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课题学习最短路径问题•学习目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．•学习重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．课件说明①垂线段最短。②两点之间，线段最短。LABABLC温故知新问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？探索新知BAl精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？BAl探索新知追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．B··Al探索新知（1）从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和；追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？探索新知追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小（如图）．BAlC探索新知追问1对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？问题2如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·探索新知追问2你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？问题2如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·探索新知探索新知追问2回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？B·lA·B′CC′探索新知小结：只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，与该直线的交点，即为所确定的位置.检测一要在河边修建一个水泵，分别向张村、李庄送水（如图），修在河边什么地方，可使所用水管最短？●●张村李庄一线+两点型运用新知运用新知如图，点P在∠AOB的内部，连接P与射线OA,OB上的两点D,E组成一个三角形，使△PDE的周长最小OBAP检测二两线+一点型运用新知如下图，牧马营地在点p处，每天牧马人要赶着马群先到草地a上吃草，再到河边b饮水，最后回到营地，请你设计一条放牧路线，使其所走的总路程最短.ab草地河●p检测二两线+一点型（平行训练）运用新知OABMN如图，在直线OB,OA上分别找一点E,F使得四边形MEFN的周长最小。检测三两线+两点型运用新知检测三两线+两点型（平行训练）如下图，为了做好国庆期间的交通安全工作，某交警执勤小队从A处出发，先到公路上设卡检查，再到公路上设卡检查，最后再到达B地执行任务，他们如何走才能使其总路程最短.1l2l..AB2l1l（1）本节课研究问题的基本过程是什么？（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？（3）本节课在解决问题过程中运用了哪些数学思想？归纳小结造桥选址问题如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）BA思维分析BA1、如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？ＭＮ2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？点此播放分析视频我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？思维火花各抒己见1、把A平移到岸边.2、把B平移到岸边.3、把桥平移到和A相连.4、把桥平移到和B相连.上述方法都能做到使AM+MN+BN不变吗？请检验.合作与交流1、2两种方法改变了.怎样调整呢？把A或B分别向下或上平移一个桥长那么怎样确定桥的位置呢?问题解决BAA1MN如图，平移A到A1，使ＡA1等于河宽，连接A1Ｂ交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.Ｎ１Ｍ１由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞AM+MN+BN作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，2.连接AE交河对岸与点M,则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。证明：由平移的性质，得BN∥EM且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE,则AB两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE中，∵AC+CE＞AE,∴AC+CE+MN＞AE+MN,即AC+CD+DB＞AM+MN+BN所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。A·BMNECD问题延伸一如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）AB点此播放动画视频思维分析如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+ＱＢ．QNABMP桥MN和PQ在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.平移的方法有三种：两个桥长都平移到A点处、都平移到B点处、MN平移到A点处，PQ平移到B点处思维方法一1、沿垂直于第一条河岸的方向平移A点至AA1使AA1=MN，此时问题转化为问题基本题型两点（A1、B点）和一条河建桥（PQ）A1AB点此播放讲课视频2、利用基本问题的解决方法确定桥PQ：（1）在沿垂直于第二条河岸的方向平移A1至A2，使A1A2=PQ.（2）连接A2B交A2的对岸Q点，在点处建桥PQ.PQA2A1AB3、确定PQ的位置，也确定了BQ和PQ，此时问题可转化为由A点、P点和第一条河确定桥MN的位置.PQA1AMNPQA1A连接A1P交Ａ１的对岸于Ｎ点，在Ｎ点处建桥ＭＮ．MNPQA2A1AB问题解决沿垂直于河岸方向依次把Ａ点Ａ１、Ａ２，使ＡＡ１＝ＭＮ，Ａ１Ａ２＝ＰＱ；连接Ａ２Ｂ交于Ｂ点相邻河岸于Ｑ点，建桥ＰＱ；连接Ａ１Ｐ交Ａ１的对岸于Ｎ点，建桥ＭＮ；从Ａ点到Ｂ点的最短路径为ＡM＋MN＋ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ．NMPQA1AB思维方法二沿垂直于第一条河岸方向平移Ａ点至Ａ１点，沿垂直于第二条河岸方向平移Ｂ点至Ｂ１点，连接A1B1分别交A、B的对岸于N、P两点，建桥MN和PQ.最短路径AM+MN+NP+PQ+QB转化为AA1+A1B1+BB1.思维方法三沿垂直于河岸方向依次把B点平移至B１、B２，使BB１＝PQ，B１B２＝MN；连接B２A交于A点相邻河岸于M点，建桥MN；连接B１N交B１的对岸于P点，建桥PQ；从Ａ点到Ｂ点的最短路径为ＡM＋MN＋NP＋ＭＮ＋ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ转化为AB2+B2B1+B1B．NMB2B1PQAB问题延伸二如图，A和B两地之间有三条河，现要在两条河上各造一座桥MN、PQ和GH.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）BA思维分析如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+ＱG+GH+HB．桥MN、PQ和GH在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.平移的方法有四种：三个桥长都平移到A点处；都平移到B点处；MN、PQ平移到A点处；PQ、GH平移到B点处HQNBAMPGMNPQGHA3A2A1AB问题解决沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A１、A２、A3，使AA１＝MN，A１A２＝PQ，A2A3=GH；连接A3B交于B点相邻河岸于H点，建桥GH；连接A2G交第二河与G对岸的P点，建桥PQ；连接A1P交第一条河与A的对岸于N点，建桥MN.此时从A到B点路径最短.HGQPNMB3B2B1AB沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A１、A２、A3，使AA１＝MN，A１A２＝PQ，A2A3=GH；连接A3B交于B点相邻河岸于H点，建桥GH；连接A2G交第二河与G对岸的P点，建桥PQ；连接A1P交第一条河与A的对岸于N点，建桥MN.此时从A到B点路径最短.问题解决点此播放讲题视频A1HGQPNMB2B1AB沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A１，使AA１＝MN，平移B点至B1、B2,使BB1＝GH，B1B2=PQ；连接A1B2交第一条河与A点相对河岸于N点，交第二条河与N相邻河岸于P点，建桥MN、PQ；连接B1Q交第三条河与Q相邻河岸的G点，建桥GH；此时从A到B点路径最短.问题解决A2A1HGQPNMB1AB沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A１、A2，使AA１＝MN，Ａ１Ａ２＝ＰＱ，平移B点至B1,使BB1＝GH；连接A２B１交第三条河与Ｂ点相对河岸于Ｇ点，交第二条河与Ｇ相邻河岸于Ｑ点，建桥ＧＨ、PQ；连接Ａ1Ｐ交第一条河与Ｐ相邻河岸的Ｎ点，建桥ＭＮ；此时从A到B点路径最短.问题解决点此播放解题视频延伸小结同样，当Ａ、Ｂ两点之间有４、５、６，．．．ｎ条河时，我们仍可以利用平移转化桥长来解决问题．例如：沿垂直于河岸方向平移Ａ点依次至Ａ１、Ａ２、Ａ3，．．．，An,平移距离分别等于各自河宽，AnB交第n条河近B点河岸于Nn,建桥MnNn,连接MnAn-1交第(n-1）条河近B点河岸与Nn-1,建桥Mn-1Nn-1，...，连接M1A交第一条河近B点河岸于N1，建桥M1N1,此时所走路径最短.