哈工大计算机仿真6

LabofPEEDBringIdeasTogether电力电子与电力传动实验室LabofPEEDBringIdeasTogether电力电子与电力传动实验室2.5.3离散相似法离散相似法是将连续模型处理成与之等效的离散模型的一种方法，具体地说，就是设计一个离散系统模型，使其中的信息流与给定的连续系统的信息流相似，或者说，它是依据给定的连续系统的数学模型，通过具体的离散化方法，构造一个离散化模型，使之与连续系统等效。由于连续系统可由传递函数（频域）及状态方程（时域）两种形式描述，相应地，离散相似法也有两种形式：一种是传递函数的离散化处理，得到离散传递函数；另一种是连续的状态方程的离散处理，得到离散化状态方程。下面分别介绍这两种方法。LabofPEEDBringIdeasTogether电力电子与电力传动实验室LabofPEEDBringIdeasTogether电力电子与电力传动实验室1.Z域离散相似法（a）连续系统模型（b）系统离散化模型u(t)y(t)G(s)u(t)u*(t)G(z))(sGhG(s))(~ty)(*~ty)(~tu假设有一个连续系统如图（a）所示，在连续的输入信号u(t)的后面再加一个以T为周期的采样开关，得一离散信号u*(t)，然后再加一个信号重构器，其传递函数为Gh(s)，使离散信号u*(t)再恢复为连续信号)(~tu)(~ty最后将连续信号原来的连续系统上，其输出为)(~tu加到上述过程如图（b）所示。显然，只要能足够精确的表示u(t)，)(~tu那么，)(~ty够精确地表示y(t)。也就能足故（b）所示的离散模型也就能够足够精确地表示图（a）所示的连续系统。LabofPEEDBringIdeasTogether电力电子与电力传动实验室LabofPEEDBringIdeasTogether电力电子与电力传动实验室)(~ty)]()([)()()(sGsGZzUzYzGh由Z变换的理论知，从u*(t)到用下式来表示之间离散传递函数G(z)可以我们将典型信号的拉式变换和Z变换列于下表)(t)(tuf(t)f*(t)F(s)F(z)[1,0,0…]11[0,1,0…]z-1[1,1,1…]s-1z/(z-1)tns-2z/(z-1)2)(TtTsetenTe)/(1s)/(TezzLabofPEEDBringIdeasTogether电力电子与电力传动实验室LabofPEEDBringIdeasTogether电力电子与电力传动实验室利用Z域离散相似法时，信号重构器是一个重要的环节，它是将离散信号恢复为连续信号的环节，信号重构器的种类有很多，其中常用的有零阶信号重构器（也称零阶保持器），一阶信号重构器和三角信号重构器等。其中零阶信号重构器结构简单，应用广泛。这里主要介绍零阶重构器。零阶信号重构器，是将离散信号在两个采样点之间保持不变，因此是使离散信号恢复为一个阶梯状的连续信号。如下图，其单位脉冲响应是一个幅值为1持续时间为T的矩形脉冲如由右下图所示，并可表示为两个阶越函数之和。)()()(Ttututgh对单位脉冲响应取拉式氏变换，可得零阶信号重构器的传递函数sesessGTsTsh11)(LabofPEEDBringIdeasTogether电力电子与电力传动实验室LabofPEEDBringIdeasTogether电力电子与电力传动实验室Ttf(t)fh(t)通过零阶信号重构器后的信号fh(t)0T1tgh(t)零阶信号重构器的单位脉冲响应LabofPEEDBringIdeasTogether电力电子与电力传动实验室LabofPEEDBringIdeasTogether电力电子与电力传动实验室asksG)(sesGTsh1)(例1：如果取，并采用零阶保持器，即，求与之对应的离散相似系统。aTaTaTTsTsezeakezzzzzzakassakZzzasskZzzasskeZaskseZzG111111)(1)()1(1)(zzzeZTs1111位移因子)()1()()1(nueaknyenyaTaTaTaTezeakzUzYzG1)()()(由传递函数得LabofPEEDBringIdeasTogether电力电子与电力传动实验室LabofPEEDBringIdeasTogether电力电子与电力传动实验室利用上述方法可以求出各种线性定常系统的z域离散相似模型，不过应该注意，采用不同的信号重构器得到的离散模型是不一样的，究竟采用什么类型的重构器，这要看所研究的具体问题而定。综上，采用z域离散相似方法对连续系统进行离散化的主要步骤可以归纳如下：①首先画出连续系统的结构图；②然后在适当的地方加入虚拟的采样开关，选择合适的信号重构器；③并将所引进的信号重构器传递函数与连续系统的传递函数串联，通过z变换求得系统的脉冲传递函数；最后通过z逆变换求得差分方程；④根据差分方程编制仿真程序。