等腰三角形难题

第1页（共18页）等腰三角形补充练习一．选择题（共3小题）1．在△ABC中，∠B=30°，点D在BC边上，点E在AC边上，AD=BD，DE=CE，若△ADE为等腰三角形，则∠C的度数为（）A．20°B．20°或30°C．30°或40°D．20°或40°2．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A、B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（）A．7个B．8个C．9个D．10个3．如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=α，且AE=AD，则∠EDC=（）A．αB．αC．αD．α二．填空题（共14小题）5．在同一平面内，已知点P在等边△ABC外部，且与等边△ABC三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形，则∠APC的度数为．6．等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则这个三角形的底角为．第2页（共18页）7．有两个等腰三角形甲和乙，甲的底角等于乙的顶角，甲的底长等于乙的腰长，甲的腰长等于乙的底长，则甲的底角是度．8．如图，∠BAC=θ（0°＜θ＜90°），现只用4根等长的小棒将∠BAC固定，从点A1开始依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1，则角θ的取值范围是．9．如图，在△ABC中，AC=BC＞AB，点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC的任意两个顶点构成△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为个．10．如图所示，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论正确的是．①P在∠A的平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．第3页（共18页）11．如图，在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，∠An的度数为．12．已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为，底边长为．13．如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则=．14．如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，P在△ABC内，∠PBC=10°，∠PCB=30°，则∠PAB=．15．线段AB和直线l在同一平面上．则下列判断可能成立的有个直线l上恰好只有个1点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个2点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个3点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个4点P，使△ABP为等腰三角形第4页（共18页）直线l上恰好只有个5点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个6点P，使△ABP为等腰三角形．16．如图，△ABC为正三角形，面积为S．D1，E1，F1分别是△ABC三边上的点，且AD1=BE1=CF1=AB，可得△D1E1F1，则△D1E1F1的面积S1=；如，D2，E2，F2分别是△ABC三边上的点，且AD2=BE2=CF2=AB，则△D2E2F2的面积S2=；按照这样的思路探索下去，Dn，En，Fn分别是△ABC三边上的点，且ADn=BEn=CFn=AB，则Sn=．17．已知等腰△ABC的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是．18．如图，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=度．第5页（共18页）2017年08月23日139****2832的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．（2016秋•资中县期末）在△ABC中，∠B=30°，点D在BC边上，点E在AC边上，AD=BD，DE=CE，若△ADE为等腰三角形，则∠C的度数为（）A．20°B．20°或30°C．30°或40°D．20°或40°【解答】解：如图所示，∵AD=BD，∠B=30°，∴∠ADC=60°，∵DE=CE，∴可设∠C=∠EDC=α，则∠ADE=60°﹣α，∠AED=2α，根据三角形内角和定理可得，∠DAE=120°﹣α，分三种情况：①当AE=AD时，有60°﹣α=2α，解得α=20°；②当DA=DE时，有120°﹣α=2α，解得α=40°；③当EA=ED时，有120°﹣α=60°﹣α，方程无解，综上所述，∠C的度数为20°或40°，故选：D．2．（2016春•乳山市期中）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A、B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（）第6页（共18页）A．7个B．8个C．9个D．10个【解答】解：如图所示，以A为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C3、C8、C7即为点C的位置；以B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C1、C2、C6、C4、C5即为点C的位置；作线段AB的垂直平分线，垂直平分线没有经过格点．故以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为8个．故选（B）3．（2015•天心区校级自主招生）如图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠BAC内，设P到BC、CA、AB的距离分别为h1，h2，h3，满足h2+h3﹣h1=6，那么等边△ABC的面积为（）A．4B．8C．9D．12【解答】解：设等边三角形ABC的边长为a，连接PA、PB、PC，则S△PAB+S△PAC﹣S△PCB=S△CAB，即ah1+ah2﹣ah3=，第7页（共18页）∴a（h2+h3﹣h1）=，∵h2+h3﹣h1=6，∴a=4，∴S△CAB==12，故选（D）．4．（1998•杭州）如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=α，且AE=AD，则∠EDC=（）A．αB．αC．αD．