10.图乘法

1.理解图乘公式；2.了解图乘条件；3、会熟练用图乘法计算荷载作用下静定结构的位移；图乘法教学目标：重点1、图乘公式、方法；2、图乘技巧；难点图乘技巧；一、图乘公式及图乘条件（适用于梁和刚架等主内力为弯矩的结构）在计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，一般忽略剪力、轴力的影响，计算位移可用下式当结构杆件的数目较多，荷载较复杂的情况下，求各杆段的弯矩方程并积分非常麻烦。但是只要满足下述三个条件，就可以用图乘法来代替积分运算，使计算较为简单。1)EI=常数(包括杆件分段为常数)；2)杆件轴线为直线；图乘条件3)积分号内两个弯矩图中至少有一个为直线图形对等截面直杆(包括截面分段变化的杆件)所组成的梁和刚架，前两个条件自然满足，至于第三个条件，由于图是由单位力引起，所以对于直杆图总是由直线组成。至于MP图，可能是直线也可能是曲线，视荷载情况而确定。1、图乘条件MMα=xtgαMPdxxycxcωyc=xctgα==DPEIydxEIMMcw=yEIc1w×=xtgEIc1wa=BAPdxxMtgEI1ayxdsEIMMBAP直杆dxEIMMBAPEI=CBAPdxMMEI1BAPdxxtgMEIa1M是直线MM2、图乘公式=BAxdtgEIwa1①∑表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。②竖标yC取在直线图形中，对应另一图形的形心处。③面积ω与竖标yC在杆的同侧，ωyC取正号，否则取负号。④图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图至少有一个是直线。==DPEIydxEIMMcw几种常见图形的面积和形心的位置：ω=hl/2l/2l/2h二次抛物线ω=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次抛物线ω=hl/3二次抛物线ω=2hl/34l/5l/5hh三次抛物线ω=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次抛物线ω=hl/(n+1)顶点顶点顶点顶点顶点2l/3hPl/2l/2EIABm=11/2Pl/4EIPllPlEIB162142112==ql2/2MMPMPP=1lM↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓lqABEIqlllqlEIB843231142==D例：求梁B点转角位移。例：求梁B点竖向线位移。3l/4二、图乘技巧Pl/2l/2EIABPl/4Cl/41l/2l/2EIABCEIPllPllEIc484324221123==D1、当图乘法的适用条件不满足时的处理方法（分段）a）曲杆或EI=EI（x）时，只能用积分法求位移；M、MP均非直线时，或EI分段为常数（阶梯杆）应分段图乘再叠加。b）2、复杂图形与直线图形相乘的处理方法（分块）（a）梯形乘梯形2211yydxMMPww=()bcadbdacl=226abdcl/3l/3l/3ω1ω2y1y2各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，否则取负。括号内的四项可以理解为：两个梯形同端竖标乘积的2倍，再加异端竖标相乘S=9/6×（－2×6×2+2×0×3+6×3－0×2）=－9S=9/6×（2×6×2－2×4×3+6×3－4×2）=15S=9/6×（2×6×2+2×4×3－6×3－4×2）=332364（2）9（1）32649（3）2369＝labdch+bah232dchl()226bcadbdaclS=b)非标准抛物线乘直线形=+判断下列图乘结果正确与否。①S=ωy0（）ωy0②S=ωy0（）ωy0③S=ωy0（）ωy0④S=ω1y1+ω2y2（）ω1y1ω2y2ωy0⑤S=ωy0（）ωy0⑥S=ωy0（）×××××√三、练习图乘法的步骤[1]设虚拟状态；[2]画图；图；[3]图乘求位移。PMM例1例2三、静定结构由于支座位移所引起的位移静定结构由于支座移动并不产生内力也无变形，只发生刚体位移。如图a所示静定结构,其支座发生水平位移C1、竖向位移C2和转角C3，现要求由此引起的任一点沿任一方向的位移，例如求k点竖向位移ΔK这种位移仍用虚功原理来计算。由位移计算的一般公式=DCRkdsVduNdM因为从实际状态中取出的微段ds的变形为dφ=du=γds=0于是上式可简化为=DCRk这就是静定结构在支座位移时的位移计算公式。式中R为虚拟状态图b的支座反力，C为实际状态的支座位移，为反力虚功。当R与实际支座位移C的方向一致时其乘积取正，相反时取负。此外，上式右边前面还有一个负号，不可漏掉。=DCRkCR例