初一角的计算

如图,BD平分∠ABC,BE分∠ABC为2∶5两部分,∠DBE=21°,求∠ABC的度数.解：因为BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠CBD,因为BE分∠ABC为2∶5两部分,设∠ABE=2x°,则∠EBC=5x°,∠ABC=7x°,所以∠ABD=3.5x°.因为∠DBE=21°,所以3.5x-2x=21,解得x=14,所以∠ABC=14°×7=98°.(1)如图所示,已知∠AOB是直角,∠BOC=30°.OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,求∠MON的度数.(2)如果(1)中∠AOB=α,其他条件不变,求∠MON的度数.(3)如果(1)中∠BOC=β(β为锐角),其他条件不变,求∠MON的度数.(4)你从(1)(2)(3)的结果中能发现什么规律?解：(1)∵OM平分∠AOC,ON平分∠BOC∴∠COM=∠AOC,∠CON=∠BOC∠MON=∠COM-∠CON=∠AOC-∠BOC=×120°-×30°=45°.(2)∵OM平分∠AOC,ON平分∠BOC∴∠COM=∠AOC,∠CON=∠BOC∠MON=∠COM-∠CON=∠AOC-∠BOC=(α+30°)-×30°=α.(3)∵OM平分∠AOC,ON平分∠BOC∴∠COM=∠AOC,∠CON=∠BOC∠MON=∠COM-∠CON=∠AOC-∠BOC=(90°+β)-β=45°.(4)∠MON的大小等于∠AOB的一半,而与∠BOC的大小无关.已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°,求这个角的度数.解：设这个角是x,则(180°-x)-3(90°-x)=10°,解得x=50°.这个角的度数为50°.按图所示的方法折纸,然后回答问题:(1)∠2是多少度的角?为什么?(2)∠1与∠3有何关系?(3)∠1与∠AEC,∠3和∠BEF分别有何关系?解：(1)∠2=90°.因为折叠,则∠1与∠3的和与∠2相等,而这三个角加起来,正好是平角∠BEC,所以∠2=×180°=90°.(2)因为∠1与∠3组成的大角和∠2相等,且三个角加起来恰好是一个平角,所以∠1+∠3=90°,所以∠1与∠3互余.(3)因为∠1与∠AEC的和为180°,∠3与∠BEF的和为180°,所以∠1与∠AEC互补,∠3与∠BEF互补.如图，O为直线AB上一点，∠AOC=50°，OD平分∠AOC，∠DOE=90°（1）请你数一数，图中有多少个小于平角的角；（2）求出∠BOD的度数；（3）请通过计算说明OE是否平分∠BOC.解：（1）图中有9个小于平角的角；（2）155°（提示：因为OD平分∠AOC，∠AOC=50°，所以∠AOD==25°，所以∠BOD=180°－25°=155°）（3）因为∠BOE=180°－∠DOE－∠AOD=180°－90°－25°=65°，∠COE=90°－25°=65，所以∠BOE=∠COE，即OE平分∠BOE．如图所示，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.若∠BOC=70°，∠AOC=50°.（1）求出∠AOB及其补角的度数；（2）请求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由.解：（1）∠AOB=∠BOC+∠AOC=70°+50°=120°其补角为180°-∠AOB=180°-120°=60°.（2）∠DOC=∠BOC=×70°=35°，∠AOE=∠AOC=×50°=25°.∠DOE与∠AOB互补.理由如下：因为∠DOC=35°，∠AOE=25°，所以∠DOE=∠DOC+∠COE=∠DOC+∠AOE=60°.所以∠DOE+∠AOB=60°+120°=180°，所以∠DOE与∠AOB互补..如图3-12,已知直线AB和CD相交于O点,∠COE是直角,OF平分∠AOE,∠COF=34°,求∠BOD的度数.CBAEODF.解:如答图,∵∠COE=90°,∠COF=34°,∴∠EOF=90°-34°=56°.∵OF平分∠AOE,∴∠AOE=∠EOF=56°.∴∠AOC=∠AOF-∠COF=56°-34°=22°.∵∠AOC=∠BOD(对顶角相等),∴∠BOD=22°.已知:如图,∠AOB=75°,∠AOC=15°,OD是∠BOC的平分线,求∠BOD的度数.解；因为∠AOB=75°,∠AOC=15°,所以∠BOC=∠AOB-∠AOC=75°-15°=60°,因为OD是∠BOC的平分线,所以∠BOD=∠BOC=30°.如图所示，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM、ON分别是∠AOC、∠AOB的平分线，若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数．