α【解答】解：根据题意：在△ABC中，AB=AC∴∠B=∠C∵AE=AD∴∠ADE=∠AED，即∠B+∠α﹣∠EDC=∠C+∠EDC化简可得：∠α=2∠EDC∴∠EDC=α．故选A．二．填空题（共14小题）5．（2016•江西模拟）在同一平面内，已知点P在等边△ABC外部，且与等边△第8页（共18页）ABC三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形，则∠APC的度数为15°或30°或60°或75°或150°．【解答】解：根据点P在等边△ABC外部，且与等边△ABC三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形，作出如下图形：由图可得：∠AP1C=15°，∠AP2C=30°，∠AP3C=60°，∠AP4C=75°，∠AP5C=150°．故答案为：15°或30°或60°或75°或150°6．（2016秋•东阿县期中）等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则这个三角形的底角为67.5°或22.5°．【解答】解：有两种情况；（1）如图，当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，则∠ADB=90°，已知∠ABD=45°，∴∠A=90°﹣45°=45°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=×（180°﹣45°）=67.5°；第9页（共18页）（2）如图，当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，则∠FHE=90°，已知∠HFE=45°，∴∠HEF=90°﹣45°=45°，∴∠FEG=180°﹣45°=135°，∵EF=EG，∴∠EFG=∠G=×（180°﹣135°）=22.5°，故答案为：67.5°或22.5°．7．（2013•香坊区三模）有两个等腰三角形甲和乙，甲的底角等于乙的顶角，甲的底长等于乙的腰长，甲的腰长等于乙的底长，则甲的底角是36°或60°度．【解答】解：假设等腰三角形甲为ABC，等腰三角形乙为DEF（如图所示）．①顶角为D根据题中的条件，甲的底长等于乙的腰长，甲的底角等于乙的顶角，我们可以将D挪到B点，使BC与DE重合，DF与AB重合，如果A为锐角，则F点在AB边上，由于CF=AC，由图知是不可能的．如果A为钝角，则F点在AB延长线上，由于CF=AC，得知乙的底角=2倍的顶角=2倍甲的底角，故可以解得甲的底角是36度；②当等腰三角形甲和乙都是等边三角形时，∠1=∠2=∠3=60°，即甲的底角是60°．故答案是：36°或60°．第10页（共18页）8．（2013•泰州一模）如图，∠BAC=θ（0°＜θ＜90°），现只用4根等长的小棒将∠BAC固定，从点A1开始依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1，则角θ的取值范围是18≤θ＜22.5．【解答】解：∵A1A2=AA1∴θ1=∠A2A1A3=2θ，∴θ2=∠A2A4A3=θ+2θ=3θ，∴θ3=∠A2A4A3+θ=4θ，由题意得：，∴18°≤θ＜22.5°．9．（2013•宜兴市一模）如图，在△ABC中，AC=BC＞AB，点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC的任意两个顶点构成△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为6个．【解答】解：如图所示，作AB的垂直平分线，①△ABC的外心P1为满足条件的一个点，②以点C为圆心，以AC长为半径画圆，P2、P3为满足条件的点，第11页（共18页）③分别以点A、B为圆心，以AC长为半径画圆，P4为满足条件的点，④分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画圆，P5、P6为满足条件的点，综上所述，满足条件的所有点P的个数为6．故答案为：6．10．（2013•安徽模拟）如图所示，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论正确的是①②③④．①P在∠A的平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．【解答】解：∵PR=PS，PR⊥AB，PS⊥AC，∴P在∠A的平分线上，在Rt△ARP和Rt△ASP中，∵，∴Rt△ARP≌Rt△ASP（HL），第12页（共18页）∴AS=AR，∠QAP=∠PAR，∵AQ=PQ，∴∠PAR=∠QPA，∴∠QPA=∠QAR∴QP∥AR，∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=∠BAC=60°，∴∠PAR=∠QPA=30°，∴∠PQS=60°，在△BRP和△QSP中，∵，∴△BRP≌△QSP（AAS），∴①②③④项四个结论都正确，故答案为①②③④．11．（2012•贵阳）如图，在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，∠An的度数为．【解答】解：∵在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，∴∠BA1A===80°，∵A1A2=A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，∴∠CA2A1===40°；同理可得，第13页（共18页）∠DA3A2=20°，∠EA4A3=10°，∴∠An=．故答案为：．12．（2012•枣阳市校级模拟）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为8或6，底边长为5或9．【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，设等腰三角形的腰长AB=AC=2x，BC=y，∵BD是腰上的中线，∴AD=DC=x，①若AB+AD的长为12，则2x+x=12，解得x=4，则x+y=9，即4+y=9，解得y=5；②若AB+AD的长为9，则2x+x=9，解得x=3，则x+y=12，即3+y=12，解得y=9；所以等腰三角形的底边为5时，腰长为8；等腰三角形的底边为9时，腰长为6；故答案为：8或6；5或913．（2011•济宁）如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则=．第14页（共18页）【解答】解：∵AD=BE，∴CE=BD，∵等边三角形ABC，∴△CAE≌△DCB，∴∠DCB=∠CAE，∴∠AFG=∠CAF+∠ACF=∠ACF+∠DCB=60°，∵AG⊥CD，∴∠FAG=30°，∴FG：AF=．故答案为：．14．（2011•鄂州校级模拟）如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，P在△ABC内，∠PBC=10°，∠PCB=30°，则∠PAB=70°．【解答】解：在BC下方取一点D，使