误差理论

491《测量学》第五章测量误差基本知识1/30/20202教学基本要求了解测量误差来源及其产生的原因掌握系统误差和偶然误差的特点及其处理方法理解精度评定的指标（中误差、相对误差、容许误差）的概念了解并掌握误差传播定律的应用重点：系统误差和偶然误差的特点及其处理方法。难点：中误差、相对误差、容许误差的概念；误差传播定律的应用。§5-1测量误差概念一、测量误差产生的原因二、测量误差的分类与处理原则三、偶然误差的特性493一、测量误差产生的原因产生测量误差的三个因素：仪器原因—仪器精度的局限性,轴系残余误差等；人的原因—判断力和分辨力的限制,经验缺乏等；外界影响—气象因素如温度变化,风力,大气折光等。结论：观测误差不可避免(粗差除外)有关名词：观测条件—上述三大因素总称为观测条件观测精度—在观测条件基本相同的情况下进行的观测，称为“等精度观测”；否则，称为“不等精度观测”。494二、测量误差的分类与处理原则（一）系统误差在相同的观测条件下，对某一量进行一系列观测，如果误差的出现在符号(正负号)和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为“系统误差”。系统误差对观测值的影响有一定(数学或物理)的规律性。如能够发现其规律，则可进行改正或用一定方法使其削弱或抵消。495按测量误差产生原因和对观测成果的影响，分为系统误差、偶然误差和粗差。496钢尺尺长误差Dk钢尺检定,尺长改正钢尺温度误差Dt钢尺检定,温度改正水准仪视准轴误差i中间法水准,前后视等距经纬仪视准轴误差C盘左盘右观测,取平均值对系统误差采取措施举例：误差来源采取措施在相同的观测条件下，对某一量进行一系列观测，误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面看没有任何规律性，这种误差称为“偶然误差”，是由许多无法精确估计的因素综合造成(人的分辨能力,仪器的极限精度,天气的无常变化,以及环境的干扰等)。偶然误差不可避免，但在一定条件下的大量的偶然误差，在实践中发现具有统计学规律。（三）粗差由于观测者的粗心大意,或某种特别大的干扰而产生较大的误差称为“粗差”(俗称错误)，应避免和舍弃粗差。偶然误差举例：仪器对中误差,气泡居中判断、目标瞄准、度盘读数等误差,气象变化等外界环境等影响观测。497（二）偶然误差（四）误差处理原则498粗差—细心观测，用多余观测和几何条来件来发现，将含有粗差的观测值剔除。系统误差—找出发生规律，用观测方法和加改正值等方法抵消。偶然误差—用多余观测减少其影响，利用几何条件检核，用“限差”来限制。三、偶然误差的特性偶然误差的定义设某一量的真值为X，对该量进行n次观测，得n个观测值，产生n个真误XLii499l1,l2,…,lnΔ1,Δ2,…,Δn真值与观测值之差定义为“真误差”,真误差属于偶然误差,但真值必须已知才能求得真误差。测量的观测和计算中,在一般情况下真值是不知道的，只能根据几何条件等间接知道真值,例如三角形三个内角之和为180°(真值),而三个内角的观测值之和也可以作为一个独立的观测值，据此求得三内角之和的真误差(称为三角形角度闭合差)。多次观测中寻找偶然误差的规律：对358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角,三角形内角之和的真值为180°，观测值为三个内角之和(i+i+i)，因此其真误差(三角形闭合差)为：i=(i+i+i)-180°观测数据统计结果列于表5-1,据此分析三角形内角和的真误差i的分布规律。49表5-1偶然误差的统计误差区间dΔ负误差正误差误差绝对值kk/nkk/nkk/n0～3450.126460.128910.2543～6400.112410.115810.2266～9330.092330.092660.1849～12230.064210.059440.12312～15170.047160.045330.09215～18130.036130.036260.07318～2160.01750.014110.03121～2440.01120.00660.01724以上000000Σ1810．5051770．4953581．000偶然误差的特性有限性：在有限次观测中，偶然误差不超过一定数值；渐降性：误差绝对值小的出现的频率大，误差绝对值大的出现的频率小；对称性：绝对值相等的正负误差频率大致相等；抵偿性：当观测次数无限增大时，由于正负相消，偶然误差的平均值趋近于零。用公式表示为：4912三角形闭合差的频率直方图0][limlimn21nΔnΔΔΔnn正态分布曲线以及标准差和方差4913222π21)(eΔfσnΔΔnΔnn][][limlim2nΔnΔΔΔnnn][2222212limlim在统计理论上如果观测次数无限增多(n→∞)，而误差区间dΔ又无限缩小，则频率直方图成为一条光滑的曲线，在统计学中称为偶然误差的“正态分布曲线”,其数学方程式为：式中参数σ称为“标准差”,其平方σ2称为“方差”,方差为偶然误差(真误差)平方的理论平均值：标准差的计算式：§5-2评定测量精度的标准一、中误差4914用标准差衡量测量观测成果的精度，在理论上是严格和合理的。但在实际测量工作中，不可能对某一量进行无穷多次观测。因此，定义：根据有限次观测的偶然误差，用标准差计算式求得的称为“中误差”，其计算式为：nΔΔnΔΔΔm][2n2221选择两组三角形内角之和的观测值，求得三角形角度闭合差，分别按上式在表5-2中计算中误差。4915按观测值的改正值计算中误差4916表5-2m1较小,误差分布比较集中，观测值精度较高；m2较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。