4-1109 平面桁架结构的矩阵位移

$4平面桁架结构的矩阵位移法分析•§4.1平面桁架结构的离散化•4.1.1结构的标识：•1、单元编号•平面桁架结构是由等截面直杆铰接而成的，且荷载作用在结点上，因此，各杆（单元）只产生轴力，单元编号比较简单，每个杆件为一个单元。为了便于电算数据的准备和计算结果的分析，应尽可能使单元编号有规律可循。2、结点编号•结点的编码方法十分简单，每个结点只采用一个编号。结点的编码顺序原则上是任意的，但为了使电算时占用的内存和所用的机时达到最小，应使相邻结点编号的差值尽可能小。•3、结点和杆件的位移分量编号•1）结点位移分量在结构中统一进行编号——总码（也称为总体码）。•在矩阵位移法进行结构分析时，既要确定结构中独立的结点位移未知量的数目，还要将结构中所有独立的结点位移按自然数顺序进行统一编号。整体坐标系中独立结点位移分量的统一编号，简称为结点位移编号或结点位移码，即总码或总体码。•（1）位移分量编码按结点的编号顺序进行；•（2）在同一结点处，通常按整体坐标系中的x向线位移、y向线位移和转角位移的顺序进行。•（3）位移分量编码仅对未知的独立位移分量进行编码；•（4）平面桁架结构中每个结点有两个独立的位移分量；平面刚架结构中一般每个结点有两个独立的线位移分量和一个独立的转角位移分量。•（5）若支座约束处的位移分量为零，则位移分量编码取为零。（详见图4-1-1）2）杆端位移分量的编号——局部码单元始末两端的全部位移分量按其顺序编号，此编号称为局部码。编号的顺序是：（1）先始端，后末端；（2）在同一端，则先线位移，后转角位移；（3）在线位移中，先x方向，后y方向。（详见图4-1-1）•4、结点位移向量和结点力向量•将结构的结点位移和结点力的各分量按位移码顺序分别组成列矩阵，通常将这两个列矩阵称为结构的结点位移向量和结点力向量。在先处理法中，结构的结点位移向量是由所有的未知的结点位移分量组成的；而结构的结点力向量是由与这些未知的结点位移分量相对应的结点力（结点荷载）分量组成的。•5、单元定位向量•由单元两端全部位移分量的整体码按单元局部码的顺序组成的向量，称为单元的定位向量，用表示。其结点位移列阵为§4.2轴力单元分析•4.2.1局部坐标系中的轴力单元刚度矩阵1、局部坐标系中杆端力和杆端位移2、局部坐标系中单元刚度矩阵•根据虎克定律（见$2.4拉压虎克定律），杆件的伸长量与杆件所受的轴力之间有如下关系21()NFlluuEA21()NEAFuul112xNEAEAFFuull212xNEAEAFFuull20yF10yF()()()111122221010000010100000eeexyxyFuFvEAlFuFv112xNEAEAFFuull10yF212xNEAEAFFuull20yF写成矩阵的形式为……(4-3)称为单元杆端力列阵单元杆端位移列阵平面桁架单元在局部坐标系中的单元刚度矩阵()()10100000[]10100000eeEAkl……(4-4)()()(){}[]{}eeeFk……(4-5)平面桁架单元在局部坐标系中的单元刚度矩阵平面桁架单元在局部坐标系中的单元刚度方程4.2.2整体坐标系中的单元刚度矩阵1、整体坐标系中杆端力和杆端位移()11()22{}exyexyFFFFF()1()122{}eeuvuv……(4-6)a、b2、整体坐标系中的单元刚度矩阵111111222222cossinsincoscossinsincosxxyyxyxxyyxyFFFFFFFFFFFF……(4-7)a、b、c、d()()11112222cossin00sincos0000cossin00sincoseexxyyxxyyFFFFFFFF单元坐标转换矩阵局部座标系下单元杆端力向量整体座标系下单元杆端力向量()(){}[]{}eeT……(4-11)将式(4-4)和(4-9)代入(4-13)，整理后得到在整体坐标系下轴力单元刚度矩阵的显式2222()2222cossincoscossincossincossinsincossin[]cossincoscossincossincossinsincossineEAkl……(4-14)3、轴力单元刚度矩阵的性质：单元刚度矩阵一定是对称矩阵（根据反力互等定理）。4）单元刚度矩阵只与单元本身性质有关而与外荷载无关。5）单元刚度矩阵是个奇异矩阵。§4.3整体分析