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1模块一：基本辅助线1.如图，已知AC=BD,AD⊥AC,BC⊥BD，求证：AD=BC.2.如图，AB=AE,∠ABC=∠AED,BC=ED,点F是CD的中点，（1）求证：AF⊥CD.（2）在你连接BE后，还能得出什么新的结论？请写出三个（不要求证明）3.如图，∠B=∠E,∠C=∠D,BC=DE,M为CD中点，求证：AM⊥CD.4.如图，平面上有一边长为2的正方形ABCD，O为对角线的交点，正方形OEFG的顶点与O重合，OE、OG分别与正方形ABCD的边交于M、N两点．①如图（1），当OE⊥AB时，四边形OMBN的面积为___；②如图（2），当正方形OEFG绕点O旋转时，四边形OMBN的面积会发生变化吗？试证明你的结论．5.如图所示，在△ABC中，AB=AC，在AB上取一点E，在AC延长线上取一点F，使BE=CF，EF交BC于G.求证：EG=FG。26.如图，在△ABC中，AB=AC，E在线段AC上，D在AB的延长线，连DE交BC于F，过点E作EG⊥BC于G．（1）若∠A=50°，∠D=30°，求∠GEF的度数；（2）若BD=CE，求证：FG=BF+CG．模块二：母子型1已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM,△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F.(1)求证：AN=BM;(2)求证：△CEF为等边三角形2.如图，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90°，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90°，连结AE、BF。求证：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF。33.如图1，若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE；（1）当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（2）当正方形GFED绕D旋转到如图3的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M．①求证：AG⊥CH；②当AD=4，DG=2时，求CH的长．4.如图，已知△ABD、△AEC都是等边三角形，AF⊥CD于点F，AH⊥BE于点H,问：（1）BE与CD有何数量关系？为什么？（2）AF、AH有何数量关系？为什么？5.已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．46.（2009•丰台区一模）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为______，线段CF、BD的数量关系为______；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．模块三倍长中线（1）倍长中线（2）倍长类中线1.已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，求证：AB=AC．52.已知，如图△ABC中，ACAB,AM是BC边上的中线，求证：21（AC-AB）＜AM＜21(AB+AC)．3.如图所示，已知△ABC中，AD平分∠BAC,E,F分别在BD,AD上，DE=CD,EF=AC,求证:EF//AB.4.如图，AD是△ABC的中线，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF求证：BE+CF＞EF．4.如图，已知在△ABC中，AB=AC，CE是AB边上的中线，延长AB到D，使BD=AB，连接CD．求证：CE=21CD.5.证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。67.分别以△ABC的边AB,AC为边，向三角形的外侧作正方形ABDE和正方形ACFG,M为BC的中点，求证：AM⊥EG.8如图，△ABC中，AB=4，AC=7，M是BC的中点，AD平分∠BAC，过M作MF∥AD，交AC于F，求FC的长．9.在△ABC中，AM是BC边上的中线，（1）求证：AB+AC2AM;(2)若AB=5，AC=9，求AM的取值范围。10.△ABC中，AC=8，BC边上的中线AD=6，则边AB的取值范围是。11.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E为BC的中点，过点E作EF∥AD交AB于点G，交CA的延长线于点F．求证：BG=CF．12.如图，已知在△ABC中，AD平分BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F,AF=EF,求证：AC=BE.713.如图所示，∠BAC=∠DAE=90°，M是BE的中点，AB=AC，AD=AE，求证：（1）CD=2AM,（2）AM⊥CD．14.在△ABC中，分别以△ABC的边AB,AC为边，向三角形的外侧作正方形ABDE和正方形ACFG,点M为BC中点，（1）求证：AM丄EG;（2）求证:EG=2AM.模块四、截长补短一．截长：截取较长线段，使其和较短线段长度相等。二．补短：延长较短线段，使其和较长线段长度相等。适用范围：条件或题目中出现“a+b=c”或“a-b=c”目的：构造全等三角形1.如图，在△ABC中，∠B=2∠C,AD⊥BC于D,求证：CD=BD+AB.2.如图，在正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD上的点，∠MAN=45°．求证：MB+ND=MN．83、如图所示，已知△ABC中，AD平分∠BAC,E、F分别在BD、AD上，DE=CD,已知ABCD是正方形，E、F分别在CB、CD的延长线上，∠EAF=135°，求证：BE+DF=EF.4.如图，五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°．连接AD．