(白)(哈工大教材)Y量子物理-第25章

粒子的量子态tr坐标表象（空域描述）（频域描述）力学量的平均值dxxxdxtxx2)(xxxxxxdppdpptpp2)(动量表象)(tp24-5力学量的平均值与算符一量子力学中力学量为什么要用算符代替？dxppxx（位置确定，动量则不确定）由于很多力学量（例如：能量、角动量）中既有‘坐标’又有‘动量’，所以必须统一在同一表象中计算其平均值。但是dxxi)(二力学量与算符对应xipxˆipˆxxˆrrˆmp2ˆ2222m动能对易BAABBABAˆ,ˆ0ˆˆˆˆˆ,ˆ不对易BABAˆ,ˆ0ˆ,ˆ源于波粒二象性，不确定关系ixxixixpxx)()(ˆ,ˆ0ˆ,ˆipxx例(量子力学基本原理之三）xxxxxxdppdpptpp2)(dxetxtpxipxx)()2(1)(21利用傅里叶变换在坐标表象中dxpxˆxipxˆ动量算符把力学量用其对应的算符来代替就可以在同一表象中计算其平均值xxipxdpetptxx)()2(1)(21xipxipxxxexiep也可用简便的方法引入算符；由一维定态薛定谔方程哈密顿（能量）算符xUdxdmH2222在经典力学中,哈密顿函数(能量)在非相对论近似下为,xUpmEx221)()(]2[222xExxUdxdm0)(2222xxUEmxdxd)()(xExH对于算符，如果Fˆ)()(ˆrrFnnn为常数nFˆ则称为的本征值。)(rnn为与相应的本征函数。n例.力学量经典定义算符位置动量角动量动能总能量rrˆpiprLiriLmp22222mrUmp22rUm222zyxkjizyx就将经典力学的能量和量子力学中的能量算符关联起来.三维经典物理学中,一个粒子的状态用描写,其他物理量pr,prFF,在量子力学中对应一个算符prFF,irF,iprrˆˆ只要建立如下关系,xxˆxipxˆ第25章氢原子的量子理论25-1氢原子的薛定谔方程在氢原子中，电子的势能函数为：考虑到势能是r的函数，采用球极坐标系(r,,)代替直角坐标(x,y,z)222zyxr0)4(20222reEmyxzOPzyxr)(xyarctgrerU024)(0)(222rrUEmr)arccos(222zyxzcossinrxsinsinrycosrz由此可得球坐标中的定态薛定谔方程为：式中2222222zyx拉普拉斯算符,,ryxzOPzyxr2222222)(sin1)(sinsin1)(1rrrrrr0)4(2)(sin1)(sinsin1)(10222222222reEmrrrrrrcossinrxsinsinrycosrz2222zyxrrzcosxytgxxrxrxsinsin1coscos1cossinrrr两边对x求偏导两边对x求偏导cossinrxxrcoscos1sin12rxrrzxsinsinsec122rxyxyyryrysincos1sincos1sinsinrrrzzrzrzsin1cosrrsincos1sincos1sinsinrrrxxrxrxsinsin1coscos1cossinrrr**************yryryzzrzrzsin1cosrr2222222zyx)sinsin1coscos1cos(sinrrr)sinsin1coscos1cos(sinrrr)sincos1sincos1sin(sinrrr)sincos1sincos1sin(sinrrr)sin1(cosrr)sin1(cosrrzzyyxx2222222)(sin1)(sinsin1)(1rrrrrrcossinrx,,r通常采用分离变量法求解，即设sinsinrycosrz由此可得球坐标中的定态薛定谔方程为：式中)()()(),,(rRr2222222zyx拉普拉斯算符2222222)(sin1)(sinsin1)(1rrrrrr0)4(2)(sin1)(sinsin1)(10222222222reEmrrrrrr0222lmdd0sin)1(sinsin122lmlldddd0)1(421202222RrllreEmdrdRrdrdr解此三个方程，并考虑到波函数应满足的标准化条件，即可得到波函数(1)(2)(3)能量量子化角动量量子化角动量空间量子化并且可得到：其中和l是引入的常数。