系统识别 第8章

第8章多输入-多输出系统的辨识8.1多输入-多输出系统的最小二乘法一个多输入-多输出系统可用下列的典型差分方程来表示，即101()(1)...()()(1)...()()nnYkaYkaYknBUkBUkBUknk（8.1.1）式中Y(k)为m维输出；U(k)为r维输入，()k为m维噪声；12,,...naaa为待辨识的标量参数；01,,...nBBB为待辨识的mr矩阵。即12()().()..()mykykYkyk，12()().()..()rukukUkuk，12()().()..()mkkkk11,12121,22,2,1,2,,.......,0,1,...,.....iiiriiirimimimirbbbbbbBinbbb式（8.1.1）可以写成11()()()()()azYkBzUkk（8.1.2）式中1111()1...1nniniiazazazaz（8.1.3）11010()...nniniiBzBBzBzBz（8.1.4）需要辨识的参数数目为n+(n+1)mr下面讨论{()k}为零均值、同分布的不相关随即向量序列的最小二乘法估计。下面把1()Bz中的参数一行一行地进行辨识。式中（8.1.2）()iaYki和()iBUki可写成12()()()..().iimykiykiaYkiayki，11,121121,22,2,21,2,,...()...()..()....()...iiiriiirirmimimirbbbukibbbukiBUkiukibbb把式（8.1.2）中的第j行可写成1011022011112211122()(1)...()()()...(1)(1)(1)...(1)...()()...()()jjnjjjjrrjjjrrjnjnjnrrjykaykayknbukbukbukbukbukbukbuknbuknbuknk（8.1.6）把k=n+1~n+N代入式（8.1.6），可得N个方程。令式中jY，()jk，U(k-i),Tj,jH分别用向量形式表示则式（8.1.6）可写成向量-矩阵形式jjjjYH（8.1.7）用最小二乘法可得j的一致性和无偏估计，即1()TTjjjjjHHHY下面给出递推算法。上面根据N次观测得到j，现把j，jY，jH和j改写成jN,jNY,jNH,jN则1()TTjNjNjNjNjNHHHY（8.1.9）如再获得新的观测值(1)jyNn和(1)UNn，则又增加一个方程(1)(1)(1)TjjNjjNyNh（8.1.10）则可得递推公式(1)(1)(1)[(1)]TjNjNjNjjNjNKyNh（8.1.11）1(1)(1)(1)(1)[1]TjNjNjNjNjNjNKPhhPh（8.1.12）1(1)(1)(1)(1)(1)[1]TjNjNjNjNjNjNjNjNjNPPPhhPhhP（8.1.13）1()TjNjNjNPHH（8.1.14）8.2松弛算法设系统的差分方程为11()()()()()azYkBzUkk（8.2.1）假定{()}k是相关随机序列，则可用形成滤波器模型表示为1()()()czkk（8.2.2）式中{()}k是独立的高斯随机序列，具有零均值和形同的协方差矩阵R，并且11()1qiiiczcz（8.2.3）用模型11()()()()()azYkBzUkek（8.2.4）进行参数辨识，其中11()1niiiazaz（8.2.5）101()niiiBzBBz（8.2.6）11()()()()()ekazYkBzUk（8.2.7）设1()()()czekk（8.2.8）式中{()}k仍是独立高斯随机向量序列，具有零均值和相同的协方差矩阵R。由于()Yk为m维向量，则选取似然函数为11211(|,){[(2)det]exp[()]}2nNmTknLYURRk（8.2.9）似然函数L的对数为111lnln(2)ln(det)()()222nNTknmNNJLRkRk（8.2.10）对式（8.2.10）用松弛算法来求估计值。假定1()cz中的参数和R的值是已知的，因而J就是1()az和1()Bz中参数的二次函数。设1()()()czYkYk（8.2.12）111()()()()(1)...()nazczYkYkaYkaYkn（8.2.13）1111101111012020111212111122()()()()()()(1)...()()()[()()...()]()[(1)(1)...(1)]...()[()()nrrrrnnczBzUkczBUkczBUkczBUknczbukbukbukczbukbukbukczbuknbukn...()]rnrbukn（8.2.14）式中jib表示iB的第j列元素，iu表示向量U的第i个分量。()()()kYkk（8.2.15）把式（8.2.15）代入到（8.2.10）得111ln(2)ln(det)[()()][()()]222nNTknmNNJRYkkRYkk（8.2.18）求J关于的偏导数，令偏导数等于0，可解得：1111111111[()()][()()]11[()()][()()]nNnNTTknknnNnNTTknknkRkkRYkkRkkRYkNN（8.2.20）如果1()az和1()Bz中参数已知，可求出e(k)。