两组观测值误差的正态分布曲线的比较：m1=2.7m2=3.6=xΔy　=f(Δ)(Δ)f(Δ)fm1m1m2m212m1m2++--π√22√π114917不同中误差的正态分布曲线4918二、相对中误差三、极限误差某些观测值的精度如果仅用中误差衡量，还不能正确反映其质量，例如，距离测量误差应与长度成正比。观测值的中误差除以观测量，称为“相对中误差”(简称相对误差)，例如200m距离的测距中误差为2cm,测距的相对误差为1∶10000;500m距离测距中误差也为2cm，则测距相对误差为1∶25000；后者精度高于前者。根据正态分布方程式，可以表示误差出现在微小区间dΔ的概率：ΔemΔΔfΔpmdπ21d)()(222将上式积分，得到偶然误差在任意大小区间中出现的概率。设以k倍中误差作为区间,则在此区间中误差出现的概率：4919%7.999973.0)3(%4.959545.0)2(%3.686826.0)(mΔPmΔPmΔPΔemkmΔpmdπ21)(222分别以k=1,k=2,k=3代入上式，可得到偶然误差的绝对值不大于中误差、2倍中误差、3倍中误差的概率：由此可见，大于2倍中误差出现的概率小于5％，大于3倍中误差出现的概率小于0.3％。因此，测量工作中以2倍中误差作为允许的误差极限，称为“允许误差”或“限差”。4920§5-3观测值的算术平均值及改正值一、算术平均值nlnlllnlniix][n211在相同的观测条件下，对某一量进行n次观测，观测值为li(i=1～n),取其算术平均值作为该量的最可靠的数值（故也称“最或然值”）：x算术平均值为何是该量最可靠的数值？可以用偶然误差的特性来证明：证明算术平均值是最或然值nn2211lXlXlX4921X][lim0][lim][][nlnnnnlXn根据偶然误差特性：X][nlx按真值计算各个观测值的真误差：将上列等式相加，并除以n,得到：故算术平均值比较接近于真值，而成为最可靠的数值：二、观测值的改正值最或然值与观测值之差称为“观测值的改正值”(简称改正值)v:4922n)1(～ilxvii对［vv]求极小值：0][][lxnvvi算术平均值符合最小二乘法原理min])[(][2lxvvnlxlx][,0)][(取改正值总和：说明：一组观测值取算术平均值后，各个观测值的改正值之和恒等于零，此可以作为计算的检核。0)][(2][lxxdxvvd§5-4观测值的精度评定在同样观测条件下对某一量进行n次观测，求得算术平均值及观测值的各个改正值v，据此计算观测值的中误差：4923对比按真误差Δ计算中误差的公式：两者差别仅在于以（n－1）代替n，以代替真值X：1][112nvvnvmniinΔΔm][xiiiilxvlX,两式取总和并顾及偶然误差的相消性，可以证明：1][][nvvnΔΔ因此1][nvvm可以按观测值的改正值计算中误差4924将上列左右两式相减，得证明过程分别取平方由于：2213121222221222][)(2][)(][)()()(][][nnnnxXnxXxXnxXnvnnn代入前式1][][][][)(][][2nvvnnvvxXnvv　　　　)(xXvii对求和算术平均值计算的实用公式由于各个观测值相差很小，为计算方便令其数值的相同部分为l0,差异部份为Δl，即li=l0+Δli,算术平均值的实用公式：4927nllx][01][nvvm按各个观测值的改正值计算观测值中误差的公式：按观测值的改正值计算中误差的算例（一水平距离的多次观测）次序观测值l(m)Δl(cm)改正值v(cm)vv(cm2)算术平均值及观测值中误差1120.031+3.1-1.41.96算术平均值:=120.017(m)观测值中误差:=±3.0(cm)2120.025+2.5-0.80.643119.983-1.7+3.411.564120.047+4.7-3.09.005120.040+4.0-2.35.296119.976-2.4+4.116.81Σ(lo=120.000)+10.20.045.26nllx][01][nvvm计算算术平均值及其中误差的小结：一、已知真值X,进行n次观测，则计算观测值的真误差与中误差。二、真值不知,则进行n次观测，计算算术平均值、改正值及其中误差。4929iilXnΔΔm][ilxivnlolx][1][nvvm中误差：真误差：中误差：改正值：算术平均值：§5-5误差传播定律30n21dddD一、观测值的函数测量所采集的数据(量)并非都是直接观测值，而是观测值的函数。观测值的误差使其函数也具有一定的误差。例如：和差函数—...),(21xxfydD1000nlnlnlnx11121cosSD例如算术平均值例如斜距改平例如分段量距相加例如图上量长度,化为实地长度倍函数—线性函数—一般函数—二、一般函数的中误差4931举例说明：矩形地块，量长度a、宽度b，求其面积P。面积是观测值长度a和宽度b的函数，函数式为：baP对函数式中的自变量a、b求偏微分:dbbPdaaPdPbaaPddbd将微分元素以偶然误差Δi代替baaΔΔΔbP面积误差(图中阴影面积)具有直观的几何意义4932对于上述地块的长度和宽度进行n次观测：)1(,PiniaΔbΔΔbiai上列n个等式平方后取其总和，并除以n,得到：nΔΔabnΔΔanΔΔbnΔΔbabbaaPP][2][][][22根据偶然误差的抵偿性，得到：,0][limnΔΔbannΔΔanΔΔbnΔΔbbaaPP][][][22按照中误差的定义，上式可改写为求面积中误差公式：222222222,baPbaPmambmmambm对于一般函数（包括和差函数、倍函数、线性函数）：49332222222121nnZmxf