北京市西城区2017届高三数学二模试题文

1/17北京市西城区2017届高三数学二模试题文北京市西城区2017届高三数学二模试题文第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合{|11}Axx=∈-”是“11ab”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件6.在平面直角坐标系中,不等式组,020,0yxy-+⎨⎪⎪⎩≤≥≥表示的平面区域的面积是(A(B(C)2(D)7.某四面体的三视图如图所示,该四面体的体积为(A)43(B)2(C)2/1783(D)48.函数()||fxxx=.若存在[1,)x∈+∞,使得(2)0fxkk--,则k的取值范围是(A)(2,)+∞(B)(1,)+∞b5E2RGbCAP(C)1(,)2+∞(D)1(,)4+∞第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.在复平面内,复数z对应的点是(1,2)Z-,则复数z的共轭复数z=____.10.执行如图所示的程序框图,输出的S值为____.11.在ABC△中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.若π3A=,a=1b=,则c=____.12.已知圆22:1Oxy+=.圆O'与圆O关于直线20xy+-=对称,则圆O'的方程是____.p1EanqFDPw13.函数22,0,()log,0.xxfxxx⎧=⎨⎩≤则1()4f=____;方程1()2fx-=的解是____.DXDiTa9E3d3/1714.某班开展一次智力竞赛活动,共a,b,c三个问题,其中题a满分是20分,题b,c满RTCrpUDGiT分都是25分.每道题或者得满分,或者得0分.活动结果显示,全班同学每人至少答对一道题,有1名同学答对全部三道题,有15名同学答对其中两道题.答对题a与题b的人数之和为29,答对题a与题c的人数之和为25,答对题b与题c的人数之和为20.则该班同学中只答对一道题的人数是____;该班的平均成绩是____.5PCzVD7HxA三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)jLBHrnAILg已知函数π()tan()4fxx=+.(Ⅰ)求()fx的定义域;(Ⅱ)设β是锐角,且π()2sin()4fββ=+,求β的值.16.(本小题满分13分)某大学为调研学生在A,B两家餐厅用餐的满意度,从在A,B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人,每人分别对这两家餐厅进行评分,满分均为60分.xHAQX74J0X整理评分数据,将分数以10为组距分成6组:[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),LDAYtRyKfE4/17[40,50),[50,60],得到A餐厅分数的频率分布直方图,和B餐厅分数的频数分布表:(Ⅰ)在抽样的100人中,求对A餐厅评分低于30的人数;(Ⅱ)从对B餐厅评分在[0,20)范围内的人中随机选出2人,求2人中恰有1人评分在[0,10)范围内的概率;(Ⅲ)如果从A,B两家餐厅中选择一家用餐,你会选择哪一家?说明理由.17.(本小题满分13分)设{}na是首项为1,公差为2的等差数列,{}nb是首项为1,公比为q的等比数列.记Zzz6ZB2Ltknnncab=+,1,2,3,n=.(Ⅰ)若{}nc是等差数列,求q的值;(Ⅱ)求数列{}nc的前n项和nS.dvzfvkwMI118.(本小题满分14分)如图,在几何体ABCDEF中,底面ABCD为矩形,//EFCD,CDEA⊥,22CDEF==rqyn14ZNXI,ED=M为棱FC上一点,平面ADM与棱FB交于点N.(Ⅰ)求证:EDCD⊥;(Ⅱ)求证://ADMN;(Ⅲ)若ADED⊥,试问平面BCF是否可能与平面ADMN垂直?若能,求出FMFC的值;若不能,说明理由.19.(本小题满分13分)5/17已知函数()ln2afxxx=+-,其中a∈R.(Ⅰ)给出a的一个取值,使得曲线()yfx=存在斜率为0的切线,并说明理由;(Ⅱ)若()fx存在极小值和极大值,证明:()fx的极小值大于极大值.EmxvxOtOco20.(本小题满分14分)已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=,且过点P.直线yxm=+与椭圆C相交于,AB两点.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)求PAB△的面积的最大值;(Ⅲ)设直线,PAPB分别与y轴交于点,MN.判断||PM,||PN的大小关系,并加以证明.SixE2yXPq5西城区高三模拟测试高三数学(文科)参考答案及评分标准2017.5一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.A2.A3.D4.C5.D6.B7.A8.D6ewMyirQFL6/17二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.12i+10.711.212.22(2)(2)1xy-+-=13.2-;114.4;42注:第13、14题第一空2分,第二空3分.三、解答题:本大题共6小题,共80分.其他正确解答过程,请参照评分标准给分.15.(本小题满分13分)解:(Ⅰ)由πππ42xk+kavU42VRUs≠+,得ππ4xk≠+,k∈Z.[3分]所以函数()fx的定义域是πy6v3ALoS89{|π,}4xxkk≠+∈Z.[4分](Ⅱ)依题意,得ππtan()2sin()44ββ+=+.[5分]所以πsin()π2sin()4cos()47/17βββ+=++.①[7分]因为β是锐角,所以ππ3πM2ub6vSTnP444β+,[8分]所以πsin()04β+,[9分]①式化简为π1cos()42β+=.[10分]所以ππ0YujCfmUCw43β+=,[12分]所以π12β=.