5-1 定积分的概念与性质

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第一讲定积分的概念与性质一、定积分的概念(一)引例(二)定义(三)可积条件(四)几何意义(一)引例1.曲边梯形的面积(一)引例1.曲边梯形的面积(一)引例ayo1)分割.在[a,b]中任意插入n–1个分点0121.nnaxxxxxb2)取近似.()iiiAfx3)求和.niiAA1niiixf1)(4)取极限.01lim()niiiAfx1xix1ixi)(xfy1.曲边梯形的面积2.变速直线运动的路程将它分成1)分割.1T2T()vt1ititiiiitvs)(2)取近似.在[T1,T2]中任意插入n–1个分点101212nnTtttttT(一)引例1Tvo1)分割.在[a,b]中任意插入n–1个分点0121.nnaxxxxxb2)取近似.()iiiAfx3)求和.niiAA1niiixf1)(4)取极限.01lim()niiiAfx1tit1iti()vvt1.曲边梯形的面积2.变速直线运动的路程将它分成1)分割.1T2T()vt1ititiiiitvs)(2)取近似.在[T1,T2]中任意插入n–1个分点101212nnTtttttT(一)引例1)分割.在[a,b]中任意插入n–1个分点0121.nnaxxxxxb2)取近似.()iiiAfx3)求和.niiAA1niiixf1)(4)取极限.01lim()niiiAfx1.曲边梯形的面积2.变速直线运动的路程将它分成1)分割.iiitvs)(2)取近似.在[T1,T2]中任意插入n–1个分点101212nnTtttttT3)求和.4)取极限.几何问题物理问题不同点:背景不同(一)引例1)分割.在[a,b]中任意插入n–1个分点0121.nnaxxxxxb2)取近似.()iiiAfx3)求和.niiAA1niiixf1)(4)取极限.01lim()niiiAfx1.曲边梯形的面积2.变速直线运动的路程将它分成1)分割.iiitvs)(2)取近似.在[T1,T2]中任意插入n–1个分点101212nnTtttttT3)求和.4)取极限.不同点:背景不同相同点:方法相同分割取近似求和取极限(一)引例1)分割.在[a,b]中任意插入n–1个分点0121.nnaxxxxxb2)取近似.()iiiAfx3)求和.niiAA1niiixf1)(4)取极限.01lim()niiiAfx1.曲边梯形的面积2.变速直线运动的路程将它分成1)分割.iiitvs)(2)取近似.在[T1,T2]中任意插入n–1个分点101212nnTtttttT3)求和.4)取极限.不同点:背景不同相同点:方法相同数学形式相同01lim()niiifx,210bxxxxan设函数在上有界,()fx[,]ab在中任意插入若干个分点[,]ab把区间分成个小区间[,]abn01121[,],[,],,[,],nnxxxxxx各个小区间的长度依次为并作和1122011,,,nnnxxxxxxxxx上任取一点在每个小区间],[1iixx),(1iiiixx作函数值)(if与小区间长度ix的乘积),,,2,1()(nixfii记,,,,max21nxxx且与闭区间],[ba的分法及点的取法无关,i如果当0时,这和的极限总存在,那么称这个极限I为函数)(xf在区间],[ba上的定积分(简称积分),记作baxxfd)((二)定义baxxfd)(iniixf10)(lim积分上限被积函数被积表达式积分变量积分和积分下限[,]ab积分区间注定积分是一个数!baxxfd)(battfd)(bauufd)((),baAfxxd21().TTsvttd(1)(2)定积分仅与(3)被积函数积分区间有关,与区间分法ξi的取法积分变量记法无关(二)定义定理1设f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积.定理2设f(x)在[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在[a,b]上可积.oxy2xy1利用定义计算定积分120d.xxni例1(三)可积条件baAdxxf)(0()fxabxyo0()fxabxyo曲边梯形面积曲边梯形面积的负值()bafxdxA(四)几何意义abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfbax轴上方图形面积减去x轴下方图形面积所得之差在上既取得正值又取得负值[,]ab()fx(四)几何意义利用定积分的几何意义计算下列定积分50(1)xxd22(2)aaaxxdxyo5xyoaa例2(四)几何意义约定性质1性质2性质3可加性abbaxxfxxfd)(d)(0d)(baxxf当ba时,当ba时,[()()]d()d()dbbbaaafxgxxfxxgxx设,bca则bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(注不论a,b,c的相对位置如何,上述等式均成立如果在区间],[ba上,1)(xf那么abxxbabadd1设与均为常数,则二、定积分的性质性质4推论2注例3不等式推论1下列积分哪一个较大?21lndxx和221(ln)dxx如果在区间],[ba上,0)(xf那么)(0d)(baxxfba如果在区间],[ba上),()(xgxf那么)(d)(d)(baxxgxxfbaba)(d)(d)(baxxfxxfbaba)(0d)(baxxfba如果在区间],[ba上,0)(xf那么且,0)(xf二、定积分的性质性质5例4估计积分202dxxex的值性质6注(1)几何解释oxbay)(xfy(2)实际意义()dbafxxbaf(x)在[a,b]上的平均值设M和m分别是函数)(xf在区间],[ba上的最大值及最小值,则)()(d)()(baabMxxfabmba(定积分中值定理)如果函数f(x)在积分区间[a,b]上连续,那么在[a,b]上至少存在一点,使下式成立:)())((d)(baabfxxfba二、定积分的性质小结2.定积分的实质:1.定积分的思想和方法:分割化整为零求和积零为整取极限由近似到精确取近似以直(不变)代曲(变)特殊和式的极限.3.定积分的性质

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