4.2三角函数的求值、化简、证明

[理要点](1)求值：①给角求值的关键是正确地分析角度之间的关系，准确地选用公式，要注意产生特殊角，同时把非特殊角的三角函数值相约或相消，从而求出三角函数式的值；②给值求值的关键是用“已知角”表示“所求角”；③给值求角的关键是先求出该角的某一三角函数值，再判断该角范围，最后求出角．已知且则（）)2,0(,22sinsin22coscos6.3.3.3.DCBAB[理要点](2)化简：化简的目标：①项数尽可能少；②种类(名称)尽可能少；③角尽可能少、小；④次数尽可能低；⑤分母尽可能不含三角式；⑥尽可能不带根号；⑦能求出值的求出值．三个统一：统一函数名；统一角；统一次数；①无条件恒等式的证明，一般由繁的一边往简的一边证，逐步消除差异，最后达到统一．对于较难的题目，可以用分析法帮助思考，或分析法和综合法联用．②附加条件恒等式的证明，关键是恰当地利用附加条件，要认真分析条件式和结论式中三角函数之间的联系，从分析过程中寻找条件等式向待证等式转化的途径．[理要点](3)证明：化繁为简左右归一解：2sinπ4－x＋6cosπ4－x＝2212sinπ4－x＋32cosπ4－x＝22sinπ6·sinπ4－x＋cosπ6cosπ4－x＝22cosπ6－π4＋x＝22cosx－π12.2．化简：(1tanα2－tanα2)(1＋tanα·tanα2)．解：原式＝cosα2sinα2－sinα2cosα21＋sinαcosα·sinα2cosα2＝cos2α2－sin2α2sinα2cosα2·cosαcosα2＋sinαsinα2cosαcosα2＝cosα12sinα·cosα－α2cosαcosα2＝2sinα.3．(1)化简：sin2α＋cos2α－1sin2α－cos2α＋1sin4α；(2)已知tan2θ＝－22，π＜2θ＜2π，化简2cos2θ2－sinθ－12sinθ＋π4.解：(1)sin2α＋cos2α－1sin2α－cos2α＋1sin4α＝sin22α－cos2α－122sin2α·cos2α＝sin22α－cos22α＋2cos2α－12sin2α·cos2α＝－2cos22α＋2cos2α2sin2α·cos2α＝1－cos2αsin2α＝2sin2α2sinαcosα＝sinαcosα＝tanα.(2)原式＝cosθ－sinθsinθ＋cosθ＝1－tanθ1＋tanθ，又tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝－22.解得tanθ＝－12或tanθ＝2.∵π＜2θ＜2π，∴π2＜θ＜π，∴tanθ＝－12，故原式＝1＋121－12＝3＋22.2．已知函数f(x)＝cosx·1＋sinx1－sinx＋sinx·1＋cosx1－cosx.(1)当x∈(－π2，0)时，化简f(x)的解析式并求f(－π4)的值；(2)当x∈(π2，π)时，求函数f(x)的值域．解：f(x)＝cosx·1＋sinx1－sinx＋sinx·1＋cosx1－cosx＝cosx·1＋sinx2cos2x＋sinx·1＋cosx2sin2x＝cosx·1＋sinx|cosx|＋sinx·1＋cosx|sinx|.(1)当x∈(－π2，0)时，f(x)＝sinx－cosx，故f(－π4)＝－2.(2)当x∈(π2，π)时，|cosx|＝－cosx，|sinx|＝sinx，故f(x)＝cosx·1＋sinx－cosx＋sinx·1＋cosxsinx＝cosx－sinx＝2cos(x＋π4)．因为x∈(π2，π)，x＋π4∈(3π4，5π4)，所以－1≤cos(x＋π4)－22，所以函数f(x)的值域是[－2，－1)．3．(2011•成都检测)在平面直角坐标系xOy中，点P12，cos2θ在角α的终边上，点Q(sin2θ，－1)在角β的终边上，且OP·OQ＝－12.(1)求cos2θ的值；(2)求sin(α＋β)的值．解：(1)因为OP·OQ＝－12，所以12sin2θ－cos2θ＝－12，即12(1－cos2θ)－cos2θ＝－12，所以cos2θ＝23，所以cos2θ＝2cos2θ－1＝13.(2)因为cos2θ＝23，所以sin2θ＝13，所以点P12，23，点Q13，－1，又点P12，23在角α的终边上，所以sinα＝45，cosα＝35.同理sinβ＝－31010，cosβ＝1010，所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝45×1010＋35×－31010＝－1010.