哈工大课件――第8章 非正弦周期电流电路

本章目次1非正弦周期电流和电压2周期函数分解为傅里叶级数3非正弦周期量的有效值、平均功率4非正弦周期电流电路的计算随着科技的发展，非正弦周期函数的电流和电压愈加普遍。本章介绍应用傅里叶级数和叠加定理分析非正弦周期电流电路的方法，讨论非正弦周期电流、电压有效值和平均功率的计算，简要介绍非正弦周期信号频谱的概念和对称三相电路中的谐波。提要1.非正弦周期电流的产生8.1非正弦周期电流和电压2）非正弦周期电压源或电流源（例如方波、锯齿波）tSuOSutO(a)(b)图8.1方波和锯齿波电压引起的响应也是非正弦周期量，如何求响应？引起的电流便是非正弦周期电流，解决方法是？1）当电路中有多个不同频率的电源同时作用，如图所示SUmsinUtL2RR1R图不同频率电源作用的电路基本要求：初步了解非正弦信号产生的原因。根据叠加定理，分别计算不同频率的响应，然后将瞬时值结果叠加。3）有非线性元件引起的非正弦周期电流或电压。例如，由半波整流，全波整流得到的电压，电流RouiiuttiuouOO(a)(b)(c)D图8.2二极管整流电路及半波整流电压非正弦周期电流电路分析方法：谐波分析法这些非正弦周期函数首先分解为不同频率的傅里叶级数，然后求解不同频率的正弦激励的响应，最后将瞬时值结果叠加。响应也是非正弦周期量，如何求响应？1．傅里叶级数周期为T，角频率为ω的周期函数f(t)可表示为2,1,0)()(kkTtftf当其满足狄里赫利条件即：1)f(t)在任何一个周期内，连续或存在有限个间断点；2)f(t)在任何一个周期内，只有有限个极大值和极小值；3)在任何一个周期内，函数绝对值的积分为有界值，存在即ttfTd)(08.2周期函数分解为傅里叶级数01()[cos()sin()](8.1)kkkftAaktbktf(t)可以分解为如下的傅里叶级数基本要求：掌握傅里叶级数的三角形式，理解谐波概念。01()[cos()sin()](8.1)kkkftAaktbkt在电路分析中，一般用傅里叶级数的另一种形式。0mm1()[coscos()sinsin()]kkkkkftAAktAkt0m1cos()(8.6)kkkAAkt(8.1)、(8.6)式比较，得mcoskkkaAmsinkkkbA22mkkkAabarctgkkkba00201()d1()d()2πTAfttTftt2π/2πTf是角频率,T是f(t)的周期。0202()cos()d1()cos()d()πTkaftkttTftktt0202()sin()d1()sin()d()πTkbftkttTftktt0m1()cos()(8.6)kkkftAAkt2．谐波分析—将周期函数分解为恒定分量、基波分量和各次谐波的方法。O246km1Am2Am3Am4Am5Am6A图8.3振幅频谱谐波振幅Amk随角频率kω变动的情形如图8.3所示图中竖线称为谱线，长度表示Amk的量值；相邻两谱线的间隔等于基波角频率ω。这种谱线间具有一定间隔的频谱称为离散频谱。同样可以画出相位频谱，用以表示各次谐波的初相随角频率kω变动的情形。k恒定分量（直流分量）m1A1k=1—基波；—基波振幅，—基波初相k=2,3,等—分别称为二次，三次谐波，统称为高次谐波由于傅里叶级数是收敛的，一般谐波次数越高，振幅越小t/2TTOA图8.4周期性方波TtTTtAtf2/,02/0,)(当当/2001d2TAAAtT求图所示周期性方波的傅里叶展开式，并画其频谱。根据下式求A0、ak和bk200011()d()d()2πTAfttfttT20021()cos()d()cos()d()πTkaftkttftkttT20021()sin()d()sin()d()πTkbftkttftkttT/2/200/2022cos()dcos()d()222πsin()sin()02TTkTAaAkttktktTkTAAktkkTkT/2/20022sin()d(cos)2,1,3,5,(1cosπ)ππ0,2,4,6,TTkAbAkttktTkTAkAkkkk所给波形在一个周期内的表达式：解例题8.1因为ak=0，所以于是得到m,90kkkAb211()[cos(90)cos(390)cos(590)]2π35AAftttt211(sinsin3sin5)2π35AAttt121sin[(21)]2π21nAAntn说明:式中引入新的正整数n以区别原来的正整数k。