lm),,(r∴选用能量、角动量的平方、角动量沿Z方向的分量为体系守恒量完全集通常，一个力学量A1对应多个本征波函数（简并），所以一个力学量不能完全确定体系状态。完全集的力学量数等于体系的自由度数。（它们有共同的本征波函数，且同时有确定值）在有心力场中运动的粒子，角动量守恒，能量守恒。在有心力场中运动的粒子有三个自由度，应该有三个力学量来描述其状态由不确定关系发现：粒子的能量、角动量的平方、角动量沿Z方向的分量可以同时精确测定。角动量的三个分量中的任意两个都不能同时精确测定。能量与r，θ有关角动量的平方和角动量沿Z方向的分量与θ，φ有关角动量大小,角动量在任何方向的投影,能量可以完全描述体系状态。例.力学量经典定义算符位置动量角动量动能总能量rrˆpiprLiriLmp22222mrUmp22rUm222zyxkjizyxxLˆyLˆ,zLˆ,2ˆ,L的表示式，0ˆˆ,ˆzyxLiLL0ˆˆ,ˆxzyLiLL0ˆˆ,ˆyxzLiLL不对易，不能同时具有确定值可以证明xLˆyLˆ,zLˆ,)(ˆyzzyiLx)(ˆzxxziLy)(ˆxyyxiLz2222ˆˆˆˆzyxLLLLcossinrxsinsinrycosrz0ˆ,ˆ2xLL0ˆ,ˆ2yLL0ˆ,ˆ2zLL分别和对易，因而分别和同时有确定值，注意:当与同时有确定值时，和就不确定了。2ˆLxLˆyLˆ,zLˆ,2ˆL2ˆLxLˆyLˆ,zLˆ,xLˆyLˆzLˆ利用2222zyxrrzcosxytgrzxyxLˆyLˆ,zLˆ,2ˆ,L的表示式，)(ˆyzzyiLx)(ˆzxxziLy)(ˆxyyxiLz2222ˆˆˆˆzyxLLLLsinsin1coscos1cossinrrrxsincos1sincos1sinsinrrrysin1cosrrz可求出比较:22222222)(sin1)(sinsin1)(1rrrrrr]sin1)(sinsin1[ˆ22222L)sincos(ˆctgiLy)cos(sinˆctgiLxiLzˆ0)4(2)(sin1)(sinsin1)(10222222222reEmrrrrrr222222ˆ11Lrrrrr2222ˆˆˆˆzyxLLLL0)4(20222reEm如何用分离变量法求解氢原子的薛定谔方程？0)4(2)(sin1)(sinsin1)(10222222222reEmrrrrrr令)4(20222reEmK0)(sin1)(sinsin1)(122222222Krrrrrr).()(),,(YrRr令带入上式0)(sin)(sinsin)(22222222RYKYrRYrRrRrrrY同乘r2/RY,并且移项222)(1rKdrdRrdrdR222)(sin1)(sinsin1YYYY)1(ll222)(1rKdrdRrdrdR222)(sin1)(sinsin1YYYY)1(ll分别得0)1()(1222llrKdrdRrdrdR0)1(sin1)(sinsin1222YllYY)4(20222reEmK0)1(421202222RrllreEmdrdRrdrdr(3))()().(Y令带入上式0)1(sin)(sinsin222lldddddd同乘2sin2sin)1()(sinsinlldddd221dd2lm]sin1)(sinsin1[ˆ22222LYllYL)1(ˆ22)1(llL2sin)1()(sinsinlldddd221dd2lm分别得0222lmdd0sin)1(sinsin122lmlldddd(1)(2)0)1(421202222RrllreEmdrdRrdrdr(3)前面已经得到limAe由自然周期条件)2()()2(llimimAeAe12lime,2,1,0lm1)2sin()2cos(llmim即0)2sin(1)2cos(llmm和2lllimimimeAeAe0222lmdd(1)limzAeiL)(ˆ