第一课时 方程的根与函数的零点

问题提出1.对于数学关系式：2x-1=0与y=2x-1它们的含义分别如何？t57301p22.方程2x-1=0的根与函数y=2x-1的图象有什么关系？3.我们如何对方程f(x)=0的根与函数y=f(x)的图象的关系作进一步阐述？知识探究（一）：方程的根与函数零点思考1：上述三个一元二次方程的实根分别是什么？对应的二次函数的图象与x轴的交点的坐标分别是什么?考察下列一元二次方程与对应的二次函数：（1）方程与函数y=x2-2x-3；（2）方程与函数y=x2-2x+1；（3）方程与函数y=x2-2x+3.012xx2032xx2032xx2思考3：更一般地，对于方程f(x)=0与函数y=f(x)上述关系适应吗？思考2：一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)的实根与对应的二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有什么关系？思考4：对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点，那么函数y=f(x)的零点是点吗?实际是什么？思考5：函数y=f(x)有零点可等价于哪些说法？函数y=f(x)有零点方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.练习：求下列函数的零点：（1）;（2）.82yxxlog2y3思考1:函数f(x)=2x-1的零点是什么？函数f(x)=2x-1的图象在零点两侧如何分布？思考2:二次函数f(x)=x2-2x-3的零点是什么？函数f(x)=x2-2x-3的图象在零点附近如何分布？知识探究（二）：函数零点存在性原理观察二次函数的图象,填空：223yxx①在区间[-2,1]上有零点;f(-2)=;f(1)=;f(-2)·f(1)0。②在区间[2,4]上有零点;f(2)·f(4)0。-15-43想一想：怎样判断一个函数在给定区间上是否存在零点呢？让我们来看一个例子xy0-413-1观察下面函数y=f(x)的图象····adcb①在区间[a,b]上(有/无零点);f(a)·f(b)0.②在区间[b,c]上(有/无零点);f(b)·f(c)0.③在区间[c,d]上(有/无零点);f(b)·f(c)0.有有有思考3:如果函数y=f(x)在区间[1,2]上的图象是连续不断的一条曲线，那么在下列那种情况下，函数y=f(x)在区间(1,2)内一定有零点？(1)f(1)＞0,f(2)＞0;(2)f(1)＞0,f(2)＜0;(3)f(1)＜0,f(2)＜0;(4)f(1)＜0,f(2)＞0.答:(2)(4)思考4:一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，那么在什么条件下，函数y=f(x)在区间（a,b）内一定有零点？如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么函数y=f(x)在区间（a,b）内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.思考5:如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是间断的，上述原理适应吗？思考6:如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，那么当f(a)·f(b)0时，函数y=f(x)在区间（a，b）内一定没有零点吗？思考7:若函数y=f(x)在区间[a,b]上有零点，是否一定有f(a)·f(b)0？xyo123变号零点xyo1不变号零点问题3观察函数图象,看两函数零点附近两侧的函数值符号是怎样的?如果函数()yfx在区间,ab上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0fafb，那么，函数()yfx在区间,ab内至少有一个零点，即存在,cab，使得()0fc.ababxx零点存在性原理:ababxx温故知新若函数f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线，并且在闭区间[a,b]端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)0,则f(x)在（a,b)上至少有一个零点，即方程f(x)=0在(a,b)上至少有一个实数解。判断零点存在的方法勘根定理说明：1.方程f(x)=0在区间（a,b)内有奇数个解，则f(a)f(b)0;方程在区间（a,b)内有偶数个解，则f(a)f(b)0.(错)2.若方程f(x)=0在区间(a,b)只有一解，则必有f(a)f(b)0.理论迁移例2试推断是否存在自然数m，使函数f(x)=3-2x在区间（m，m+1）上有零点？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．例1求函数f(x)=lnx+2x-6零点的个数.由表3-1和图3.1—3可知f(2)0,f(3)0，即f(2)·f(3)0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点。由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点。解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表3-1）和图象（图3.1—3）－4－1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972例题2求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。123456789xf（x）.........x0－2－4－6105y2410861214876432191、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）的图象的关系；2、函数零点的概念；3、连续函数在某个区间上存在零点的判别方法。练习：P1161,2,3题作业：P119习题4.1A组：1,2,4题;B组：1题