OMBCD解：因为OM、ON平分∠AOC和∠AOB，所以∠AOM=∠AOC，∠AON=∠AOB因为∠MON=∠AOM－∠AON=∠AOC－∠AOB=（∠AOC－∠AOB）=40°即∠BOC=40°所以∠BOC=80°AN212121212121又因为∠AOC与∠AOB互补，∠AOC与∠COD互补所以∠AOB=∠COD=（∠AOD－∠BOC）=（180°－80°）=50°∠AOC=∠AOD－∠COD=180°－50°=130°.2121如图所示，OE，OD分别平分∠AOC和∠BOC，（1）如果∠AOB＝90°，∠BOC＝40°，求∠DOE的度数；（2）如果∠AOB＝，∠BOC＝（、均为锐角，＞），其他条件不变，求∠DOE；（3）从（1）、（2）的结果中，你发现了什么规律？OAEBDC解（1）∵∠AOB＝90°∠BOC＝40°∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+40°=130°又∵OE，OD分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠COE＝∠AOC＝×130°=65°∠COD＝∠BOC＝×40°=20°∴∠DOE＝∠COE－∠COD=65°－20°=45°12121212∵∠AOB＝，∠BOC＝∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝+又∵OE，OD分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠COE＝∠AOC＝（+）∠COD＝∠BOC＝∴∠DOE＝∠COE－∠COD=（+）－=+－=（3）∠DOE的大小与∠BOC的大小无关12121212121212121212某校七年级数学学习小组在探究学习过程中，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起按如图（1）所示位置放置．图⑴图⑵（1）判断∠ACE与∠BCD的大小关系，并说明理由；（2）现保持直角△BCE不动，将直角△ACD绕C点旋转一个角度，使得AC∥BE，如图（2）．①直线CD与BE的位置关系是：；②求证：CD平分∠BCE．BAEDCDCEAB（1）∠ACE＝∠BCD；理由如下：∵∠ACD＝∠BCE＝90°，∴∠ACD－∠DCE＝∠BCE－∠DCE，即∠ACE＝∠BCD．（2）①CD⊥BE；②证明：∵AC∥BE，∴∠ACB＋∠B＝180°，∵∠B＝45°，∴∠ACB＝180°－45°＝135°，又∵∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠ACB－∠ACD＝135°－90°＝45°，又∵∠BCE＝90°，∴∠BCD＝∠BCE，即CD平分∠BCE．如图，点O是直线AB上一点．∠AOC=30°，∠BOD=60°，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，求∠MON的度数．解：∵∠AOC=30°，∠BOD=60°，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，∴∠AOM=∠AOC=×30°=15°，∠BON=∠BOD=×60°=30°，∴∠MON=180°﹣∠AOM﹣∠BON=180°﹣15°﹣30°=135°．如图，已知于点D，于点G，，请问：AD平分吗？若平分，请说明理由。解：AD平分∠BAC理由：∵，∴∴，又∵∴∴AD平分∠BACBCADBCEG3EBAC321CEDGABBCADBCEGEGAD//321E3E21如图所示，已知∠COB=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD=20°，求∠AOB的度数.解法一：∵∠COB=2∠AOC∴∠AOC=∠AOB∵OD平分∠AOB∴∠AOD=∠AOB∴∠COD=∠AOD-∠AOC=∠AOB-∠AOB=∠AOB∵∠COD=200∴∠AOB=200∴∠AOB=1200第25题图CABDO131212131616解法二：∵∠COB=2∠AOC∴∠AOB=3∠AOC∵OD平分∠AOB∴∠AOD=∠BOD设∠AOC=x,则∠BOC=2x∵∠COD=200∴x+20=2x-20解得x=40∴∠AOC=400∴∠AOB=3∠AOC=1200如图,已知O为直线AB上一点,过点O向直线AB上方引三条射线OC、OD、OE,且OC平分∠AOD，∠2=3∠1，，求∠2的度数．解：设∠1=x，则∠2=3x，∴∠BOD=4x，∠AOD=180°-4x，∵OC平分∠AOD，∴∠3=1/2∠AOD=90°-2x，∵，∴90°-2x+x=70°∴x=20°，∴∠2=3x=60°4321EODCBA70COE70COE已知：如图，AB⊥CD于点O，∠1=∠2，OE平分BOF，EOB=55°，求DOG的度数．解：∵OE平分BOF，∴∵∴∵AB⊥CD，∴∴又∵∴∴21OGFEDCBABOF=2EOB55EOBBOF=11090AODBOC1=20122=20=70DOG)如图，O为直线AB上一点，∠AOC=50°，OD平分∠AOC，∠DOE=90°(1)求出∠BOD的度数；(2)请通过计算说明OE是否平分∠BOC。解：（1）∵∠AOC=50°，OD平分∠AOC，∴∠1=∠2=∠AOC=25°，∴∠BOD=180°-∠1=155°12（2）OE平分∠BOC．理由如下：∵∠DOE=90°，∠2=25°，∴∠3=∠DOE-∠2=90°-25°=65°．∵∠4=∠BOD-∠DOE=155°-90°=65°，∴∠3=∠4，∴OE平分∠BOC．