（1）同学们学习了图形的变换后知道旋转是研究几何问题的常用方法,请你在图中作出△ABC绕着点A按逆时针旋转“∠BAE的度数”后的像；（2）试判断AD是否平分∠CDE，并说明理由．5.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=180°,AB=AD,EF分别是线段BC、CD上的一点，且BE+FD=EF.求证：∠EAF=21∠BAD.6.已知：如图，在正方形ABCD中，M在CB延长线上，N在DC延长线上，∠MAN=45°，AH⊥MN，垂足为H，求证：（1）MN=DN-BM；（2）AH=AB．7.已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE．求证：BE+DF=AE．98.如图，△ABC是正三角形，∠ADC=120°，求证：BD=AD+CD.模块五角平分线的性质与判定1.如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC，求证：AD是∠BAC的平分线．2.如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面积是______．3.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，那么∠C=（）度.4.已知，如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.求证：BE+DF=AE.5.如图△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°10角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．探究：（1）线段BM、MN、NC之间的数量关系．（2）若点M、N分别是AB、CA延长线上的点，其它条件不变，再探线段BM、MN、NC之间的数量关系，在图中画出图形．并对以上两种探究结果选择一个你喜欢的加以证明．6.如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；说明：（1）CF=EB．（2）AB=AF+2EB．7.如图，已知：△ABC的∠B、∠C的外角平分线交于点D．求证：AD是∠BAC的平分线．11模块六、角平分线的四大基本模型1.角平分线+平分线，等腰三角形必呈现2.点垂线，垂两边，线等全等都出现3.角平分线+垂线，中点全等必可见4.角分线，分两边，对称全等要记全1.如图，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB.DE//AB,FD//AC,如果BC=6，求△DEF的周长2.△ABC中.（1）如图1，若∠BAC的平分线过BC的中点D,猜想AB和AC的关系并证明。（2）如图2，若∠BAC的平分线不过BC的中点D,而是与BC的垂直平分线交于点E，过E作EF⊥AB,垂足为F,猜想2BF、AB、AC的关系并证明。3.如图，△ABC中，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，你能说明DC⊥AC吗？4.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,BE平分∠ABC,CE⊥BE,求证：(1)BD·BE=AB·BC；(2)CE=21BD.125.如图，已知△ABC中，AD平分∠BAC．∠C=20°，AB+BD=AC，则∠B的度数是______．6.已知，等腰△ABC，∠A=100°，∠ABC的平分线交AC于D,BD=BE,(1)求∠DEC;(2)求证：AD=EC.7.如图，AD是△ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD=BD．（1）求证：∠B与∠AHD互补；（2）若∠B+2∠DGA=180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明．8.(1)如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．13（2）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，P是AD上的任意一点，且AB＞AC，求证：AB-AC＞PB-PC．9.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E.在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC.（1）求证：BE=CF；（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME.求证：①ME⊥BC；②DE=DN.10.（1）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．判断DE=DB+EC是否成立？为什么？（2）如图，若点F是∠ABC的平分线和外角∠ACG的平分线的交点，其他条件不变，请猜想线段DE、DB、EC之间有何数量关系？证明你的猜想．11.如图，在△ABC中，BE是∠ABC的角平分线，AD⊥BE，垂足为D，求证：∠2=∠1+∠C．1412.如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、BC于点E、F．且FG⊥AB，垂足为G，求证：CE=FG．模块七垂直平分线1.如图，已知AB=AC，DE垂直平分AB交AC、AB于E、D两点，若AB=12cm，BC=10cm，∠A=50°，求△BCE的周长和∠EBC的度数。2.电信部门要修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）153如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．(3)若∠ABC=50°,求∠F.4.已知：如图AB=CD,线段AC的垂直平分线于线段BD的垂直平分线相交于点E,求证：∠ABE=∠CDE.模块八大角夹半角模型特征：组成大角的两条线段相等，大角与半角具有公共顶点。方法：旋转某个图形使大角的等线段重合在一起，利用全等三角形求解。1.操作：如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决