高阶系统的单位阶跃响应

自动控制原理第三章时域分析法时域分析法是根据系统的微分方程，以拉普拉斯变换作为数学工具，直接解出控制系统的时间响应。然后，依据响应的表达式及其描述曲线来分析系统的控制性能，如稳定性、快速性、稳态精度等，并找出系统结构、参数与这些性能之间的关系。第三章时域分析法1()R()()()%ssLsstsCscte表式公式曲表达式曲线自动控制原理第三章时域分析法3.1典型输入信号及性能指标一个系统的时间响应，不仅取决于系统本身的结构与参数，而且还同系统的初始状态以及加在系统上的外作用信号有关。为了分析和比较控制系统的优劣，通常对初始状态和外作用信号做一些典型化处理。初始状态：零状态外作用：应尽可能简单又能反映实际情况。自动控制原理第三章时域分析法一、典型输入信号1．阶跃函数其表达式为0()00atrtt　≥　　　当a=1时，称为单位阶跃函数，记作1(t)，则有101()00ttt　≥　　　单位阶跃函数的拉氏变换为1()[1()]RstsL自动控制原理第三章时域分析法2．速度函数（斜坡函数）其表达式为0()00attartt　≥，为常量　　　当a=1时，r(t)=t，称为单位速度函数，其拉氏变换为21()[1()]RsttsL自动控制原理第三章时域分析法3．加速度函数（抛物线函数）其表达式为20()00attartt　≥，为常量　　　当a=1/2时，称为单位加速度函数，其拉氏变换为2311()[1()]2RsttsL自动控制原理第三章时域分析法4．脉冲函数其表达式为10()00trttt，单位脉冲函数δ(t)，其数学描述为0()()d100ttttt且单位脉冲函数的拉氏变换为()[()]1RstL自动控制原理第三章时域分析法5．正弦函数其表达式为sin0()00attrtt≥其拉氏变换为22()[sin1()]aRsattsLotr(t)自动控制原理第三章时域分析法二、阶跃响应的性能指标分析控制系统时的假定条件有：①单位负反馈②初始状态为零③给定输入为单位阶跃函数（由假设条件知，系统的期望输出为1）对控制系统性能的一般要求：稳、快、准。稳：即稳定性，在响应曲线上的反应是有界输入产生有界输出。它是系统固有性质，由系统的结构和参数决定，与外界因素无关。自动控制原理第三章时域分析法由单位阶跃响应曲线判定系统的稳定性自动控制原理第三章时域分析法0.5td①延迟时间td0.10.9tr②上升时间tr③峰值时间tptp④超调量%%⑤调节时间ts误差带ts⑥振荡次数N⑦稳态误差ess控制系统的典型单位阶跃响应ess=1-h()p()()%100%()hthh过渡过程性能指标：描述快速性和平稳性。稳态性能指标：描述准确性。自动控制原理第三章时域分析法3.2一阶系统分析传递函数分母为一次多项式的系统，称为一阶系统。一、一阶系统的数学模型一阶系统的闭环传递函数为()11()1()111KCsKssKRssKTsssK一阶系统也称为惯性环节自动控制原理第三章时域分析法二、一阶系统的单位阶跃响应单位阶跃输入的拉氏变换为1()Rss11()()()1CssRsTss取C(s)的拉氏变换，可得一阶系统的单位阶跃响应111111()11htTssssTLL自动控制原理第三章时域分析法则()1,(0)tThtet≥或写成sstt()htcc一阶系统的单位阶跃响应曲线是一条由零开始，按指数规律上升并最终趋于1的曲线。响应曲线具有非振荡特征，故又称为非周期响应。css=1代表稳态分量1ttetTc代表动态分量动态分量即在动态过程/过渡过程中出现的分量。lim0tttclim()ssthtc初1()0tThteT自动控制原理第三章时域分析法一阶系统的阶跃响应①没有超调量；②调节时间ts=3T(5%)ts=4T(2%)③没有稳态误差，即ss1()110eh初T越小系统快速性越好自动控制原理第三章时域分析法三、自动控制原理第三章时域分析法111()()()111CssRsTsTsT五．一阶系统的单位脉冲响应11()[()]0tTttctLCsecT)(tgT10TT2T3T4t自动控制原理第三章时域分析法通过对不同输入下的响应进行分析可得：②对于线性定常系统，在零初始条件下，若输入信号间呈微分的关系，则其对应输出之间也呈微分关系。微分①稳态输出取决于输入。微分稳态输出01t自动控制原理第三章时域分析法0.1100sR(s)C(s)-例3.1一阶系统如图所示,试求系统单位阶跃响应的调节时间ts。如果要求ts＝0.1s，试问系统的反馈系数应调整为何值？解：(1)由结构图写出闭环传递函数()100/10()100()0.1110.1CsssRsss自动控制原理第三章时域分析法从(s)的分母多项式看出时间常数T=0.1s，故调节时间s330.1s0.3stT(2)计算ts＝0.1s的反馈系数值设反馈系数为Kh，则系统闭环传递函数hhh1/100/()1000.0111KssKssK故h0.01=TK自动控制原理第三章时域分析法sh0.03=3=tTK要求ts=0.1s，代入上式得h0.030.1=K所以h=0.3K调节时间自动控制原理第三章时域分析法3.3二阶系统分析传递函数分母为二次多项式的系统，称为二阶系统。