LabofPEEDBringIdeasTogether电力电子与电力传动实验室LabofPEEDBringIdeasTogether电力电子与电力传动实验室典型环节的离散相似模型ssG/1)(sesGTsh1)(a)积分环节系统的传递函数为采用零阶保持器解：系统的离散化传递函数为TsTsessZsseZzG221111)(由z变换的线性性质和移位定理得1)1(1)1()(22zTzTzzzTzzG或者1)1(111111)(2zTzTzzzssZzzsseZzGTs进行z逆变换，得到系统的差分模型)()()1(nTunynyLabofPEEDBringIdeasTogether电力电子与电力传动实验室LabofPEEDBringIdeasTogether电力电子与电力传动实验室b)一阶环节（适用于超前—滞后，惯性环节等）解：连续系统的传递函数为BsADsCsG)(如果采用零阶保持器，得脉冲传递函数为)()1()1()1)(1()1(111)/(1/11)(1111)(1111aTaTaTaTaTTsezABeBCzDAzezzeABBCzeBDzzsBAsBCsBABDZzzBsAsCBsADZzzBsADsCsZzzBsADsCseZzG其中BA/LabofPEEDBringIdeasTogether电力电子与电力传动实验室LabofPEEDBringIdeasTogether电力电子与电力传动实验室进行z反变换得到差分方程为)()1()()1(nuABBCeDABCnuBDnyenyaTaT若取ABBCeDABCRBDQePaTaT,/,)()1()()1(nRunQunPyny则2.时域离散相似法原理如果系统的数学模型以状态方程来描述，则同样可以应用离散相似法的原理，对它进行离散化处理，求得离散化状态方程组（差分方程组），然后编制程序来进行仿真。状态方程差分方程组LabofPEEDBringIdeasTogether电力电子与电力传动实验室LabofPEEDBringIdeasTogether电力电子与电力传动实验室)()()()()()(tuttytuttDCXBAXX)()()(tButAXtX设系统的状态方程和输出方程为现在问题的实质是求解上述的微分方程，首先将状态方程写成(1)(2)对上式两边左乘Ate得)()]([)]()([tutdtdttBeXeAXXeAtAtAt(3)对上式由t0进行积分得tAtAdBueXe00)()((4)化简为tAAtdBueXtXe0)()0()((5)LabofPEEDBringIdeasTogether电力电子与电力传动实验室LabofPEEDBringIdeasTogether电力电子与电力传动实验室AteIeAtAt因此上式两边再左乘，且有ttAAtduttdBueXet0)()()()0()()()0()(BφXφX(6)其中Ateφ)(t。为了得到叠代的差分方程,根据式(6)，可以得到kTdukT0))()0()(BeXeXA(kTAkTTkduTk)1(0))()0())1((BeXeX1)TA((k1)TA(k(7)(8)然后根据X(kT)和X[(k+1)T]的关系,进一步变换得到LabofPEEDBringIdeasTogether电力电子与电力传动实验室LabofPEEDBringIdeasTogether电力电子与电力传动实验室TkkTTkkTATAkTATATdudueduXeekTXeTk)1())1(00)))()()()0()0()(])1[(BeBeBeXeX1)TA((kA(kT1)TA((k1)TA(kTkktdukTTk)1()()())1((BeXeX]1)T[A(kAT并考虑B是常数阵,利用离散相似法信号重构器采用零阶保持器u(t)在相邻的采样点之间保持不变，即当TkkT)1()()(,kTutu时，可得)()(0)1(kTudttkTduTTkkTTBeBet)A(T]1)A[(k(9)LabofPEEDBringIdeasTogether电力电子与电力传动实验室LabofPEEDBringIdeasTogether电力电子与电力传动实验室则)()(])1[(0kTudtkTTkTBeXeXt)A(TAT令ATeφF)()(TTTdtt0)(BeGt)A(T可得)()()()(])1[(kTuTkTTTkGXFX(10)(11)以上便是一个离散化的状态方程，它是采用零阶保持器得到的，若采用其它类型的保持器，则得到的状态方程的形式会发生改变。tAe的计算是离散化的关键，对于它求解的方法主在上式中要有022!2kkkAttkAtAAtIe！tAe（1）根据矩阵指数的定义求解已知A，用乘法和加法即可求出LabofPEEDBringIdeasTogether电力电子与电力传动实验室LabofPEEDBringIdeasTogether电力电子与电力传动实验室022!2kkkAttkAtAAtIe！3221][sAsAseLAt1322)(1][assasaseLat1)(][AsIeLAt])[(11AsILeAt（2）用拉氏变换法求解取拉氏变换仿标量情况所以因此有由定义知LabofPEEDBringIdeasTogether电力电子与电力传动实验室LabofPEEDBringIdeasTogether电力电子与电力传动实验室例用离散相似法求出下面系统的差分方程ux1x2ysk11suBAXXCXy首先写出系统的状态方程系统的输出方程为其中1100A0kB10C，，110ssAsI11)1(101)(1ssssAsITTeesLT101])[()(11AIF因为，所以有则LabofPEEDBringIdeasTogether电力电子与电力传动实验室LabofPEEDBringIdeasTogether电