初三 数学 一元二次方程应用 集锦

1LYR(2010-09-30)一元二次方程应用集锦●面积、体积问题01●一元二次方程的应用04●一元二次方程根的判别式的综合应用08●一元二次方程复习指南11●一元二次方程应用题例解13●二次三项式的因式分解16●面积、体积问题教学内容根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题．教学目标掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题．重难点关键1．重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．2．难点与关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．教学过程一、复习引入：先回忆下面的问题：1．直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么呢？2．正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？3．梯形的面积公式是什么？4．菱形的面积公式是什么？5．平行四边形的面积公式是什么？6．圆的面积公式是什么？二探求新知（一）探究要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的27212边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）?分析:这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的矩形两边之比也为9:7解法一:设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm依题意得解得故上下边衬的宽度为:左右边衬的宽度为:分析:这本书的长宽之比是9:7,正中央的矩形两边之比也为9:7,由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为9:7解法二:设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬宽为7xcm依题意得解方程（方程的哪个根合乎实际意义?为什么）（二）某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条宽度相同的道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少?使图(1),(2)的草坪面积均为540平方米。（１题图）（２题图）解:(1)如图，设道路的宽为x米，则化简得解之得其中的x=25超出了原矩形的宽，应舍去.∴图(1)中道路的宽为1米.（2）分析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于540米2。解法一、如图，设道路的宽为x米，2331x),(2332舍去不合题意x232203220540xxx化简得，2521000,xx8.143275422339272927x4.143214222337212721x212743)1421)(1827(xx4336x540)220)(232(xx025262xx1,2521xx3其中的x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去.解法二：我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）相等关系是：草坪长×草坪宽=540平方米（三）(2004年,镇江)学校为了美化校园环境，在一块长40米、宽20米的长方形空地上计划新建一块长9米、宽7米的长方形花圃.（1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案.（2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加2平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由。解：（1）本题方案有无数种（长宽分别是64的约数但注意长宽的数据和40、20的关系）（2）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃面积不能增加2平方米.由题意得长方形长与宽的和为16米.设长方形花圃的长为x米，则宽为（16-x）米.x(16-x)=63+2，x2-16x+65=0∴此方程无解.∴在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能增加2平方米三反馈训练1．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果四周金色纸边的面积是1400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是【】A．x2+130x-1400=0B．x2+65x-350=0C．x2-130x-1400=0D．x2-65x-350=02.用20厘米长的铁丝能否折成面积为30平方厘米的矩形,若能够,求它的长与宽;若不能,请说明理由.3.(2003年,舟山)如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为x米，花圃ABCD的面积为S米2，（1）S与x的函数关系式为—————。（2）如果要围成面积为45米2的花圃，AB的长是——————。122,50xx3220540.xx046514242)16(acb80cmxxxx50cm4（附参考答案：1.B2.解:设这个矩形的长为xcmx2-10x+30=0∴此方程无解∴用20cm长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形.）3.设宽AB为x米，则BC为(24-3x)米，这时面积S=x(24-3x)=-3x2+24x(2)由条件-3x2+24x=45化为：x2-8x+15=0解得x1=5，x2=3∵0＜24-3x≤10得14/3≤x＜8∴x2不合题意，AB=5，即花圃的宽AB为5米四小结列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答．