4.2.3 直线与圆的方程的应用

4.2.3《直线与圆的方程的应用》用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”：[问题情境]直线与圆的方程的应用非常广泛，对于生产、生活实践以及平面几何中与直线和圆有关的问题，我们可以建立直角坐标系，通过直线与圆的方程，将其转化为代数问题来解决．本节我们通过几个例子说明直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用．题型一直线与圆的方程在实际生活中的应用例1如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．这个圆的圆拱跨度AB＝20m，拱高OP＝4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01m)．解建立如图所示的直角坐标系，使圆心在y轴上．设圆心的坐标是(0，b)，圆的半径是r，那么圆的方程是x2＋(y－b)2＝r2.下面确定b和r的值．因为P、B都在圆上，所以它们的坐标(0,4)，(10,0)都满足方程x2＋(y－b)2＝r2.于是，得到方程组02＋4－b2＝r2，102＋0－b2＝r2解得b＝－10.5，r2＝14.52.所以，圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52.把点P2的横坐标x＝－2代入圆的方程，得(－2)2＋(y＋10.5)2＝14.52，即y＋10.5＝14.52－－22(P2的纵坐标y＞0，平方根取正值)．所以y＝14.52－－22－10.5≈14.36－10.5＝3.86(m)．答支柱A2P2的高度约为3.86m.小结解决直线与圆的实际应用题的步骤为：(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知；(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素；(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知；(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去．跟踪训练1一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西60km处，受影响的范围是半径长为20km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北30km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解建立如图所示的直角坐标系，取10km为单位长度，由题意知轮船的起点和终点坐标分别为：(6,0)，(0,3)，所以轮船航线所在直线方程为x6＋y3＝1，即x＋2y－6＝0，台风圆域边界所在圆的方程为x2＋y2＝4.由点到直线的距离公式，得圆心到直线的距离d＝|－6|12＋22＝652.所以直线x＋2y－6＝0与圆x2＋y2＝4相离，因此这艘轮船不改变航线，那么它也不会受到台风的影响．题型二用代数法证明几何问题例2已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半．证明如图，以四边形ABCD互相垂直的对角线CA，DB所在直线分别为x轴，y轴，建立直角坐标系．设A(a,0)，B(0，b)，C(c,0)，D(0，d)．过四边形ABCD外接圆的圆心O′分别作AC、BD、AD的垂线，垂足分别为M、N、E，则M、N、E分别是线段AC、BD、AD的中点．由线段的中点坐标公式，得xO′＝xM＝a＋c2，yO′＝yN＝b＋d2，xE＝a2，yE＝d2.所以|O′E|＝a2＋c2－a22＋b2＋d2－d22＝12b2＋c2.又|BC|＝b2＋c2，所以|O′E|＝12|BC|.小结用坐标方法解决平面几何问题的步骤为：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论．跟踪训练2Rt△ABC的斜边BC为定长m，以斜边的中点O为圆心作半径为定长n的圆，BC所在直线交此圆于P、Q两点，求证：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2为定值．证明如右图，以O为原点，分别以直线PQ，过O点且垂直于PQ的直线为x轴，y轴建立直角坐标系．于是有B(－m2，0)，C(m2，0)，P(－n2，0)，Q(n2，0)．设A(x，y)，由已知，得点A在圆x2＋y2＝m24上．|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2＝(x＋n2)2＋y2＋(x－n2)2＋y2＋n2＝2x2＋2y2＋32n2＝m22＋32n2(定值)．【变式4】已知三角形ABC，AD为三角形的中线，求证：2|AB|2＋2|AC|2－|BC|2＝4|AD|2.证明以BC所在的直线为x轴，以BC的中点D为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设B(－a,0)，C(a,0)，A(x，y)．从而|AB|2＝(x＋a)2＋y2，|AC|2＝(x－a)2＋y2，|BC|2＝4a2，|AD|2＝x2＋y2.所以2|AB|2＋2|AC|2－|BC|2＝4x2＋4y2＝4(x2＋y2)，所以2|AB|2＋2|AC|2－|BC|2＝4|AD|2.题型三直线与圆中的最值问题例3某圆拱桥的水面跨度20m，拱高4m．现有一船，宽10m，水面以上高3m，这条船能否从桥下通过？解建立如图所示的坐标系．依题意，有A(－10,0)，B(10,0)，P(0,4)，D(－5,0)，E(5,0)．设所求圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，于是有a＋102＋b2＝r2，a－102＋b2＝r2，a2＋b－42＝r2.解此方程组，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5.所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)．把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1.由于船在水面以上高3m,3＜3.1，所以该船可以从桥下穿过．小结针对这种类型的题目，即直线与圆的方程在生产、生活实践中的应用问题，关键是用坐标法将实际问题转化为数学问题，最后再还原为实际问题．跟踪训练3设半径为3km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，A向东，B向北，A出村后不久改变前进方向，斜着沿切于村落圆周的方向前进，后来恰好与B相遇，设A、B两人的速度一定，其比为3∶1，问A、B两人在何处相遇？解由题意以村中心为原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，建立直角坐标系，设A、B两人的速度分别为3vkm/h，vkm/h，设A出发ah，在P处改变方向，又经过bh到达相遇点Q，则P(3av,0)，Q(0，(a＋b)v)，则|PQ|＝3bv，|OP|＝3av，|OQ|＝(a＋b)v.在Rt△OPQ中，|PQ|2＝|OP|2＋|OQ|2得5a＝4b.kPQ＝0－va＋b3av－0，∴kPQ＝－34.设直线PQ的方程为y＝－34x＋b由PQ与圆x2＋y2＝9相切，得|4b|42＋32＝3，解得b＝154，故A、B两人相遇在正北方离村落中心154km处．