三角形的重心

三角形的重心高中数学毛维ABCDEOF播种行为，收获习惯！主要内容：•一、三角形重心的定义•二、重心的五个重要性质•三、三角形的五“心”简介连接AD,BE,交于点O，O点即为△ABC的重心.如图所示：在△ABC中，点D、E分别是BC、AC的中点.ABCDEO重心的定义三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心．重心分中线之比为2:1.即AO:OD=2:1ABCDEOH取EC中点H，连接DH可证AO：OD=2:1重心性质1重心性质2ABCDEOF连接CO并延长，交AB于F根据性质1，可以证明G过点D作DG//CF，交AB于G三角形的三中线必然交于一点.此点恰是重心.故F为AB中点.AF:FG=2:1FG:GB=1:1AOCBOCAOBSSSBCOADEF分别延长中线，可交对边的中点.易知：S△AOB=2S△BOD=S△BOC重心性质3ODOPOCOB20OCOBOABCOABCODP由中线向量的性质：2OAOD∵∴0OCOBOAD0？如果O为△ABC的重心，那么重心性质4BCOADEF重心向量常见变化形式：（2）ACABAO3131（3）中线AD上的点P满足：ACABAP（1）0COBOAOBCOANM连接AO,因为M、O、N三点共线ACABAO3131可得311yxACyABxANAMAO--11所以重心性质5ABxAMACyAN，则.311yx，0xy，设直线l过重心O，交AB、AC于点M、N，BCANM它的逆命题也成立！则直线l必过△ABC的重心设直线l交AB、AC于点M、N，3ABACAMAN且满足C【友情链接】1.（2010年湖北卷）已知△ABC和点M满足0MCMBMAAMmACABm，若存在实数m使得成立，则（）A．2B．32C．3D．6解析：BCMAACABAM3131【补充内容】三角形“五心”向量形式的充要条件：设O为△ABC所在平面内一点，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,则（1）O为重心（三条中线的交点）BCOA0OCOBOA（2）O为垂心（三条垂线的交点）BCOAOAOCOCOBOBOA（3）O为外心（中垂线交点，外接圆圆心）BCOA222OCOBOA（4）O为内心（角平分线交点，内切圆圆心）0OCcOBbOAa（5）O为∠A旁心（旁切圆圆心，∠A平分线与两外角平分线交点）OCcOBbOAa☺(1)(2)(3)常考；☺(4)(5)只作了解.ABCDEFIaIKHEFDABCM【友情链接】2.（2009•宁夏海南卷）已知O,N,P在△ABC所在平面内，且，，OAOBOCNANBNC0PAPBPBPCPCPA，则O,N,P依次是△ABC的A.重心外心垂心C.外心重心垂心D.外心重心内心B.重心外心内心答案：(C)BCNABCPABCOA解析：提示：连GA【课后思考】：1．设G为△ABC的重心，M、N分别为AB、CA的中点，求证：四边形GMAN和△GBC的面积相等．GBCAMN△AMG的面积=△GBM的面积，△GAN的面积=△GNC的面积,0OCOBOA【课后思考】2.已知A,B,C三点不共线，且点O满足，下列结论正确的是（）A.C.D.B.BCABOA3231BCABOA313212--33OAABBCBCABOA3132--ACABAO3131ACABBC提示：小结1.重心的定义2.重心五个性质及其变化形式3.“五心”的认识及其向量的基本形式4.友情链接高考试题聪明由于积累，天才出于勤奋。