已知α，β都是锐角，且sinβ＝sinαcos(α＋β)．(1)若α＋β＝π4，求tanβ的值；(2)当tanβ取最大值时，求tan(α＋β)的值．作业本上解：(1)∵α＋β＝π4，∴sinβ＝22sin(π4－β)，整理得32sinβ－12cosβ＝0，∵β是锐角，∴tanβ＝13.(2)由已知得sinβ＝sinαcosαcosβ－sin2αsinβ，∴tanβ＝sinαcosα－sin2αtanβ，∴tanβ＝sinαcosα1＋sin2α＝sinαcosα2sin2α＋cos2α＝tanα1＋2tan2α＝12tanα＋1tanα≤122＝24，当且仅当1tanα＝2tanα时，取“＝”，即tanα＝22时，tanβ取得最大值24.此时，tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝2.[题组自测]1．求证：cos2α1tanα2－tanα2＝14sin2α.证明：∵左边＝cos2αcosα2sinα2－sinα2cosα2＝cos2αcos2α2－sin2α2sinα2cosα2＝cos2αsinα2cosα2cos2α2－sin2α2＝cos2αsinα2cosα2cosα＝cosαsinα2cosα2＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边．∴原式成立．2．求证：tanα＋1tanπ4＋α2＝1cosα.证明：左边＝sinαcosα＋cosπ4＋α2sinπ4＋α2＝sinαsinπ4＋α2＋cosαcosπ4＋α2cosαsinπ4＋α2＝cosπ4＋α2－αcosαsinπ4＋α2＝cosπ4－α2cosαsinπ4＋α2＝sinπ4＋α2cosαsinπ4＋α2＝1cosα＝右边．∴原式得证．3．已知0απ4，0βπ4，且3sinβ＝sin(2α＋β)，4tanα2＝1－tan2α2，证明：α＋β＝π4.证明：∵3sinβ＝sin(2α＋β)，即3sin(α＋β－α)＝sin(α＋β＋α)，∴3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα，∴2sin(α＋β)cosα＝4cos(α＋β)sinα，∴tan(α＋β)＝2tanα.又∵4tanα2＝1－tan2α2∴tanα＝2tanα21－tan2α2＝12，∴tan(α＋β)＝2tanα＝1∵α＋β∈(0，π2)，∴α＋β＝π4.[题组自测]1．已知sinx＝－13，且x∈(－π，－π2)，则x可以表示为()A．arcsin13B．－π2－arcsin(－13)C．－π＋arcsin(－13)D．－π－arcsin(－13)解析：适合sinx＝13的锐角为x＝arcsin13.又x∈(－π，－π2)，所以所求角为－π＋arcsin13，即为－π－arcsin(－13)．答案：D2．设x∈(0，3π2)，且cosx＝－32，则x用反余弦形式可以表示为()A．arccos32B．π＋arccos32C．π－arccos32或π＋arccos32D．π－arccos32解析：由cosx＝－32知，角x为第二或第三象限的角．所以x1＝2kπ＋π－arccos32(k∈Z)，x2＝2kπ＋π＋arccos32(k∈Z)，又因为x∈(0，3π2)，令k＝0可得x1＝π－arccos32，x2＝π＋arccos32.答案：C设：，则x=41cos),,0(xx设：，则x=33cos),,0(xx[归纳领悟]已知三角函数值求角(1)已知角的正弦值求角：由于正弦函数y＝sinx在[－π2，π2]上单调递增，所以适合sinx＝a(－1≤a≤1)的角x在[－π2，π2]上有且只有一个．记作arcsina，即x＝arcsina.对于sinx＝a，|a|≤1，这个方程的解可以表示成x1＝2kπ＋arcsina或x2＝2kπ＋π－arcsina.(2)已知角的余弦值求角：由于余弦函数y＝cosx在[0，π]上单调递减，所以适合cosx＝a(－1≤a≤1)的角x在[0，π]上有且只有一个．记作arccosa，即x＝arccosa.对于cosx＝a，|a|≤1，这个方程的解可以表示成x＝2kπ±arccosa.(3)已知角的正切值求角由于正切函数y＝tanx在(－π2，π2)上单调递增，所以适合tanx＝a(a∈R)的角x在(－π2，π2)上有且只有一个．记作arctana，即x＝arctana.方程tanx＝a，a∈R的解集为{x|x＝kπ＋arctana，k∈Z}．