()k可表示成1()cz的线性函数()()kkekcE（8.2.21）根据11()()[()][()]nNnNTTkkknknJkkekcEekcE（8.2.24）求出11111[()][]nNnNTTkkkknkncEekEENN（8.2.25）同时可得11[()][()]nNTkkknRekcEekcEN（8.2.26）综上可得松弛算法计算步骤如下：（1）选取初值，设RI，1()1cz；（2）用式（8.2.20）计算，可得1()az和1()Bz中的参数；（3）先用式（8.2.7）和式（8.2.23）计算e(k)和构造kE，再用式（8.2.25）计算c（4）用式（8.2.26）计算R。8.3利用方波脉冲函数辨识线性时变系统状态方程8.3.1状态方程的方波脉冲级数展开下面讨论线性时变系统的方波脉冲级数展开问题。待辨识的的线性时变系统由下述状态方程描述：0()()()()(),(0)xtAtxtBtutxx（8.3.5）式中()xt，(0)x和()ut的情况下，确定时变矩阵()At和()Bt。式中()xt，0x，()ut展开成级数为：.11.22..1()()()...()()mmmiiixtxtxtxtxt（8.3.9）00102001()()...()()mmiixxtxtxtxt（8.3.10）.11.22..1()()()...()()mmmiiiututututut（8.3.11）同理可将()At和()Bt分别展开成方波脉冲级数11221()()()...()()mmmiiiAtAtAtAtAt（8.3.13）11221()()()...()()mmmiiiBtBtBtBtBt（8.3.14）8.3.2矩阵()At的辨识首先，令()ut=0，则有式（8.3.5）可得()()()xtAtxt0(0)xx（8.3.16）将上式中的状态方程等号两边进行积分得到0()(0)()()txtxAxd（8.3.17）上式也可变为.0.110()()()tmmiiiiiiixxtAxd（8.3.19）由于120()()1()[0...01...].2.()timttdht（8.3.20）因而有1.0..1111()()()()2mmiiiiijjiiijxxthAxAxt（8.3.21）由于上述方程对于[0.1]t内的任何t值均成立，所以令等号两边对应系数相等，可得.0ixxh1..111()()2miiijjiijAxAxt，i=1,2,…（8.3.22）展开得.01.2iihxxAx.202.21.11()2xxhAxAx.303.32.21.11()2xxhAxAxAx（8.3.23）。。式中.ix和0x是已知的。()At的辨识就通过式（8.3.22）或（8.3.23）解出{,1,2,...}iAi。为对矩阵()At辨识，对式1.1.102hAxxx（8.3.26）选择n个线性独立的初始状态向量，对每个不同的初始状态向量可以求出m个子区间内不同的状态响应，即(1)(1)(1)(1)01.1.10:2hxAxxx(2)(2)(2)(2)01.1.10:2hxAxxx（8.3.27）..()()()()01.1.10:2nnnnhxAxxx故有(1)(2)(3)()(1)(1)(2)(2)()()1.1.1.1.1.10,.1.10[,,...][...]2nnnhAxxxxxxxxxx（8.3.28）可得11.10.12()AXXXh（8.3.32）同理可得一组辨识{,1,2,...}iAi的递推公式11.10.12()AXXXh11.1...(1)2[()]iiiiiiAXXAXXh（8.3.34）可见，确保rank{,1,2,...}iAi=n是()At可辨识的条件。8.3.3矩阵()Bt的辨识根据上述的推导，设u(t)0，可得下列一组方程，即.101.11.1()2hxxAxBu.202.22.21.11.1()()2hxxAxBuhAxBu..（8.3.35）.0....()()2iiiiijjjjhxxAxBuhAxBu式中{,1,2,...}iAi已由（8.3.34）求出，现求解{,1,2,...,}iBim。同理，由式（8.3.35）不能直接解出iB，因而选定一组特定的初始状态010200[,,...]Tnxxxx或直接令00x，选择r个线性独立的输入向量，分别将他们展开为方脉冲级数，可得r组.{,1,2,...,}iuim。现讨论式（8.3.35）中的第一个子式，有(1)(1)(1)(1).101.11.1:()2huxxAxBu(2)(2)(2)(2).101.11.1:()2huxxAxBu..（8.3.36）.()()()().101.11.1:()2rrrrhuxxAxBu由（8.3.36）可以解出11.1.1.(1)...(1)2[()()]iiiiiiiiiiBXXAXAXBUUh，i=1,2,…8.4利用分段多重切比雪夫多项式系进行多输入-多输出线性时变系统辨识。8.4.1多段多重切比