2015年江苏高考数学试卷带详解

2015江苏高考理科数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题．．卡相应．．．位置．．上．.1.(15江苏高考)已知集合1,2,3A，2,4,5B，则集合AB中元素的个数为_____.【参考答案】5【测量目标】集合并集及其运算.【试题分析】{1,2,3,4,5}AB，AB中的元素个数为5.2.(15江苏高考)已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为_____.【参考答案】6【测量目标】平均数的计算.【试题分析】1(465876)66x，这组数的平均数为6.3.(15江苏高考)设复数z满足234iz（i是虚数单位），则z的模为_____.【参考答案】5【测量目标】复数的基本运算.【试题分析】2z=222345z,5z.4.(15江苏高考)根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为_____.第4题图【参考答案】7【测量目标】流程图.【试题分析】(1)1S，18I，23SS，34II；(2)48I，25SS，37II；（3）78I，27SS，310II；(4)8I，printS，S=7；输出的结果S为7.5.(15江苏高考)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球.从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为_____.【参考答案】56【测量目标】随机事件与概率.【试题分析】从中随机一次摸出2只球的所有可能出现的结果为：（白，红），（白，黄1），（白，黄2），（红，黄1），（红，黄2），（黄1，黄2）总共有6种可能，显然2只球颜色不同有5种可能.56P.6.(15江苏高考)已知向量2,1a，1,2b，若(9,8)(,)mnmnRab，则mn的值为_____.【参考答案】-3【测量目标】平面向量的坐标运算.【试题分析】mnab(2,2)mnmn(9,8)，29,28.mnmn，得25mn，3mn.7.(15江苏高考)不等式224xx的解集为_____.【参考答案】(1,2)【测量目标】解不等式.【试题分析】224xx，即2222xx22xx，得12x，解集为(1,2).8.(15江苏高考)已知tan2，1tan()7，则tan的值为_____.【参考答案】3【测量目标】两角和与差的正切公式.【试题分析】tantan()tan()tan1tan()tan127311(2)7.tan3.9.(15江苏高考)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_____.【参考答案】7【测量目标】圆柱、圆锥的体积计算.【试题分析】221196=54+28=33V总πππ，设新的底面半径为r，则有：+=VVV锥柱总，2211968433rrπππ，解得7r.10.(15江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，以点1,0为圆心且与直线210()mxymmR相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_____.【参考答案】2212xy【测量目标】直线与圆的位置关系，圆的标准方程.【试题分析】圆心到切线210mxym的距离为r，211mrm2211mm22121mmm2211mm2„，最大的半径为2，半径最大圆的标准方程为2212xy.11.(15江苏高考)设数列na满足11a，且11nnaan*()nN，则数列1na前10项的和为_____.【参考答案】2011【测量目标】数列的通项和性质.【试题分析】11nnaan，即1nnaan，又11a，1(1)1232nnnnaann，1112()1nann前10项的和为101iia1111112(1)2233101112(1)112011.12.(15江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线221xy右支上的一个动点.若点P到直线10xy的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为______.【参考答案】22【测量目标】双曲线的几何性质.【试题分析】设p点坐标为00,xy，则点P到直线10xy的距离d=002211+xy（-1）00212xy，又p在双曲线上，即220000001.xyxyxy从而00001xyxy.d=002112xy22…，d的最小值为22c的最大值为22.13.(15江苏高考)已知函数lnfxx，20,01,()42,1.xgxxx„则方程()()1fxgx实根的个数为_____.【参考答案】4【测量目标】方程的根.【试题分析】根据题意ln,01,()ln,1.xxfxxx„，220,01,()2,12,6,2.xgxxxxx„„22ln,01,()()ln2,12,ln6,2.xxfxgxxxxxxx剟分情况讨论：当01x„时，()()1fxgx有1个解1xe，此时有一个根.当12x„时，()()fxgx单调递增，且(1)(1)1fg，(2)(2)2ln21fg，此时有一个根.当2x时，()()fxgx先减后增，且(2)(2)2ln21fg，(2.3)(2.3)1fg，此时()()fxgx与1y有两个交点，即()()1fxgx有两个根.综上，方程()()1fxgx的实根共有4个.14．