通信网理论基础习题答案 完整版

第1页共33页2.2求M/M/m（n）中，等待时间w的概率密度函数。解：M/M/m（n）的概率分布为：11010011!)(!)(mrmnmkmmpkmpnknkmpkmmkpkmpkmkk0!10!)(00假定nm，n≥0，现在来计算概率P{wx}，既等待时间大于x的概率。njjjxwPpxwP0}{}{其中，Pj{wx}的概率为：njmxwPnjmixmexwPmjxwPjmjiixmjj1}{1!)(}{100}{0可得：xmmnnimmniixmmnmjnmjiixmjmnnmjmjiixmjemmPxwP则若nPixmePmmixmePmmPixmePxwP)(010010010!)(1}{1!)(!!)(!!)(}{特别的，新到顾客需等待的概率为：!)(1}0{0mmPWPm第2页共33页])!1()()!1()(!)()([)1(!)(而12010mnmmmnxmixmemPmxfmnnmnimnmimxmmwnmkkxmmmwPwPPwP注：emmPmxf在n}{}0{)()1(!)(10)(02.4求M/D/1排队问题中等待时间W的一、二、三阶矩m1、m2、m3，D表示服务时间为定值b，到达率为。解：)()1()(SBsssG其中sbstedtebtsB0)()(从而sbesssG)1()(又0)(iiisgsG)1(!)(00sjsbssgjjiiibg110221)1(2)1(bbg34232)1(12)2)(1(bbbg34332322211443)1(4)21(6)0()1(6)2(2)0()1(2)0()()1(24)1)(21(bgGmbgGmbgGmbbbbg2.5求M/B/1，B/M/1和B/B/1排队问题的平均等待时间W，其中B是二阶指数分布：100,)1()(212121tteetf第3页共33页解：M/B/12212212221222122112221221122110)1(1)1(1)1(22)0(1)0()1()()(mwwBwBwssdtetfSBstB/M/1)))(21(2)(11())(21(2)(11)1(2))(21(2)(1110)1()(21221212122121212212122112211w的根取令BB/B/1设到达的概率密度函数为tteetf2121)1()(设离去的概率密度函数为tteetf4343)1()(假设423121第4页共33页212222122212221212121'021210212121214222121422212221221122112211)1(2)2()1())1(()()()())(()()()()(lim))(()()())(()()())()()(())()()(()1(1)1()1(1)()()1()()(t其中ttsSwstssksSskswtsskssstssssstss取sssssstsssssssssssBsAsssBsAswws2.6在D/D/1排队问题中，顾客到达的时间间隔为a，服务时间为b，均为恒定值，且ab，求：稳定状态时系统的队列长度为k的概率pk，顾客到达时队列的长度为k的概率vk，顾客离去时队列的长度dk，以及平均等待时间，并用G/G/1上界公式求出此时的平均等待时间，评论计算结果，并讨论a≤b的情况。解：由于是D/D/1问题，故子系统运行情况完全确定，第一个顾客到达后，系统无顾客，经过b后，服务完毕，顾客离去，再经过a-b后，下一个顾客到达。此时有：00010)(1kkdrkabakabpkkk顾客不等待时0wG/G/1上界公式第5页共33页00)1(20)()()()()1(2222222wtwbttpaptwtttr当ab时系统将不稳定,以恒定的速率增加顾客，即每隔baab时间后，系统队列长度增长1。2.7求M/E2/1即时拒绝系统的呼损，其中E2是二阶爱尔兰分布，22)2()(eb解：设相邻呼叫到达间隔为t，如果服务时间t，将造成呼损，t时无呼损。222200)2(4)2()()()()(dtdeedtdbtap则dbtptttctc2.8在优先级别队列中，A队为优先级，不拒绝，B队为非优先级，只准一人排队等待（不计在服务中的），且当A队无人时才能被服务，求各状态概率，A队的平均等待时间和B队的拒绝概率。解：说明：0状态代表系统中无顾客状态；i，j状态代表系统中正在服务且A队中有i个顾客，B队列中有j个顾客排队的状态。状态转移图如右，A队到达率为1，B队到达率为2，服务率，系统稳定时，应有00001111012221111第6页共33页111可得到特征方程如下:543210)(0)()()()()()(0,21,11,111,10,10,110,21110020110211001002100021iPPPPiPPPPPPPPPPPPiiiiiii由于4是差分方程，不妨设其通解为：iixpp000代入有：222211100)1()1(21212221210121210010010021xxxxxpxpxpiii由于5是非齐次差分方程：0)1(0,21,111,11,1iiiippppp其特征根为：1a假设其通解为：iiiBxAp011,代入前式得：0)1(00021010110iiiixpxBxBxB解之，得：iiixpAppB00011,00代入3式得：110020111ppp即：0210000010210010210011ppxppxxppxpAiiiii，，由正则条件：第7页共33页2102100010210001002121110010210210111111111111xpxprpprwxpxpprrrrrAii，，00010210000102100011111xpxpxxppPrrrrrCB，2.9排队系统中有三个队列,其到达率分别为cba,,公用同一出线路，其中a类最优先，即线路有空闲就发送；b类次之，即a无排队时可以发送，c类最低，即a，b类均无排队时可以发送，不计正在传送的业务，各个队列的截至队长为na＝2，nb=1，nc＝0，试列出稳定状态下的状态方程，并计算cba时，各状态的概率和三类呼叫的呼损。解：r，s，k分别表示a，b，c三队中等待的呼叫数，状态以（r，s，k）表示。稳态方程：21001010011020011021011000001010020000020010001000100000000)()()()()()()()(pppppppppppppppppppppabababaababacbabacba0001002000101102100abcaaaabbb第8页共33页归一条件1,,0kjipp若cba令a151427362712122122121561223122121561223312212933234562002654210023200025431100232100024320100000pppppppppppppC类呼损为：01ppcB类呼损为：210110010ppppBA类呼损为：200210pppA2.10有一个三端网络，端点为321,,vvv，边为),(211vve及),(322vve，v1到v3的业务由v2转接，设所有的端之间的业务到达率为，线路的服务率为的M|M|1(1)问题，当采用即时拒绝的方式时，求：1)各个端的业务呼损。2)网络的总通过量。3)线路的利用率。解：令：00表示e1,e2均空闲。10表示e1忙,e2闲（即e1由v1,v2间业务占用）。01表示e1闲,e2忙（即e2由v2,v3间业务占用）。11表示e1,e2均忙，且分别由v1v2,v2v3间业务占用。★表示e1,e2均忙，且由v1，v3间业务占用。第9页共33页状态转移图如右：当231312时有下列关系:100111110001110010*1001000023pppppppppppppppt又1p解之得:20000211001001*311p这里pppppp呼损2200133131pp而22010012233121pppp通过量222313123123)1()1()1(pppT线路利用率22011011*3122/)(pppp2.11上题中的网若用于传送数据包,到达率仍为每秒平均包长为b比特,边的容量为c比特/秒,采用不拒绝的方式,并设各端的存储容量足够大,求:(1)稳定条件。(2)网络的平均时延。(3)总的通过量。(4)线路的平均利用率。解：这是一个无损但有时延的系统。两条线路上到达率为：2，而服务率为：c/b的M/M/1系统。(1)稳定条件为：2b/c1。★00011110132323121223第10页共3