勾股定理--直角三角形三边的关系

寡妇与母鸡有个寡妇养着一只母鸡，母鸡每天下一个蛋。她以为多给鸡喂些大麦，就会每天下两个蛋。于是，她就每天这样喂，结果母鸡长得越来越肥，每天连一个蛋也不下了。这故事说明，有些人因为贪婪，想得到更多的利益，结果连现有的都失掉了。旧知回顾1.三角形三边有什么关系？2.直角三角形具有这样的关系吗？直角三角形除了具有这样的关系，它还具有什么关系呢？（图中每一格代表一平方厘米）观察左图：（1）正方形P的面积是平方厘米。（2）正方形Q的面积是平方厘米。（3）正方形R的面积是平方厘米。121上面三个正方形的面积之间有什么关系？SP+SQ=SRRQPACBAC2+BC2=AB2等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？探究Sp=AC2SQ=BC2SR=AB2这说明：在等腰直角三角形ABC中,两直角边的平方和等于斜边的平方那么,在一般的直角三角形中,两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢?QPR图1-3QPR图1-4把R看作是四个直角三角形的面积+小正方形面积。(每一小方格表示1平方厘米)正方形R的面积是多少呢？QPR图3QPR图4把R看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积。432147225S正方形RP的面积(单位长度)Q的面积(单位长度)R的面积(单位长度)图2图3P、Q、R面积关系直角三角形三边关系QPR图2QPR图3ABCABC916259413SP+SQ=SRBC2+AC2=AB2(每一小方格表示1平方厘米)分别以5cm、12cm为直角三角形的直角边作出一个直角三角形ABC，测量斜边的长度，然后验证上述关系对这个直角三角形是否成立。做一做13512ABC概括对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a2+b2=c2直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.揭示了直角三角形三条边的关系aABCbc几何语言：∵在Rt△ABC中∠C=90°（已知）∴a2+b2=c2（勾股定理）勾股定理:∟两千多年前，古希腊有个哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯年希腊曾经发行了一枚纪念票。定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955勾股世界国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家多年两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票。我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中。其中较短的直角边叫勾，较长的直角边叫股，斜边叫弦。勾股定理的证明(一)最早是由1700多年前三国时期的数学家赵爽为《周髀算经》作注时给出的，他用面积法证明了勾股定理你能用面积法证明勾股定理吗？“弦图”cabcabcabcab大正方形的面积可以表示为；也可以表示为c2abab214)(2∴c2==b2-2ab+a2+2ab=a2+b2∴a2+b2=c2abab214)(2bac勾股定理的证明(二)bacbacbac大正方形的面积可以表示为；也可以表示为(a+b)224abC2∴(a+b)2=a2+2ab+b2=2ab+c2∴a2+b2=c224abC2求出下列直角三角形中未知边的长度22243x2243x2286y10y∟①②3468xy5x例：cab22acb22abcc2=a2+b2a2=c2－b2b2=c2－a2bca22结论变形直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；求下列直角三角形中未知边的长:8x17125x解：在直角三角形中，依勾股定理可得：82+X2=172即：X=√172-82=15解：在直角三角形中，依勾股定理可得：52+122=X2即：X=√52+122=13课堂练习求出下列直角三角形中未知边的长度。6x25248X例:在直角△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边.(1)若a=3,b=4,求c的长(2)若a=5,c=12,求b的长(3)若a:b=3:4,c=15,求a,b的长练习(1)在直角△ABC中，∠A=90°a=5，b=4，则求c的值？(2)在直角△ABC中，∠B=90°，①a=3，b=4，则求c的值？②c=24，b=25，则求a的值？(3)在直角△ABC中，∠c=90°，若a:c=5:13,b=24,求a,c的长（4）如果一个直角三角形的两条边长分别是5厘米和12厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米？可要当心噢！在直角△ABC中，a=3，b=4，则求c的值？ADBC34（5）已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长.（6）小波家买了一部新彩电,小波量了电视机的屏幕后，发现屏幕长58厘米和宽46厘米，就问妈妈彩电是多少英寸,妈妈告诉他:“我们平常所说的电视机多少英寸指的是屏幕对角线的长度,1英寸等于2.54厘米,利用你所学的知识算一下电视机是多少英寸的?”如图，为了求出位于湖两岸的两点A、B之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ＡＢＣ恰好为直角三角形．通过测量，得到AC长160米，ＢＣ长128米．问从点A穿过湖到点B有多远?如图14.1.9，在直角三角形ＡＢＣ中，AC＝１６０米，ＢＣ＝１２８米，根据勾股定理可得ＡＢ＝＝＝96（米）．答：从点A穿过湖到点B有96米．22BCAC22128160解例如图，将长为10米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为6米。ABC106(1)求梯子上端A到墙的底端B的距离AB。（2）若梯子下部C向后移动2米到C1点，那么梯子上部A向下移动了多少米？A1C12巩固提高3、在波平如静的湖面上,有一朵美丽的红莲,它高出水面1米,一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为2米,问这里水深多少?BCAH12?┓xx2+22=(x+1)2回归生活如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？2410解：如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=10米，BC=24米，利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为AC＋AB=26＋10＝36（米）.26241022AC所以，大树在折断之前高为36米.1.一个长方形零件（如图）,根据所给的尺寸(单位mm),求两孔中心A、B之间的距离.AB901604040C解：过A作铅垂线，过B作水平线，两线交于点C，则∠ACB=90°，AC=90-40=50（mm）BC=160-40=120（mm)由勾股定理有：AB2=AC2+BC2=502+1202=16900（mm2)∵AB＞0,∴AB=130(mm)答：两孔中心A，B的距离为130mm.学海无涯2.如图，大风将一根木制旗杆吹裂，随时都可能倒下，十分危急。接警后“119”迅速赶到现场，并决定从断裂处将旗杆折断。现在需要划出一个安全警戒区域，那么你能确定这个安全区域的半径至少是多少米吗？9m24m?3.假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图（如图），他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的直线距离是多少千米?能力拓展题•欲把一根70cm的木棍放在长、宽、高分别为40cm、30cm、50cm的木箱中，能否放进去！•请说明理由403050能力拓展题如图，在⊿ABC中，ACB=90°，AB=5厘米，BC=3厘米，CDAB于D，求CD的长。BDCA