩，与矩心的位置无关。性质3只要保持力偶矩的大小和转向不变，可改变力偶作用的位置，也可同时改变力的大小和力偶臂的长短，而不影响力偶对刚体作用效果。力偶可在其作用面内用一弯曲的箭头表示，如图所示。箭头表示力偶的转向，M表示力偶矩的大小。由此得出力偶的等效条件是：作用在同一平面内的两个力偶，只要其力偶矩大小相等、转向相同，则此二力偶彼此等效。242.4.3平面力偶系的合成如图所示，假设（F1，F1′）、（F2，F2′）是作用在物体同一平面内的两个力偶,根据力偶的等效性质,它们分别可以与通过A、B两点的一对力（F3,F3′）和（F4，F4′）等效,显然F3、F4的合力F与F3′、F4′的合力F′组成新的力偶，其合力偶矩为214343)(MMdFdFdFFdFM1F1'Fd22F2'Fd123F4FBA3F'4F'ddFBA'F==iMM平面力偶系合成的结果为一合力偶矩，合力偶矩等于力偶系中各力偶矩的代数和。252.4.4平面力偶系的平衡0iMM平面力偶系平衡的必要和充分条件：合力偶矩为零。即各力偶矩的代数和等于零。即上式也称为平面力偶系的平衡方程，利用这个平衡方程可求解出一个未知量。26CD1mAB6kN302m2m306kNA6kNBRAFCD30306kNRBF解：以梁AB为研究对象，受力分析如图所示。由平面力偶系的平衡条件，得【例2-8】简支梁AB上受力如图所示，试求梁的反力。0iMR562sin300BFR12kNBF.R12kNAF.解得:27解：分别取杆OA和O1B为研究对象。受力图如图所示。OM1A30=ABFOFO1BM21OFBAFOM1O1BAM230【例2-9】四连杆机构OABO1如图所示。已知M1=1kN.m，OA=40cm，O1B=60cm，不计各杆自重，求平衡时力偶矩M2的大小以及杆AB所受的力。OA：1sin300iABMFOAM210iBAMMFOBO1B：28联立求解，可得25kN3kNmABBAFFM，29谢谢!