北京市西城区2017届高三数学二模试题理

1/16北京市西城区2017届高三数学二模试题理北京市西城区2017届高三数学二模试题理第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.在复平面内,复数z对应的点是(1,2)Z-,则复数z的共轭复数z=(A)12i+(B)12i-(C)2i+b5E2RGbCAP(D)2i-2.下列函数中,值域为[0,1]的是(A)2yx=(B)sinyx=(C)211yx=+(D)y=3.在极坐标系中,圆sinρθ=的圆心的极.坐标..是(A)(1,)2π(B)(1,0)(C)1(,)22π(D)12/16(,0)24.在平面直角坐标系中,不等式组320,330,0xyxyy-⎧⎪--⎨⎪⎩≤≥≥表示的平面区域的面积是(A)1(B)32(C)2(D)525.设双曲线22221(0,0)yxabab-=的离心率是3,则其渐近线的方程为(A)0x±=(B)0y±=(C)80xy±=(D)80xy±=6.设a,b是平面上的两个单位向量,35⋅=ab.若m∈R,则||m+ab的最小值是(A)34(B)3/1643(C)45(D)547.函数()||fxxx=.若存在[1,)x∈+∞,使得(2)0fxkk--,则k的取值范围是(A)(2,)+∞(B)(1,)+∞p1EanqFDPw(C)1(,)2+∞(D)1(,)4+∞8.有三支股票A,B,C,28位股民的持有情况如下:每位股民至少持有其中一支股票.在不持有A股票的人中,持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍.在持有A股票DXDiTa9E3d的人中,只持有A股票的人数比除了持有A股票外,同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中,有一半持有A股票.则只持有B股票的股民人数是(A)7(B)6(C)5(D)4RTCrpUDGiT第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.执行如图所示的程序框图,输出的S值为____.5PCzVD7HxA10.已知等差数列{}na的公差为2,且124,,aaa成等比数列,4/16则1a=____;数列{}na的前n项和nS=____.11.在ABC△中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.若π3A=,a,1b=,则c=____.12.函数22,0,()log,0.xxfxxx⎧=⎨⎩≤则1()4f=____;方程1()2fx-=的解是____.13.大厦一层有A,B,C,D四部电梯,3人在一层乘坐电梯上楼,其中2人恰好乘坐同一部电梯,则不同的乘坐方式有____种.(用数字作答)14.在空间直角坐标系Oxyz-中,四面体ABCD-在,,xOyyOzzOx坐标平面上的一组正jLBHrnAILg投影图形如图所示(坐标轴用细虚线表示).该四面体的体积是____.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)xHAQX74J0X已知函数π()tan()4fxx=+.(Ⅰ)求()fx的定义域;(Ⅱ)设(0,π)β∈,且π()2cos()45/16fββ=-,求β的值.16.(本小题满分14分)如图,在几何体ABCDEF中,底面ABCD为矩形,//EFCD,ADFC⊥.点M在棱FC上,平面ADM与棱FB交于点N.LDAYtRyKfE(Ⅰ)求证://ADMN;(Ⅱ)求证:平面ADMN⊥平面CDEF;(Ⅲ)若CDEA⊥,EFED=,2CDEF=,平面ADE平面BCFl=,求二面角AlB--的大小.17.(本小题满分13分)某大学为调研学生在A,B两家餐厅用餐的满意度,从在A,B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人,每人分别对这两家餐厅进行评分,满分均为60分.Zzz6ZB2Ltk整理评分数据,将分数以10为组距分成6组:[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),dvzfvkwMI1[40,50),[50,60],得到A餐厅分数的频率分布直方图,和B餐厅分数的频数分布表:(Ⅰ)在抽样的100人中,求对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数;(Ⅱ)从该校在A,B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查,试估计其对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高的概率;rqyn14ZNXI(Ⅲ)如果从A,B两家餐厅中选择一家用餐,你会选择哪一家?说明理由.18.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C的顶点是原点,以x轴为对称轴,且经过点(1,2)P.(Ⅰ)求抛物线C的方程;EmxvxOtOco6/16(Ⅱ)设点,AB在抛物线C上,直线,PAPB分别与y轴交于点,MN,||||PMPN=.求直线AB的斜率.SixE2yXPq519.(本小题满分13分)已知函数21()()exfxxaxa-=+-⋅,其中a∈R.(Ⅰ)求函数()fx'的零点个数;6ewMyirQFL(Ⅱ)证明:0a≥是函数()fx存在最小值的充分而不必要条件.20.(本小题满分13分)设集合*2{1,2,3,,2}(,2)nAnnn=∈N≥.如果对于2nA的每一个含有(4)mm≥个元素的子集P,P中必有4个元素的和等于41n+,称正整数m为集合2nA的一个“相关数”.kavU42VRUs(Ⅰ)当3n=时,判断5和6是否为集合6A的“相关数”,说明理由;(Ⅱ)若m为集合2nA的“相关数”,证明:30mn--≥;(Ⅲ)给定正整数n.求集合2nA的“相关数”m的最小值.y6v3ALoS89西城区高三模拟测试高三数学(理科)参考答案及评分标准2017.5一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.A2.D3.C4.B7/165.A6.C7.D8.A二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.710.2,2nn+11.212.2-M2ub6vSTnP;113.3614.43注:第10,12题第一空2分,第二空3分.