第五章第3节定积分的换元法和分部积分法(2)

1和分部积分法定积分的换元法第三节一、换元公式二、分部积分公式三、小结2定理假设（1）)(xf在],[ba上连续；（2）函数)(tx在],[上是单值的且有连续导数；（3）当t在区间],[上变化时，)(tx的值在],[ba上变化，且a)(、b)(，则有dtttfdxxfba)()]([)(.一、换元公式3证设)(xF是)(xf的一个原函数，),()()(aFbFdxxfba)],([)(tFt令dtdxdxdFt)()()(txf),()]([ttf故)(t是)()]([ttf的一个原函数.),())(()(aFF则)())(()(bFF4)]([)]([FF),()(aFbF)()()(aFbFdxxfba即.)()]([dtttf),()()()]([dtttf从而注意;,换元公式仍成立时、当1.２、换元要换限5例1计算).0(022axdxaa解令,sintax则,costdtaxd且当时，时，0xax.2t故原式=2atdta)2cos1(2202)2sin21(22tta02.42a;0t20tdt2cos6例2计算.12240xdxx解令21,tx则,,212tdtxdtx且当时，时，0x4x.3t原式=tdttt312122tdt)3(21312)331(213tt13.322;1t7例3计算.sincos205xdxx解令,cosxt2x,0t0x,1t205sincosxdxx015dtt1066t.61,sinxdxdt、不换元就不换限3250cossinxxdx如250coscosxdx6201cos6x.618例440221dxx4012)12(xxd411201(21)112x.4)13(2例52221xxdx2222)1(1xxdx222)1(1)1(xxd221arcsinx.12469例6设)(xf在],[aa上连续，试证(1))(xf为偶函数，aaadxxfdxxf0)(2)(；(2))(xf为奇函数，aadxxf0)(.证,)()()(00aaaadxxfdxxfdxxf在0)(adxxf中令tx,0)(adxxf0)(adttf,)(0adttf10(1))(xf为偶函数时，),()(tftfaaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20adttf(2))(xf为奇函数时，),()(tftfaaaadxxfdxxfdxxf00)()()(.011奇函数例7计算解21212cos.11xxxdxx原式1122112dxxx11211cosdxxxx偶函数1022114dxxx10222)1(1)11(4dxxxx102)11(4dxx102144dxx.4利用单位圆的面积12例8若)(xf在]1,0[上连续，证明（1）2200)(cos)(sindxxfdxxf;证设tx2,dtdx0x,2t2x,0t20)(sindxxf022sindttf20)(cosdttf;)(cos20dxxf13设tx,dtdx0x,tx,0t0)(sindxxxf0)][sin()(dttft,)(sin)(0dttft00)(sin2)(sin)2(dxxfdxxxf.cos1sin02dxxxx由此计算证明140)(sindttf0)(sindtttf0)(sindxxf,)(sin0dxxxf.)(sin2)(sin00dxxfdxxxf故02cos1sindxxxx02cos1sin2dxxx02)(coscos112xdx0)arctan(cos2x.42)44(215例9证明为周期的周期函数是以设,)(lxf.)(无关的值与adxxflaa证明llalalaadxxfdxxfdxxfdxxf00)()()()(ltxlaldxxf令而)(dtltfa0)(dttfa0)(dxxfa0)(,)(0dxxfallaadxxfdxxf0)()(所以.无关与a因为16设函数)(xu、)(xv在区间ba,上具有连续导数，则有bababavduuvudv.推导,)(vuvuuv,)(bababadxvudxvudxuv.