5.4《一元一次方程的应用》

古希腊数学家丢番图(约公元250年左右)，被人们称为代数学之父.对于他的生平事迹,人们知道得很少,但在一本《希腊诗文选》(公元500年前后的遗物)中，收录了他的墓志铭.“坟中安葬着丢番图,多么令人惊讶,它忠实地记录了所经历的道路.上帝给予的童年占六分之一,又过十二分之一，两颊长胡,再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛.五年之后天赐贵子,可怜迟到的宁馨儿,享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓.悲伤只有用数论的研究去弥补,又过四年，他也走完了人生的旅途.”亲爱的同学们,你能把这位数学家死亡时的年龄、人生中发生重要事件时的年龄都一一推算出来吗？5.4一元一次方程的应用(1)2010年广州亚运会上，我国获得奖牌416枚，其中银牌119枚，金牌数是铜数的2倍还多3枚.请你算一算，其中金牌有多少枚？(1)能直接列出算式求2010年亚运会我国获得的金牌数吗？(2)如果用列方程的方法来解，设哪个未知数为x?(3)根据怎样的相等关系来列方程？方程的解是多少？例1某文艺团体为“希望工程”募捐义演，全价票为每张18元，学生享受半价.某场演出共售出966张票，收入15480元，问这场演出共售出学生票多少张？分析：题中涉及的数量有：人数、票价、总价。题中的相等关系有：人数×票价=总票价全价票的票价学生的票价21全价票的总票价+学生票的总票价=15480全价票张数+学生票张数=966运用方程解决实际问题的一般过程：1审题：分析题意，找出题中的数量极其关系；2设元：选择一个适当的未知数用字母表示（例如x）；3列方程：根据相等关系列出方程；4解方程：求出未知数的值；5检验：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案。练习1.若小明每秒跑4米，那么他5秒能跑_____米.2.小明用4分钟绕学校操场跑了两圈(每圈400米)，那么他的速度为_____米/分.3.已知小明家距离火车站1500米，他以4米/秒的速度骑车到达车站需要_____分钟.202006－14时间=路程÷速度例2A、B两地相距60千米，甲、乙两人同时从A、B两地骑自行车出发，相向而行.甲每小时比乙多行2千米，经过2小时相遇.问甲、乙两的速度分别是多少？(1)本题涉及哪三个基本数量？它们之间有什么样的关系？审题设元(2)选择一个适当未知数用字母表示.列方程(3)根据相等关系列出方程.解方程(4)求出未知数的值.检验(5)检查求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案.例3、甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶。出发后经3时两人相遇。已知在相遇时乙比甲多行了90千米，相遇后经1时乙到达Ａ地。问甲、乙行驶的速度分别是多少？分析：题中涉及到的数量有：速度、路程、时间。相等关系有：速度×时间=路程相遇时甲行使的路程+90=相遇时乙行使的路程相遇后乙行使的路程=相遇前甲行使的路程AB甲乙3小时3小时1小时例3、甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶。出发后经3时两人相遇。已知在相遇时乙比甲多行了90千米，相遇后经1时乙到达Ａ地。问甲、乙行驶的速度分别是多少？解：设甲行使的速度为x千米／时，则相遇时甲行使的路程为3x千米，相遇时乙行使的路程为（3x+90）千米，乙行使的速度为千米／时，33x+90根据题意，得33x+90=3x解这个方程，得x=15检验：x=15适合方程，且符合题意。将x=15代入3x+903=45答：甲行使的速度为15千米／时，乙行使的速度为45千米／时例3、甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶。出发后经3时两人相遇。已知在相遇时乙比甲多行了90千米，相遇后经1时乙到达Ａ地。问甲、乙行驶的速度分别是多少？解：设乙行使的速度为y千米／时，则相遇时乙行使的路程为3y千米，则相遇后乙行使的路程为y千米，3y=y+90解这个方程，得y=45检验：y=45适合方程，且符合题意。根据题意，得将y=45代入,y／3=15答：甲行使的速度为15千米／时，乙行使的速度为45千米／时例3、甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶。出发后经3时两人相遇。已知在相遇时乙比甲多行了90千米，相遇后经1时乙到达Ａ地。问甲、乙行驶的速度分别是多少？解：设相遇时甲行使的路程为z千米,则相遇时乙行使的路程为z+90千米。相遇后乙行使1小时的路程z千米，因此乙的速度为z千米／小时，故相遇时乙行使的路程为3z千米根据题意，得Z+90=3z解这个方程，得z=45检验：z=45适合方程，且符合题意。小明所跑的路程小彬所跑的路程小明小彬+=100小明所跑的路程小彬所跑的路程100米相遇练习:小彬和小明每天早晨坚持跑步，小明每秒跑6米，小彬每秒跑4米。(1)如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇？(2)如果小明站在百米跑道的起点处，小彬站在他前面10米处，两人同时同向起跑，几秒后小明能追上小彬？●请编一个实际应用题，要求所列的方程为15x+45x=180.我知道了…………我感到困难是…………(2)解决实际问题的一般过程：(1)解应用题要学会借助线段图来分析数量关系;审设列解验作业：1.完成P126作业题；2.完成《作业本》（１）５.３（一）；1、三个连续奇数的和为57，求这三个数。解:设三个连续奇数中最小的一个为x,则其余两个为（x+2）、(x+4)根据题意，得X+(x+2)+(x+4)=57解这个方程，得x=17检验：x=17适合方程，且符合题意。