系统工程第3章最优化技术

IntroductiontoSystemsEngineering石英武汉理工大学自动化学院E-mail:[e-mail]教学内容第一章绪论（1学时）第二章系统分析与系统建模（3学时）第三章最优化技术（24学时）第四章系统优化（2学时）第五章决策分析（2学时）系统工程概论第三章最优化技术§3-1最优化技术的基本概念§3-2线性规划§3-3整数规划§3-4非线性规划§3-5动态规划§3-6图与网络E-mail:[e-mail]武汉理工大学自动化学院石英§3-1最优化技术的基本概念BasicConceptoftheOptimizationTechnology1.数学模型的建立TheCreationoftheMathematicalModel2.最优化问题的分类TheSortoftheOptimizationProblem3.最优化问题的解决方法TheSolutionoftheOptimizationProblem系统工程概论分类建模解决方法E-mail:[e-mail]武汉理工大学自动化学院石英最优化技术的基本概念最优化技术是研究和解决最优化问题的一门科学，它研究和解决如何从一切可能的方案中寻找最优的方案。也就是说，最优化技术是研究和解决如何将最优化问题表示为数学模型以及如何根据数学模型尽快求出其最优解的两大问题。一般而言，用最优化方法解决实际工程问题可分为三步进行：(1)根据所提出的最优化问题，建立最优化问题的数学模型，确定变量，列出约束条件和目标函数(指标函数或性能指标);(2)对所建立的模型进行具体分析和研究，选择适当的最优化求解方法;(3)根据最优化方法的算法列出程序框图和编写语言程序，用计算机求出最优解，并对算法的收敛性、通用性、简便性、计算效率及误差等作出评价。最优化方法是采用计算机进行寻优的方法。系统工程概论E-mail:[e-mail]武汉理工大学自动化学院石英最优化技术的基本概念分类建模解决方法所谓最优化问题，就是寻找一个最优化控制方案或最优化控制规律，使所研究的对象(或系统)能最优地达到预期的目标。例如，在恒温的自动控制过程中，如果出现干扰而产生偏差，则用什么办法最快地消除偏差致使系统恢复原来的平衡状态?再如，在雷达高炮随动系统中，当发现敌机后，如何以最快的速度跟踪目标而将敌机击落?又如，在控制发射N级火箭时，如何规划各级火箭的质量致使火箭的总质量为最小?总之，最优化问题的中心课题，就是依据各种不同的研究对象以及人们预期要达到的目的，寻找出一个最优控制规律或设计出一个最优控制方案或最优控制系统。系统工程概论E-mail:[e-mail]武汉理工大学自动化学院石英最优化技术的基本概念分类建模解决方法一、数学模型的建立用最优化方法解决实际工程问题的第一步，就是要建立表达最优化问题的数学模型，其中包括了确定变量、列出约束条件和建立目标函数等三个主要内容。例[3-1]人造卫星姿势控制问题人造卫星姿势控制的示意图如3-1-1。图中，用A和B表示的两组斜对称配置的小喷嘴对成对工作，小喷嘴喷出燃料时产生的反作用力可以使卫星旋转并进入要求的姿态。系统工程概论E-mail:[e-mail]武汉理工大学自动化学院石英最优化技术的基本概念分类建模解决方法系统工程概论E-mail:[e-mail]武汉理工大学自动化学院石英最优化技术的基本概念分类建模解决方法AABBF/2F/2质心基准θ图3-1-1人造卫星姿态控制示意图t0时刻，卫星偏离要求的基准姿态θ(t0)角度，且正以角度继续偏离。从t0时刻起加上控制力u(t)，使卫星在最短时间里回复到所要求的姿态。以tf表示终端时刻，则要求有θ(tf)=0和0(t)f(t)0且tf－t0为最小。系统工程概论E-mail:[e-mail]武汉理工大学自动化学院石英最优化技术的基本概念分类建模解决方法mFl(t)JmFlu(t)(t)J作用在卫星体上的力矩表达式为：2×F/2×l=Fl在力矩的作用下，卫星体产生的角速度为：Jm为卫星体绕质心的转动惯量。令控制力选择状态变量x1(t)=θ(t),，则有2x(t)(t)122x(t)=x(t)x(t)=u(t)系统工程概论E-mail:[e-mail]武汉理工大学自动化学院石英最优化技术的基本概念分类建模解决方法1122x(t)x(t)010u(t)x(t)x(t)001＋写成向量形式：系统初始状态为：1000200x(t)(t)x(t)x(t)(t)系统终端状态为：1ff2fx(t)0x(t)x(t)0系统工程概论E-mail:[e-mail]武汉理工大学自动化学院石英最优化技术的基本概念分类建模解决方法由于小喷嘴可以产生的最大反作用力是有限的，所以控制力u(t)有限，其绝对值不大于某个数值，即：式中，Um为某个正数。根据题意J＝tf－t0应为最小。mu(t)U目标函数约束条件(1)要求在姿势控制过程中所消耗的燃料为最少，J=∫tft0|u(t)|dt(2)要求在姿势控制过程中不但所消耗的燃料为最少，而且还要兼顾到所需要的时间为最短，J=∫tft0[ρ+|u(t)|]dtρ为权系数，它的大小表示了燃料和时间的相对重要性。若要求动作快、时间短，则要加大ρ;若强调节省燃料，则要减小ρ。人造卫星姿势控制的最优化问题，就是如何选择满足的容许控制，使所建立的目标函数取极小值。系统工程概论E-mail:[e-mail]武汉理工大学自动化学院石英最优化技术的基本概念分类建模解决方法mu(t)U最优化问题的数学描述，应包括以下几方面的内容:(1)受控制动态系统的数学模型，即满足系统动力学特性的系统状态方程；(2)动态系统的初态和终态，即状态方程的边界条件；(3)目标函数(又称性能指标或性能函数或目标泛函等)，它是一个衡量“控制作用”效果的性能指标；(4)容许控制的集合。