[13分]eUts8ZQVRd16.(本小题满分13分)解:(Ⅰ)由A餐厅分数的频率分布直方图,得对A餐厅评分低于30的频率为(0.0030.0050.012)100.2++⨯=,[2分]sQsAEJkW5T所以,对A餐厅评分低于30的人数为1000.220⨯=.[3分](Ⅱ)对B餐厅评分在[0,10)范围内的有2人,设为12M,M;GMsIasNXkA8/17对B餐厅评分在[10,20)范围内的有3人,设为123N,N,N.从这5人中随机选出2人的选法为:TIrRGchYzg12(M,M),11(M,N),12(M,N),13(M,N),21(M,N),22(M,N),23(M,N),12(N,N),13(N,N),23(N,N),共10种.[7分]7EqZcWLZNX其中,恰有1人评分在[0,10)范围内的选法为:11(M,N),12(M,N),13(M,N),lzq7IGf02E21(M,N),22(M,N),23(M,N),共6种.[9分]故2人中恰有1人评分在[0,10)范围内的概率为63105P==.[10分](Ⅲ)从两个餐厅得分低于30分的人数所占的比例来看:由(Ⅰ)得,抽样的100人中,A餐厅评分低于30的人数为20,所以,A餐厅得分低于30分的人数所占的比例为20%.B餐厅评分低于30的人数为23510++=,zvpgeqJ1hk所以,B餐厅得分低于30分的人数所占的比例为10%.所以会选择B餐厅用餐.[13分]注:本题答案不唯一.只要考生言之合理即可.NrpoJac3v117.(本小题满分13分)解:(Ⅰ)因为{}na是首项为1,公差为2的等差数列,所以21nan=-.[2分]因为{}nb是首项为1,公比为q的等比数列,所以1nnbq9/17-=.[4分]所以121nnnncabnq-=+=-+.[5分]因为{}nc是等差数列,所以2132ccc=+,[6分]即22(3)25qq+=++,解得1q=.[7分]经检验,1q=时,2ncn=,所以{}nc是等差数列.[8分](Ⅱ)由(Ⅰ)知11nowfTG4KI21(1,2,)nncnqn-=-+=.所以121111111(21)nnn10/17nnnkknkkkkkkkkkScabkqnq--========+=-+=+∑∑∑∑∑∑.[10分]当1q=时,2nSnn=+.[11分]当1q≠时,211nnqSnq-=+-.[13分]18.(本小题满分14分)解:(Ⅰ)因为ABCD为矩形,所以CDAD⊥.[1分]又因为CDEA⊥,[2分]所以CD⊥平面EAD.[3分]所以EDCD⊥.[4分]fjnFLDa5Zo(Ⅱ)因为ABCD为矩形,所以//ADBC,[5分]所以//AD平面FBC.[7分]又因为平面ADMN平面FBCMN=,所以//ADMN.[8分]tfnNhnE6e5(Ⅲ)平面ADMN与平面BCF可以垂直.证明如下:[9分]连接DF.因为ADED⊥,ADCD⊥,所以AD⊥平面CDEF.[10分]所以ADDM⊥.HbmVN777sL11/17因为//ADMN,所以DMMN⊥.[11分]因为平面ADMN平面BCFMN=,若使平面ADMN⊥平面BCF,V7l4jRB8Hs则DM⊥平面BCF,所以DMFC⊥.[12分]在梯形CDEF中,因为//EFCD,EDCD⊥,22CDEF==,ED=所以2DFDC==.所以若使DMFC⊥能成立,则M为FC的中点.所以12FMFC=.[14分]19.(本小题满分13分)解:(Ⅰ)函数()fx的定义域是{|0Dxx=,且2}x≠,且21()(2)afxxx'=-+-.[2分]当1a=时,曲线()yfx=存在斜率为0的切线.证明如下:[3分]曲线()yfx=存在斜率为0的切线⇔方程()0fx'=存在D上的解.令283lcPA59W9110(2)xx-+=-,整理得2540xx-+=,解得1x=,或4x=.所以当1a=时,曲线()yfx=存在斜率为0的切线.[5分]注:本题答案不唯一,只要0a均符合要求.(Ⅱ)由(Ⅰ)得21mZkklkzaaP12/17()(2)afxxx'=-+-.①当0a≤时,()0fx'恒成立,函数()fx在区间(0,2)和(2,)+∞上单调递增,无极值,不合题意.[6分]②当0a时,令()0fx'=,整理得2(4)40xax-++=.由2[(4)]160a∆=-+-,AVktR43bpw所以,上述方程必有两个不相等的实数解1x,2x,不妨设12xx.由121244,4,xxaxx+=+⎧⎨=⎩得1202xx.[8分]()fx',()fx的变化情况如下表:所以,()fx存在极大值1()fx,极小值2()fx.[10分]2121212121()()(ORjBnOwcEdln)(ln)()(lnln)2222aaaafxfxxxxxxxxx-=+-+=-+-----.[11分]因为1202xx,且0a,所以21022aaxx---,21lnln0xx-,所以21()()fxfx.所以()fx的极小值大于极大值.[13分]13/1720.(本小题满分14分)解:(Ⅰ)设椭圆2222:1(0)xyCabab+=的半焦距为c.因为椭圆C,所以2222222112cabbaaa-==-=,即222ab=.[1分]由22222,211,abab⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得224,2.ab⎧=⎪⎨=⎪⎩[3分]所以椭圆C的方程为22142xy+=.[4分](Ⅱ)将ym=+代入22142xy+=,消去y整理得2220xm+-=.[5分]令2224(2)0mm∆=--,解得22m-.设1122(,),(,)AxyBxy.2MiJTy0dTT则12xx+=,2122xxm=-.所以AB==14/17=[6分]点P到直线0x=的距离为d==.[7分]所以PAB△的面积12SABd=⋅|m==[8分]当且仅当m=S=所以PAB△[9分](Ⅲ)||||PMPN=.证明如下:[10分]设直线PA,PB的斜率分别是1k,2k,则12kk+=.[11分]由(Ⅱ)得1221(1)((1)(yxyx-+-15/1712211)(1)(mxxmx=+-++--1212(2)()1)x