|bababavduuvudv二、分部积分公式,][bababaudvduvuv即17例1dxxex1010xxdedxeexxx101010xee.1例2210arcsinxdx210arcsinxx21021xxdx621)1(112120221xdx1221021x.1231218例320sin.xxdx解2200sincosxxdxxddx2200coscosxxxdx20cosxdx20sinx1.19例4解.2cos140dxxxdxxx402cos1402cos2dxxxxdxtan24040tan21xxxdxtan214040cosln218x.42ln820例5证明定积分公式2200cossinxdxxdxInnn证,2tx令.dtdx020)2(sinsin2dttxdxnn20costdtn20cosxdxn.13254231,22143231的正奇数为大于，为正偶数，nnnnnnnnnn21201cossinxxnx2sin10dxxndxxnnn22002sin)1(sin)1(nnInIn)1()1(221nnInnI积分关于下标的递推公式nI4223nnInnI,直到下标减到0或1为止.20sinxdxInn201cossinxxdndxxxnn2022cossin)1(22,2200dxI,1sin201xdxI21nnInnI.13254231,22143231的正奇数为大于，为正偶数，nnnnnnnnnn.1!!!)!1(,2!!!)!1(的正奇数为大于，为正偶数，nnnnnn23dxxx010sindtttx22102)2(sin2dtt2210cos2dtt2010cos.221436587109dxx010sin2dxx208sin如221436587dxx205cos132542!!8!!7!!5!!4.25635.15824几个特殊积分、定积分的几个等式定积分的换元法dxxfba)(dtttf)()]([三、小结定积分的分部积分公式.bababavduuvudv（注意与不定积分分部积分法的区别）2524935P习题1(2,5,9,12,15,16),2(3,4),5,6,11(2)(4)(7)(9)(10).26思考题设)(xf在1,0上连续，且1)0(f，3)2(f，5)2(f，求10)2(dxxfx.27思考题解答10)2(dxxfx10)2(21xfxd1010)2(21)2(21dxxfxfx10)2(41)2(21xff)0()2(4125ff.228一、填空题：1、设n为正奇数，则20sinxdxn___________；2、设n为正偶数，则20cosxdxn=___________；3、dxxex10______________；4、exdxx1ln_____________；5、10arctanxdxx____________.二、计算下列定积分：1、edxx1)sin(ln；2、eedxx1ln；练习题293、0sin)(xdxxmJm，（m为自然数）4、01)1cos(sinxdxnxn.三、已知xxf2tan)(,求40)()(dxxfxf.四、若,0)(在xf连续，,1)(,2)0(ff证明：3sin])()([0xdxxfxf.30一、1、!!!)!1(nn；2、2!!!)!1(nn；3、e21；4、)1(412e；5、23ln21)9341(.二、1、211cos1sinee；2、)11(2e；练习题答案3、为奇数为偶数1,531)1(642,2642)1(531)(2mmmmmmmJ；314、为正偶数时当为正奇数时当nnnn,!!!)!1(2,0；5、0.三、8.32思考题指出求2221xxdx的解法中的错误，并写出正确的解法.解令,sectx,4332:t,sectantdttdx2221xxdxtdtttttansectansec14332dt4332.1233思考题解答计算中第二步是错误的.txsec,43,32t,0tant.tantan12ttx正确解法是2221xxdxtxsectdtttttansectansec14332dt4332.1234一、填空题：1、3)3sin(dxx___________________；2、03)sin1(d________________；3、2022dxx_____________；4、2121221)(arcsindxxx___________；5、55242312sindxxxxx________________________..练习题35二、计算下列定积分：1、203cossind；2、31221xxdx；3、14311xdx；4、223coscosdxxx；5、02cos1dxx；6、224cos4dx；7、112322)11(dxxxxx；8、203},max{dxxx；9、20dxxx（为参数）.36三、设时，当时，当0,110,11)(xexxxfx求20)1(dxxf.四、设baxf,)(在上连续，证明babadxxbafdxxf)()(.五、证明：101`0)1()1(dxxxdxxxmnnm.37六、证明：aaadxxfxfdxxf0)]()([)(,并求44sin1xdx.七、设1,0)(在xf上连续，证明2020)cos(41)cos(dxxfdxxf.38练习题答案一、1