这里要特别注意:在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求．●一元二次方程的应用[知识梳理]一、知识结构二、知识要点归纳1.数学应用题由实际情景加工整理成抽象实际的问题，通过数学化变成数学问题.经过求解、检验、修正改进等进而产生的问题称为数学应用问题，数学应用题是经过加工的数学应用问题，是呈现在我们中学生面前的数学应用问题.从数学应用问题到数学应用题作了以下几个方面的“加工”.加工“背景”：让背景材料为学生所熟悉的材料；让背景材料较为简洁.加工“数学”：让“数学化”的过程较为简单，让各环节中使用的数学思想、方法和知识都是学生所能接受的.加工“检验”：在问题中的检验和讨论“实际化”即检验数学结果是否合乎实际问题，有验证的意识就可以了.解一元二次方程的数学应用题的一般步骤30)220(xx0203014242)10(acb5找——找出题中的等量关系设——设未知数列——列出方程，即根据找出的等量关系列出含有未知数的等式解——解出所列的方程验——将方程的解代入方程中检验，回到实际问题中检验答——作答下结论三、中考改革趋势一元二次方程的应用是中考数学重点考查的内容之一，它的试题背景与二元一次方程组的应用、简单分式方程的应用、一元一次方程的应用一样，随着改革的继续而更富有时代的气息，更宣于生活化，更贴近学生的实际.（一）[解题指导]例1.将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，问为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？分析：如果按单价50元售出，每个利润是10元，卖出500个，只能赚得5000元.为了赚得8000只.只能涨价，但要适度，否则销售量就少得太多.其中的等量关系是：每个商品的利润×销售量=8000（元）.这里的关键是如何表示出每个商品的利润和销售量的问题.解：设商品的单价是)50(x元，则每个商品的利润是40)50(x元，销售量是)10500(x个.由题意列方程为.8000)10500(40)50(xx整理，得0300402xx.解方程，得30,1021xx.故商品的的单价可定为50+10=60元或50+30=80元.当商品每个单价为60元时，其进货量只能是500-10×10=400个，当商品每个单价为80元时，其进货量只能是500-10×30=200个.答：售价定为60元时，进货是400个，售价定为80元时，进货是200个.点评：此题属于能力要求较高的一元二次方程应用题.关键在于表示出两个“动态”的量：每个商品的利润、销售的量.例2.某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元？分析：运用基本关系式：基数（1+平均增长率）n=实际数.当然首先要求（或表示）出基数：=600÷40%.解：设2001年预计经营总收入为x万元，每年经营总收入的年增长率为a.根据题意，得.2160)1(%406002a解方程，得2,11(2.11aa不合题意，舍去），∴.2.11a6.18001.240%600)1%(40600ax答：2001年预计经营总收入为1800万元.点评：本题是有关增长率问题，它的基本关系式是：基数×n）1(平均增长率=实际数.例3.某市供电公司规定，本公司职工，每户一个月用电量若不超过A千瓦·时，则一个月的电费只要交10元，若超过A千瓦·时，则除了交10元外，超过部分每千瓦/时还要交100A元.一户职工三月份用电80千瓦·时，交电费25元；四月份用电5千瓦·时，交电费10元，试求A的值.分析：本题需先判断A的范围，再建立等量关系：超过A千瓦·时所交的钱+10元=25元.以此来作为解决问题的突破口.解：由题意，可知A≥45.且有2510100)80(AA.解得501A（千瓦·时），302A（不合题意，舍去）.答：A的值为50千瓦·时.（二）[解题指导]例1.如图3-9-1所示,某小区规划在一个长为40米,宽为26米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路,使其中两条与AB平行,另一条与AB垂直,其余部分种草,若使每一块草坪的面积都为144米2,求甬路的宽度?分析:为了使问题简化,不妨把种小块矩形草坪平移后拼成一大块矩形草整体思考,问题便显得轻而易举.解:可设甬路宽为x米,依题意,得6144)26)(240(xx,解得44,221xx(不合题意,舍去).答:甬路的宽度为2米.例2.如图3-9-2所示要建一个面积为150m2的长方形养鸡场,为了节约材料,鸡场的一边靠着原有的一条墙,墙长为am,另三边用竹篱笆围成,已知篱笆总长为35m.(1)求鸡场的长与宽各为多少米?(2)题中的墙长度am对题目的解起着怎样的作用?分析:从几何图形建立等量关系式.从所列得的方程的解、分类讨论a的不同取值所产生的影响.解：（1）设鸡场的宽为xm，则长为)235(xm.依题意列方程为150)235(xx.整理，得01503522xx.解方程，得5.7,1021xx.所以当10x时，20235x.答：当鸡场的宽为10m时，长为15m；当鸡场宽为7.5m时，长为20m.（2）由（1）解得结果可知：题中墙长am对题目的解起严格的限制作用.当15a时，7问题无解；当2015a时，问题只有一解，即可建宽为10m，长为15m的一种鸡场；当20a时，问题有两解.点评：应注意讨论a对题目的解起的关键作用.例3.已知：如图3-9-3所示，在△ABC中，cm7cm,5,90BCABB.点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.（1）如果QP,分别从BA,同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果QP,分别从BA,同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2?说明理由.分析：设出未知数后，关键是用含未知数的代数式表示与问题有关的线段、面积等.解（1）设xs