一、二阶系统的数学模型闭环传递函数一般式2n22nn()()()2CssRsss22nn()ssR(s)C(s)-其中：为阻尼系数n为无阻尼自然频率/固有频率2220nnss为系统特征方程，其解为系统特征根。（P61页3-16式）自动控制原理第三章时域分析法其闭环特征方程为22nn20ss由二次方程求根公式得系统的特征根为21,2nn1s随着取值的不同，特征根(闭环极点)在s平面上的分布有如下特点：自动控制原理第三章时域分析法二、二阶系统的单位阶跃响应1.过阻尼1的情况系统闭环特征方程有两个不相等的负实根,设22nn1220ssssss则212121211()()()nkkCsssssssssss1212()1ststctkeke稳态分量为1，动态分量为两项指数项。21,2nn1s自动控制原理第三章时域分析法过阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线（不同于一阶系统）速度为0性能指标：①无超调②无误差③调节时间？自动控制原理第三章时域分析法经转换后可得12()1()11CsRsTsTs因此，过阻尼二阶系统可以看成两个惯性环节的串联。闭环传递函数2n22nn()()()2CssRsss自动控制原理第三章时域分析法过阻尼二阶系统调节时间特性:当T1=T2(=1的临界阻尼情况):ts=4.75T1；当T1=4T2(=1.25)时:ts≈3.3T1；当T14T2(1.25)时:ts≈3T1。自动控制原理第三章时域分析法2.临界阻尼=1的情况系统具有两个相等的负实根s1,2=-n。所以2n2n1()Csss取C(s)的拉氏反变换，得临界阻尼下二阶系统的单位阶跃响应nn()11etsstthttcc2n22nn()()2CsRsss2()0ntnhtteh(t)曲线单调递增至稳态值，且初始速度为0.自动控制原理第三章时域分析法3.欠阻尼01的情况欠阻尼二阶系统具有一对负实部的共轭复根，时间响应呈衰减振荡特性，故又称为振荡环节。系统闭环传递函数的一般形式为2n22nn()()2CsRsss特征根为一对共轭复根21,2nnj1s自动控制原理第三章时域分析法衰减系数d阻尼振荡角频率特征根为一对共轭复根21,2nndj1js21ndn222dncosn阻尼角nd自动控制原理第三章时域分析法当输入信号为单位阶跃作用时2n22nnnn2222ndnd1()21Cssssssss取C(s)的拉氏变换，得欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应nndd22dd2()1ecossin1e11cossin1tthttttt自动控制原理第三章时域分析法或者写成(0)d2e()1sin()1thttt≥式中arccos稳态分量的值等于1，动态分量是一个随时间t的增长而衰减的振荡过程。σ决定了瞬态分量衰减的快慢，即特征根距虚轴越远衰减越快；ωd决定了瞬态分量震荡的频率，即特征根距实轴越远震荡越剧烈；自动控制原理第三章时域分析法欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线自动控制原理第三章时域分析法当=0时，零阻尼响应为(0)0nn()1sin901coshtttt≥无阻尼二阶系统的单位阶跃响应为具有频率为n的不衰减(等幅)振荡。2e()1sin()1tdhtt自动控制原理第三章时域分析法02468101200.20.40.60.811.21.41.61.82=0=0.1=0.2=0.3=0.4=0.5=0.6=0.7=0.8=0.9=1.0=2.0ht()nt二阶系统单位阶跃响应的通用曲线图3-17和σ%的关系曲线平稳性：越大，σ%小，平稳性越好。自动控制原理第三章时域分析法02468101200.20.40.60.811.21.41.61.82=0=0.1=0.2=0.3=0.4=0.5=0.6=0.7=0.8=0.9=1.0=2.0ht()nt二阶系统单位阶跃响应的通用曲线快速性：：0→0.7，ts↓；0.7→2，ts↑；10.7072ts最短，且σ℅5℅，故工程其称为最佳阻尼比。自动控制原理第三章时域分析法02468101200.20.40.60.811.21.41.61.82=0=0.1=0.2=0.3=0.4=0.5=0.6=0.7=0.8=0.9=1.0=2.0ht()nt二阶系统单位阶跃响应的通用曲线稳态精度：2e()1sin()1tdhttess=0自动控制原理第三章时域分析法三、欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标1.上升时间tr2e()1sin()1e1sin()sintdtdhttt()1ht令()sin()0sinrtdrehtt代入式中，sin()0drtrdt0,,drtL自动控制原理第三章时域分析法2.峰值时间tp：响应曲线达到第一峰值/最大值所需的时间。sin()cos()dpddptt()[1sin()]0sintdehtt令21tan()tanddptdpt应取0,,2,3,dptLpdt自动控制原理第三章时域分析法3.超调量σ%p()()%100%()hthh超调量的定义p()1%100%1ht%100%pte2/1%100%e超调量只是阻尼比的函数。2e()1s