三、解答题:本大题共6小题,共80分.其他正确解答过程,请参照评分标准给分.15.(本小题满分13分)解:(Ⅰ)由πππ42xk+0YujCfmUCw≠+,得ππ4xk≠+,k∈Z.[3分]所以函数()fx的定义域是π{|π,}4xxkk≠+∈Z.[4分](Ⅱ)依题意,得ππtan()2cos()44ββ+=-.[5分]所以πsin()8/16π42sin()π4cos()4βββ+=++,[7分]整理得ππsin()[2cos()1]044ββ+⋅+-=,[8分]所以πsin()04β+=,或π1cos()42β+=.[10分]因为(0,π)β∈,所以ππ5π(,)444β+∈,[11分]由πsin()04β+=,得ππ4β+=,3π4β=;[12分]由π1cos()42β+=,得ππ43β+=,π12β=.所以π12β=,或3π4β=.[13分]16.(本小题满分14分)解:(Ⅰ)因为ABCD为矩形,所以//ADBC,[1分]所以//AD平面FBC.[3分]又因为平面ADMN平面FBCMN=,9/16所以//ADMN.[4分](Ⅱ)因为ABCD为矩形,所以ADCD⊥.[5分]因为ADFC⊥,[6分]所以AD⊥平面CDEF.[7分]所以平面ADMN⊥平面CDEF.[8分](Ⅲ)因为EACD⊥,ADCD⊥,eUts8ZQVRd所以CD⊥平面ADE,所以CDDE⊥.由(Ⅱ)得AD⊥平面CDEF,所以ADDE⊥.所以DA,DC,DE两两互相垂直.[9分]建立空间直角坐标系Dxyz-.[10分]不妨设1EFED==,则2CD=,设(0)ADaa=.由题意得,(,0,0)Aa,(,2,0)Ba,(0,2,0)C,(0,0,0)D,(0,0,1)E,(0,1,1)F.所以(,0,0)CBa−−→=,(0,1,1)CF−−→sQsAEJkW5T=-.设平面FBC的法向量为(,,)xyz=n,则0,0,CBCF−−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩nn即0,0.axyz=⎧⎨-+=⎩令1z=,则1y=.所以(0,1,1)=n.[12分]GMsIasNXkA又平面ADE的法向量为(0,2,0)DC−−→=,所以||cos,|||||DCDCDC−−→−−→−−→⋅〈〉=10/16=|nnn因为二面角AlB--的平面角是锐角,所以二面角AlB--的大小45.[14分]TIrRGchYzg17.(本小题满分13分)解:(Ⅰ)由对A餐厅评分的频率分布直方图,得对A餐厅“满意度指数”为0的频率为(0.0030.0050.012)100.2++⨯=,[2分]所以,对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数为1000.220⨯=.[3分](Ⅱ)设“对A餐厅评价‘满意度指数’比对B餐厅评价‘满意度指数’高”为事件C.7EqZcWLZNX记“对A餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件1A;“对A餐厅评价‘满意度指数’为2”为事件2A;“对B餐厅评价‘满意度指数’为0”为事件0B;“对B餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件1B.lzq7IGf02E所以1(A)(0.020.02)100.4P=+⨯=,2(A)0.4P=,[5分]由用频率估计概率得:0235(B)0.1100P++==,11540(B)0.55100P+==.[7分]因为事件Ai与Bj相互独立,其中1,2i=,0,1j=.所以102021(C)(ABABAB)PP=++zvpgeqJ1hk102021(A)(B)(A)(B)(A)(B)PPPPPP=++0.40.10.40.10.40.550.3=⨯+⨯+⨯=.[10分]NrpoJac3v111/16所以该学生对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高的概率为0.3.(Ⅲ)如果从学生对A,B两家餐厅评价的“满意度指数”的期望角度看:A餐厅“满意度指数”X的分布列为:B餐厅“满意度指数”Y的分布列为:因为()00.210.420.41.2EX=⨯+⨯+⨯=;()00.110.5520.351.25EY=⨯+⨯+⨯=,所以()()EXEY,会选择B餐厅用餐.[13分]1nowfTG4KI注:本题答案不唯一.只要考生言之合理即可.18.(本小题满分14分)解:(Ⅰ)依题意,设抛物线C的方程为2(0)yaxa=≠.[1分]由抛物线C且经过点(1,2)P,得4a=,[3分]所以抛物线C的方程为24yx=.[4分](Ⅱ)因为||||PMPN=,所以PMNPNM∠=∠,fjnFLDa5Zo所以12∠=∠,所以直线PA与PB的倾斜角互补,所以0PAPBkk+=.[6分]依题意,直线AP的斜率存在,设直线AP的方程为:2(1)(0)ykxk-=-≠,将其代入抛物线C的方程,整理得tfnNhnE6e522222(22)440kxkkxkk--++-+=.[8分]设11(,)Axy,则212441kkxk-+⨯=,114(1)22ykxk12/16=-+=-,[10分]所以22(2)4(,2)kAkk--.[11分]以k-替换点A坐标中的k,得22(2)4(,2)kBkk+--.[12分]所以222244()1(2)(2)ABkkkkkkk--==--+-.所以直线AB的斜率为1-.[14分]19.(本小题满分13分)解:(Ⅰ)由21()()exfxxaxa-=+-⋅,得121()(2)e()exxfxxaxaxa--'=+⋅-+-⋅21[(2)2]exxaxa-=-+--⋅1()(2)exxax-=-+-⋅.[2分]HbmVN777sL令()0fx'=,得2x=,或xa=-.所以当2a=-时,函数()fx'有且只有一个零点:2x=;当2a≠-时,函数()fx'有两个相异的零点:2x=,xa=-.[4分]V7l4jRB8Hs(Ⅱ)①当2a=-时,()0fx'≤恒成立,此时函数()fx在(,)-∞+∞上单调递减,所以,函数()fx无极值.[5分]②当2a-时,()fx',()fx的变化情况如下表:13/16所以,0a≥时,()fx的极小值为1()eafaa+-=-⋅≤0.[7分]又2x