第八章 参数假设检验

假设检验的思想正态总体均值的检验正态总体方差的检验第八章参数假设检验参数估计的方法是通过分析样本而估计总体参数的取值(点估计)或总体参数落在什么范围(区间估计)，而有些实际问题中，我们不一定要了解总体参数的取值或范围，而只想知道总体的参数有无明显变化，或是否达到既定的要求，或两个总体的某个参数有无明显差异等。这类问题就是参数的假设检验问题。简介【例1】质量检测用包装机包装糖果,每袋重量为服从正态分布的随机变量.当机器正常时,其均值为0.5公斤,标准差为0.015公斤.为检验包装机工作是否正常,随机抽9袋,称得重量(单位:公斤)为:0.4970.5060.5180.5240.4980.5110.5200.5150.512问该包装机工作是否正常?§1、假设检验的思想与方法先看一个例子。问题已知总体(袋装糖重量)x~N(μ,0.0152),其中μ未知,根据样本值来判断μ=0.5还是μ≠0.5?答案认为μ=0.5[接受μ=0.5],或认为μ≠0.5[拒绝μ=0.5]理论依据统计推断原理——小概率事件在一次试验中几乎不发生.解决步骤5.0:00H01:H(1)提出假设问题(2)给定检验法则,利用样本值依统计推断原理作出判断:接受H0(即拒绝H1)——认为包装机工作正常拒绝H0(即接受H1)——认为包装机工作不正常如何给定检验法则？由于待检验的是总体均值μ，故自然想到能否用统计量样本均值来进行判断。x统计推断原理因为是μ的无偏估计，所以观察值在一定程度上反映了μ的大小。从而xx||0x)1,0(~/00NnxuH当假设H0为真时,观察值与的偏差一般不应太大，即x0较小注意到：故应有nx/0较小分析由此可得判定法则：选定一适当正数k，使得当样本值满足由此可得判定法则：选定一适当正数k，使得当样本值满足由于作出判断的依据仅为一个样本值，所以我们会犯两种类型的错误：knx/0knx/0接受H0拒绝H0如何确定正数k？第一类错误[弃真]——H0实际为真而作出拒绝H0第二类错误[取伪]——H0实际为假而作出拒绝H0如何确定临界值k犯两类错误的概率分别为为真拒绝00|HHP为假接受00|HHP尽管主观上希望犯两类错误的概率都很小。但在样本容量一定的情况下，不能同时控制犯两类错误的概率。}|{00为真拒绝HHP一般，称控制犯第一类错误概率的检验问题为显著性检验问题。为此,给定一个较小的正数α(0α1),使有在此条件下确定k的值.小概率事件两类错误在例1中,当假设H0为真时,统计量为真拒绝000|}{HHPknxP)1,0(~0Nnxu由得2zk至此，在显著性水平α下,根据所给一个样本值按统计推断原理作出最终判断：2/0/znx2/0/znx接受H0拒绝H0小概率事件接受,拒绝在例1中,取显著性水平α=0.05,由样本值0.4970.5060.5180.5240.4980.5110.5200.5150.512经计算得,511.0x而015.0,9n查表得96.1025.02/zz计算检验统计量观察值为2.29/015.05.0511.0/0nxu由2/96.12.2||zu作出拒绝H0,即认为包装机工作不正常.例1解现在在一次实验中,小概率事件{|u|≥k}竟然发生,根据统计推断原理有理由怀疑假设的正确性,从而拒绝假设H0.基本概念00:Hnxu0统计量检验统计量假设原假设01:H(双边)备择假设为真拒绝000|}{HHPknxP正小数α显著性水平区域kuC|:|(H0的)拒绝域基本概念在显著性水平α下,检验假设拒绝域拒绝域拒绝域的边界点22,zz临界点2z2z临界点uuu拒绝H0接受H0拒绝H0检验问题提法:0100:;:HH双边检验0100:;:HH左边检验0100:;:HH右边检验检验问题提法由例1得:单正态总体方差已知时均值的双边检验拒绝域2||zz左边检验拒绝域右边检验拒绝域zzzz为真拒绝000|}{HHPznxP类似可得:为真拒绝000|}{HHPznxP【例2】单边检验参数的显著性检验问题的步骤:1、根据题意提出原假设H0与备择假设H1;2、给定显著性水平α(=0.01,0.05)和容量n;3、根据H0构造检验统计量U,当H0为真时,U的分布已知且与未知参数无关;4、确定拒绝域的形式,并由}|{00为真拒绝HHP确定H0的拒绝域C;5、抽样,根据样本观察值计算检验统计量U的观察值.若,则拒绝H0;若,则接受H0.0uCu0Cu0显著性检验步骤值得注意的是,作参数假设检验时，所构造的检验统计量与参数区间估计时所用的随机变量在形式上是一致的。这是由于假设检验与区间估计仅形式上不同,而本质上是相通的.§2、正态总体均值与方差的假设检验方差已知，均值检验（u检验法）的拒绝域.0100:;:HHnxz/01、均值检验(u检验法,t检验法)【推导】作检验统计量与未知参数无关，且当H0为真时其分布已知:一、单正态总体设总体x~N(μ,σ2),其中σ2已知,μ为待检验参数.