每一个实际的控制问题，控制向量u(t)都有一个规定的取值范围。系统工程概论E-mail:[e-mail]武汉理工大学自动化学院石英最优化技术的基本概念分类建模解决方法二、最优化问题的分类(1)无约束与有约束最优化问题如果控制变量的取值范围不受限制，则为无约束的最优化问题，求无约束函数的极值时，问题的最优解即为目标函数的极值。约束条件可分为等式约束条件和不等式约束条件。等式约束条件上各点称为可行解，等式约束曲线表示可行解域。满足不等式约束条件的区域范围称为解的可行域，在该域内的解称为可行解，而可行解的数目会有无限多个，其中必有一个为最优解。系统工程概论分类建模解决方法E-mail:[e-mail]武汉理工大学自动化学院石英最优化技术的基本概念(2)确定性和随机性最优化问题在确定性最优问题中，每个变量的取值是确定的，可知的。在随机性最优问题中，某些变量的取值是不确定的，但可根据大量的实验统计，知道变量取某值服从一定的概率分布规律，这称为随机规划。(3)线性和非线性最优化问题如果目标函数和所有的约束条件式均为线性，则称为线行最优化问题或线性规划问题。如果目标函数或约束式(即使只是部分约束式)中任一个是变量的非线性函数，则称为非线性最优化问题或非线性规划问题。系统工程概论E-mail:[e-mail]武汉理工大学自动化学院石英最优化技术的基本概念分类建模解决方法(4)静态和动态最优化问题如果最优化问题的解不随时间t的变化而变化，则称为静态最优化(参数最优化)问题。如果最优化问题的解随时间t的变化而变化，即变量是时间t的函数，则称为动态最优化(最优控制)问题，解决静态最优化问题可以采用线性规划和非线性规划方法，而解决动态最优化问题则采用动态规划或最大值原理。系统工程概论E-mail:[e-mail]武汉理工大学自动化学院石英最优化技术的基本概念分类建模解决方法三、最优化问题的求解方法最有化问题的求解方法大致可分成四类:(1)间接法(又称解析法)对于目标函数及约束条件性具有简单而明确的数学解析表达式的最优化问题，通常可采用间接法(解析法)来解决，其求解方法是先按照函数极值的必要条件，用数学分析方法(一般用求导数方法或变分方法)求出其解析解，然后按照充分条件或问题的实际物理意义间接地确定最优解。系统工程概论分类建模解决方法E-mail:[e-mail]武汉理工大学自动化学院石英最优化技术的基本概念(2)直接法(数值解法)直接法的基本思想，就是用直接搜索方法经过一系列的迭代以产生点的序列(简称点列)，使之逐步接近到最优点。直接法常常是根据经验或试验而得到的。(3)以解析法为基础的数值解法以梯度法为基础的一种直接法，它是一种解析与数值计算结合的方法。(4)图与网络方法这种方法是以网络作为数学模型，用图论方法进行搜索的寻优方法。系统工程概论最优化技术的基本概念分类建模解决方法系统工程概论第三章最优化技术§3-1最优化技术的基本概念§3-2线性规划§3-3整数规划§3-4非线性规划§3-5动态规划§3-6图与网络E-mail:[e-mail]武汉理工大学自动化学院石英§3-2线性规划LinearProgramming1.LP的数学模型MathematicalModelofLP2.图解法GraphicalMethod3.标准型NormalizedFormofLP4.单纯形法SimplexMethod5.人工变量法ArtificialVariableMethod6.附录：LP常用词汇线性规划（LinearProgramming缩写为LP）是运筹学的重要分支之一，在实际中应用得较广泛，其方法也较成熟，借助计算机，使得计算更方便，应用领域更广泛和深入。线性规划通常解决下列两类问题（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标；（2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多、利润最大。系统工程概论E-mail:[e-mail]武汉理工大学自动化学院石英线性规划LP的数学模型标准型图解法单纯形法人工变量法§3-2-1LP的数学模型产品设备甲乙丙设备能力（小时）A31220B22415C40116D03512利润（元/件）435【例3.2.1】某企业计划生产甲、乙、丙三种产品。这些产品分别要在A、B、C、D、四种不同的设备上加工。按工艺资料规定，单件产品在不同设备上加工所需要的台时如表1-1所示，已知各设备在计划期内的能力分别为20、15、16、12小时；每生产一件甲、乙、丙三种产品，企业可获得利润分别为4、3、5元。企业决策者应如何安排生产计划，使企业在计划期内总的利润收入最大？系统工程概论E-mail:[e-mail]武汉理工大学自动化学院石英线性规划LP的数学模型标准型图解法单纯形法人工变量法321534maxxxxZ【解】设x1、x2、x3分别为甲、乙、丙三种产品的产量数学模型为：系统工程概论E-mail:[e-mail]武汉理工大学自动化学院石英线性规划LP的数学模型标准型图解法单纯形法人工变量法线性规划的数学模型由决策变量Decisionvariables目标函数Objectivefunction及约束条件Constraints构成。称为三个要素。其特征是：1．解决问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值或最小值；2．解决问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式。怎样辨别一个模型是线性规划模型？系统工程概论E-mail:[e-mail]武汉理工大学自动化学院石英线性规划LP的数学模型标准型图解法单纯形法人工变量法一般地，假设线性规划数学模型中，有m个约