将x=17代入x+2=19、x+4=21答：这三个连续奇数分别为17、19、21.2、甲、乙两人从相距为180千米的A、B两地出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向行驶，已知甲的速度为每小时15千米，乙的速度为每小时45千米。如果甲先行1时后乙才出发，问甲再行多少时间相遇？分析：AB180千米1时甲行使的路程乙行使的路程？？11／4小时行程问题中常用的分析方法是画线段图分析法2、甲、乙两人从相距为180千米的A、B两地出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线同向行驶，已知甲的速度为每小时15千米，乙的速度为每小时45千米。如果甲先行1时后乙才出发，（1）问经过多少时间乙追上甲？AB180千米1小时甲行使的路程乙行使的路程？？X=6.5小时（2）问：甲出发几小时后，乙追上甲？2、甲、乙两人从相距为180千米的A、B两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向行驶，已知甲的速度为每小时15千米，乙的速度为每小时45千米。问：经过几小时两人相距30千米？AB180千米30千米AB30千米2.5小时3.5小时练习：A、B两地相距120千米，甲骑自行车以每小时行10千米从A地出发去B地，乙骑摩托车以每小时50千米从B地出发去A地，甲、乙同时出发。问：（1）经过多少时间甲、乙两人相距60千米？（2）若甲先出发1小时，则甲出发后几小时，两人相距50千米？解：（1）设经过x小时甲、乙两人相距60千米10x+50x=120-60X=110x+50x=120+60X=3(2)设则甲出发后y小时，两人相距50千米，10y+50(y-1)=120-50Y=210y+50(y-1)=120+50Y=22／6如设则乙出发后z小时，两人相距50千米，又如何列方程？3.“钱塘江尽到桐庐,水碧山青画不如”.自古以来连接桐庐到杭州的富春江就是重要的黄金水道.“两岸青山,山为水铸情,满目葱翠;一江春水,水因山溢美,澄如湖海碧如天.”一旅游船从桐庐东门码头出发顺流而下驶往杭州滨江码头用去5小时,从杭州滨江码头逆流而上到桐庐东门码头用去7小时,水流速度为3千米小时.求桐庐东门到杭州的滨江码头的距离.分析：题中涉及到的数量有：速度、路程、时间。相等关系有：速度×时间=路程旅游船的速度+水流速度=顺流速度旅游船的速度-水流速度=逆流速度／顺流行驶的路程=逆流行驶的路程解:设旅游船的速度为x千米小时／5(x+3)=7(x-3)X=185(x+3)=105间接设元法4.一队学生去校外进行军事野营训练。他们以5千米／小时的速度行进，走了18分钟的时候，学校要将一个紧急通知传给队长。通讯员从学校出发，骑自行车以14千米／小时的速度按原路追上去。通讯员用多少时间可以追上学生队伍？解;设通讯员用x小时可以追上学生队伍，根据题意，得6018×5+5x=14x解这个方程，得x=1／6检验：x=1／6适合方程，且符合题意。答：通讯员用1／6小时可以追上学生队伍？5.姐妹俩同时从家里出发到少年宫，路程全长770米，妹妹步行速度每分钟60米，姐姐骑自行车以每分钟160米的速度到达少年宫后立即返回，途中与妹妹相遇。这时妹妹走了几分钟？解：设妹妹走了x分钟，根据题意，得60x+(160-770)=770或60x+160x=2×770解这个方程的，得x=7检验：x=7适合方程，且符合题意。答：妹妹走了7分钟.家少年宫练习：A、B两地相距120千米，甲骑自行车，乙骑摩托车都从A地出发，同向而行，甲比乙早出发2小时，甲每小时行15千米，乙每小时行60千米.(1)甲出发后多少小时，乙追上甲？(2)乙到达B地后立即返回，途中在何处遇上甲？解：(1)设甲出发后x小时，乙追上甲,15x=60(x-2)X=8／3若设乙出发后x小时，乙追上甲,又怎样做？（2）设甲出发y小时，乙在返回途中遇上甲60（y-2）+15y=2×120Y=24／515y=15×24／5=72千米设乙出发y小时，在返回途中遇上甲，又怎样做？6.火车用26秒的时间通过一条256米的隧道这列火车又以16秒的时间通过一条96米米的桥梁，求这列火车的速度及长度（假设火车的速度不变）。（即从车头进入入口至车尾离开出口），解：设火车的长度为x米，根据题意，得256+x261696+x=解这个方程的，得x=160检验：x=160适合方程，且符合题意。1696+x=16答;这列火车的速度16米／秒，长度为160米。方法一根据速度相等列方程6.火车用26秒的时间通过一条256米的隧道这列火车又以16秒的时间通过一条96米米的桥梁，求这列火车的速度及长度（假设火车的速度不变）。（即从车头进入入口至车尾离开出口），解：设火车的速度为y米／秒，根据题意，得26y-256=16y-96解这个方程的，得y=16检验：x=16适合方程，且符合题意。26y-256=160答;这列火车的速度16米／秒，长度为160米。根据火车长度相等列方程7.一条环形跑道长400米，甲练习骑自行车，平均每分钟骑550米，乙练习赛跑，平均每分钟跑250米。（1）若两人同时从同地同向出发，则经过多少分钟甲第一次追上乙.（2）若两人同时从同地相向出发，则经过多少分钟甲、乙第一次相遇。.解;(1)设经过x分钟甲第一次追上乙，550x-250x=400解：（2）设经过y分钟甲、乙第一次相遇。.550y+250y=400第100次追上或相遇时又怎样呢？练习：甲，乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400米，乙每秒跑6米，甲每秒跑8米，如果甲在乙前面8米处，同时同向出发。（1）经过多少秒两人首次相遇？（2）经过多少秒两人首次相距100米，第二次相距10米？解：(1)设经过x秒两人首次相遇,8x-(6x-8)=400X=196秒100+6y=8y+8(2)设经过y秒两人首次相距100米Y=468z-(6z-8)=400-10z=191(2)设经过z秒两人第二次相距10米第三次相距10米，又怎样做？8z-(6z-8)=400+10