在显著性水平为α(0α1)下求双边检验问题)1,0(~/00NnxzHU检验法由}|{|2zzP得拒绝域为2||zz于是,可根据样本值计算统计量的观察值z,并作出判断:2||zz也说：在显著性水平α下,总体均值没有显著性变化；接受原假设H02||zz拒绝原假设H0也说：在显著性水平α下,总体均值有显著性变化。□1、均值检验(U,T检验法)左边检验假设0100:;:HH【推导】在为真时,仍取检验统计量为0H)1,0(~/00NnxzH由}{zzP得拒绝域为zz右边检验假设0100:;:HH拒绝域zz[参见P.204:表8.1]至于单边检验问题可类似处理.此时,当H0为真时z应较小,当H1为真时-z偏大,故拒绝域形式为:z≤k【例2】例2说明在方差已知时均值的下列两种检验问题0100:;:HH0100:;:HH虽然形式和意义均不同,但在相同的显著性水平下其拒绝域是相同的.因此,后者可转化为前者来处理.下面讨论的各种检验也有类似情形,不再一一说明.方差未知，均值检验（t检验法）双边检验假设0100:;:HHnsxt/0【推导】作检验统计量与未知参数无关，且当H0为真时其分布已知)1(~/00ntnsxtHT检验法由)}1(|{|2nttP得拒绝域为)1(||2nttT检验法类似可得单边检验拒绝域[P.204:表8.1]拒绝域右边检验)1(ntt)1(ntt左边检验0100:;:HH0100:;:HH拒绝域续例3【例3】P.233:4〖解〗设总体(装配时间)的均值为μ,则检验问题为这是“方差未知,均值的右边检验”,采用t检验法.0100:;10:HH检验统计量为nsxt/0拒绝域为7291.1)19()1(05.0tntt由样本值得:5099.0,2.10sx检验统计量观察值为7541.1/0nsxt即观察值落入拒绝域内,故拒绝H0,即认为装配时间显著地大于10.)1(7291.1nt续2、方差检验（χ2检验法）20212020:;:HH2022)1(sn与未知参数无关，且当H0为真时其分布已知:设总体x~N(μ,σ2),其中μ,σ2均未知,在显著性水平α(0α1)下求双边检验问题χ2检验法的拒绝域,其中为常数.20【推导】作检验统计量)1(~)1(220220nsnH均值未知，方差检验(χ2检验法)由于S2是σ2的无偏估计,故当H0为真时,比值应充分接近1,即不能过分大于1或过分小于1,从而拒绝域形式为：202s2212kk或其中k1,k2由为真拒绝00|HHP2212kkP2212kPkP习惯上对称地取22212kPkP推导由χ2-分布的双侧分位点得：)1(),1(2/222/121nknk于是，所求拒绝域故为),1(2/122n□χ2检验法*(2)、均值已知，方差检验〖注〗单边检验拒绝域见表8.1.20212020:;:HH拒绝域双边检验)(~)(2201220nxHniiχ2检验法检验统计量),(2/122n)1(2/22n或)(2/22n或未知同方差的均值差检验(t检验法)1、均值差检验（u检验法，t检验法）设有两个正态总体),,(~),,(~222211NyNx样本，其样本均值与样本方差分别为：21,,,;,...,,2121nnyyyxxx分别是来自两个正态总体的独立2221,;,ssyx二、双正态总体的拒绝域,其中δ为已知常数[常用的是δ=0].211210:;:HH在显著性水平为α(0α1)下求右边检验问题的拒绝域,其中δ为已知常数[常用的是δ=0].211210:;:HH)2(~11)(21210nntnnsyxtHw【推导】作检验统计量与单正态总体情形类似可得拒绝域为在显著性水平为α(0α1)下求右边检验问题T检验法)2(11)(2121nntnnsyxtw(1)同未知方差,均值差检验(u检验法，t检验法）〖注〗其它检验拒绝域见表8.1.已知方差的均值差检验(u检验法)检验统计量)1,0(~)(0222121NnnyxzH双边检验拒绝域2/||zz〖注〗其它检验拒绝域见表8.1.(2)已知方差,均值差检验2、方差检验（F检验法）仅讨论情形两正态总体均值未知的方差检验的拒绝域.2221122210:,:HH【推导】作检验统计量在显著性水平为α(0α1)下求右边检验问题)1,1(~2122210nnFssFH由于当H0为真时,)()(22222121sEsE而当H1为真时,)()(22222121sEsE故有偏大的趋势,从而拒绝域形式为2221ssFkssF2221由为真拒绝00|HHP)1,1(212221nnFssP得所求拒绝域为)1,1(212221nnFss续-1〖注〗其它检验拒绝域见表8.1.【例4】P.206续-2