(15江苏高考)设向量(cos,sincos)666kkkkπππa(0,1,2,,12)k，则1110()kkkaa的值为_____.【参考答案】93【测量目标】向量的乘积运算和数列的求和.【试题分析】(cos,sincos)666kkkπππ(1)(1)(1)(cos,sincos)666kkkπππ(1)(1)(1)coscossinsincossin666666kkkkkkππππππ(1)(1)sincoscoscos6666kkkkππππ(1)coscos66kkππ(1)(1)sinsincoscos6666kkkkππππ(1)(1)cossinsincos6666kkkkππππ(1)coscoscossin()66636kkkπππππ.1110()kkkaa111111000(1)coscoscossin()66636kkkkkkπππππ.110(1)coscos33.66kkkππsin()36kππ以1111,1,,,1,2222为周期循环，110sin()0.36kkππ110cos636kπ，1110()3363093kkkaa.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(15江苏高考)（本小题满分14分）在ABC△中，已知2AB，3AC，60A.（1）求BC的长；（2）求sin2C的值.【测量目标】(1)余弦定理的应用；(2)正弦定理的应用.【试题解析】（1）由余弦定理知，2222cosBCABACABACA14922372，所以7BC.(2)由正弦定理知，sinsinABBCCA,所以2sin6021sinsin77ABCABC.因为ABBC,所以C为锐角，则2327cos1sin177CC.故sin2C2sincosCC2127432777.16.(15江苏高考)（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，已知ACBC，1BCCC.设1AB的中点为D.11BCBCE.求证：（1）DE∥平面11AACC；（2）11BCAB.第16题图【测量目标】(1)线面平行的判定；(2)线线垂直的判定和性质.【试题解析】证明：（1）由题意知，E为1BC的中点，又D为1AB的中点，因此//DEAC.又因为DE平面11AACC，AC平面11AACC，所以DE//平面11AACC.（2）因为棱柱111ABCABC是直三棱柱，所以1CC平面ABC.因为AC平面ABC，所以1ACCC.又因为ACBC,1CC平面11BCCB，BC平面11BCCB，1BCCCC，所以AC平面11BCCB.又因为1BC平面11BCCB，所以1BCAC.因为1BCCC，所以矩形11BCCB是正方形，因此11BCBC.因为1,ACBC平面1BAC,1ACBCC，所以1BC平面1BAC.又因为1AB平面1BAC，所以11BCAB.17．(15江苏高考)（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路.记两条相互垂直的公路为1l，2l，山区边界曲线为C.计划修建的公路为l.如图所示，,MN为C的两个端点，测得点M到1l，2l的距离分别为5千米和40千米，点N到1l，2l的距离分别为20千米和2.5千米.以2l，1l所在的直线分别为,xy轴，建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数2ayxb（其中,ab为常数）模型.(1)求,ab的值；(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式ft，并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.第17题图【测量目标】(1)利用导数研究函数的极值和单调性；(2)直线与曲线的位置关系.【试题解析】（1）由题意知，点,MN的坐标分别为5,40，20,2.5.将其分别代入2ayxb，得40,252.5.400abab解得1000,0.ab（2）①由（1）知，21000yx(520)x剟，则点P的坐标为21000(,)tt，设在点P处的切线l交,xy轴分别于,AB点，32000yx，则l的方程为2310002000()yxttt，由此得3(,0)2tA，23000(0,)Bt.故22233000()()()2tftt62434102tt，5,20t.②设624410()gttt，则651610()2gttt.令()0gt.解得102t.当5,102t时，()0gt，()gt是减函数；当102,20t时，()0gt，()gt是增函数.从而，当102t时，函数()gt有极小值，也是最小值，所以min()300gt，此时min()153ft.答：当102t时，公路l的长度最短，最短长度为153千米.18.(15江苏高考)（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22221xyab(0)ab的离心率为22，且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F的直线与椭圆交于,AB两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于,PC,若2PCAB，求直线AB的方程.【测量目标】(1)椭圆的标准方程；(2)直线与椭圆的位置关系.【试题解析】（1）由题意，得22ca且23acc.解得2a，1c，则1b.所以椭圆的标准方程为2212xy.（2）当ABx轴时，2A