4用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器

第四节用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器一、变换原理了解决上一节的混叠问题，我们应想办法让S到Z域的映射为单值映射。方法：先采用线性压缩的方法，将模拟角频率压缩至折叠频率以内。即：若：：-∞~0~∞,压缩后得到11：-π/T~0~π/T)21(1Ttg非线性压缩SS1单值映射S1Z)21(1TtgTsez1找Z与S的关系：，得：由：)21(1Ttg2)(2)()21cos()21sin(2222111111TjTjTjTjeejeeTT)()(22221111TjTjTjTjeeeej)1()1()()(1111112222TsTsTsTsTsTseeeeees)1()1(11zzs)1()1(ssz一般来说，为使AF与DF的某一频率有对应关系，可引入常数C：)21(1TtgC)1()1(11zzCs)()(sCsCz及：变换常数C的选取：常数C用来调节频率间的对应关系：若希望AF与DF在低频处有较为确切的对应关系，可以选择：TC2解释：在低频处有较为确切的对应关系，即要求低频处：1当1较小时，处于低频处，此时有：TTtg1121)21(而和1的对应公式为：TCTtgC1121)21(TC2sTsTzzzTs22)1()1(211二、优点、问题及其解决办法一、优点：解决了混叠问题。)21(2)21(11TtgTTtgC二、问题：为非线性关系！的对应关系与)21(2)21(21tgTTtgT三、解决：通过频率预畸来解决。0T/00011)2(222tgTtgS→Z0指标转换预畸指标转换不预畸220tgTS→Z00112222)2(2tgTTtgTtg产生畸变不产生畸变利用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器的步骤。(1)确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率ωp、通带衰减p、阻带截止频率ωs、阻带衰减s(2)将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。如果采用脉冲响应不变法，边界频率的转换关系为如果采用双线性变换法，边界频率的转换关系为T)21(2tgT(3)按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器。(4)将模拟滤波器Ha(s)，从s平面转换到z平面，得到数字低通滤波器系统函数H(z)。例：设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低于0.2πrad时，容许幅度误差在1dB以内；在频率0.3π到π之间的阻带衰减大于15dB。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计滤波器。解：(1)用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器。①数字低通的技术指标为ωp=0.2πrad,p=1dB;ωs=0.3πrad,s=15dB②模拟低通的技术指标为T=1s,Ωp=0.2πrad/s,p=1dB;Ωs=0.3πrad/s,s=15dB③设计巴特沃斯低通滤波器。先计算阶数N及3dB截止频率Ωc。0.10.1lglg0.31.50.21010.092101lg0.0925.884lg1.5psspspssppspkNkN根据阶数N=6，查表得到归一化传输函数为：234561()13.86377.46419.14167.46413.8637aHppppppp由式：Npcp2110)110(得到：Ωc=0.7032rad/s最后，去归一化，将p=s/Ωc代入Ha(p)中，得到实际的传输函数Ha(s)62652433425665432()3.86377.46419.14167.46413.86370.12092.7163.6913.1791.8250.1210.1209accccccHsssssssssssss④用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成H(z)。首先将Ha(s)进行部分分式分解，然后再转换z=esT。1112121120.28710.44662.14281.1454()10.12970.694911.06910.36991.85580.630410.99720.2570zzHzzzzzzzz(2)用双线性变换法设计数字低通滤波器。①数字低通技术指标仍为ωp=0.2πrad,p=1dB;ωs=0.3πrad,s=15dB②模拟低通的技术指标为21tan,122tan0.10.65/,12tan0.151.019/,15ppPpssTTradsdBradsdB③设计巴特沃斯低通滤波器。阶数N计算如下：lglg1.0191.5680.650.092lg0.0925.306lg1.568spspssppspkNkN取N=6。并求得：Ωc=0.7662rad/s根据N=6，查表6.2.1得到的归一化传输函数Ha(p)与脉冲响应不变法得到的相同。为去归一化，将p=s/Ωc代入Ha(p)，得实际的Ha(s)2220.2024()(0.3960.5871)(1.0830.5871)(1.4800.5871)aHsssssss④用双线性变换法将Ha(s)转换成数字滤波器H(z)11161212121120.0007378(1)()()(11.2680.7051)(11.0100.358)110.90440.2155azszzHzHszzzzzz