t/2TTOA图8.4周期性方波这一方波的分解情况如图8.5所示ttt2/A2/πA2/(3π)A(a)(b)(c)OOO图8.5周期性方波的波形分解直流分量基波分量3次谐波分量方波振幅频谱和相位频谱如下所示3579k2A2πA23πA25πA27πA29πAπ2kkOO(a)(b)3579图8.6周期性方波的振幅频谱和相位频谱傅里叶级数式01()[cos()sin()]kkkftAaktbkt只含有正弦项,不含恒定分量和余弦项,因为恒定分量和余弦项都是偶函数.3.1f(t)为奇函数如图)(tftOT2/T周期性奇函数3.周期函数的波形与傅里叶系数的关系当周期函数的波形具有某种对称性质时，利用函数对称性可使系数A0、ak、bk的确定简化。傅里叶级数中只含有余弦项和恒定分量(当A0≠0时),而没有正弦项,这是因为正弦项都是奇函数。0,000kkbaA，有即时，函数关于原点对称，()()ftft3.2f(t)为偶函数，即函数对称于纵轴，如图T2/Tt)(tfO周期性偶函数0,0kkba()()ftft3.3f(t)为镜像对称函数如图2/TT)(tft2/TO上下半波镜像对称的函数022kkba展开式中只有奇次谐波。计算奇次谐波系数，只需计算半个周期内积分为奇数为偶数ndttktfTnaTn20cos)(40为奇数为偶数ndttktfTnbTn20sin)(40•说明：•奇、偶函数与计时起点有关，奇次谐波函数与计时起点无关•级数收敛快慢与波形光滑程度及接近正弦波程度有关•当存在上述任何一个条件时，谐波分析可简化如下：•a不必计算等于零的系数•b计算非零系数时，积分区间可减半，同时积分式乘以2。即，A0=0()(2)ftftT40/4()()AtTfttT当时2811()(sinsin3sin5)π925Aftttt得[解]f(t)=-f(-t)，A0=0，ak=0，只需求bkf(t)=-f(t±T/2)，展开式中只有奇次谐波存在两个对称条件，可在T/4内积分，并乘以4/4/4004284()sin()dsin()dTTkAbftktttkttTTT2222228,1,5,9,8ππsin8π2,3,7,11,πAkAkkAkkk当当三角波的振幅频谱如图所示3579O28πA289πA2825πAk三角波的频谱图其谐波振幅与k2成反比)(tft2T4T2TAO[补充8.1]求图所示三角波的傅里叶展开式代入01()(cossin)kkkftAaktbktf(t)的波形图f(t)的傅里叶级数)()sin15sin513sin31(sinπ4)(为奇数ktkktttAtft2π4πOA)sin1sin331sin221(sinπA-2A)(tkkttttfππ2tOA21()(sinπcossin2πcos2π21sin3πcos)3AftAttt下面是几种常见周期函数的傅里叶级数f(t)的波形图f(t)的傅里叶级数))(sin)1(5sin2513sin91(sinπ8)(2212为奇数ktkktttAtfktπ2πOA241()(sinsinsin3sin3π911sin5sin5sinsin)25()Afttttkktkk为奇数)()cos)1)(1(24cos1522cos32cos21(π)(为偶数ktkkktttAtf几种常见周期函数的傅里叶级数1．当给出函数f(t)在一个周期内的表达式，便可以直接代入上式计算有效值。8.3非正弦周期量的有效值平均功率[补充8.2]计算图示方波的有效值t/2TTOA图周期性方波[解]写出所给波形在一个周期内的表达式TtTTtAtf2/,02/0,)(当当201[()]d(8.11)TAfttT有效值：周期量的有效值等于其瞬时值的方均根值，即/2201d2TAUAtT基本要求：透彻理解非正弦周期量有效值和平均功率的定义。2．正弦级数形式求有效值00m11()[cos()sin()]cos()kkkkkkftAaktbktAAkt设代入式得201[()]dTAfttT20m011[cos()]dTkkkAAAkttT根据：220001d;TAtAT222mm01111cos()d2TkkkkkAkttAT0m011cos()d0TkkkAAkttTmm0111cos()cos()d0,TkkkkkkAAktkttkkT222220m01211(8.17)2kkAAAAAA即有1m12m2/2/2AAAA式中、分别称为基波、二次谐波…的有效值式(8.17)表明任意周期量的有效值等于它的恒定分量、基波分量与各谐波分量有效值的平方和的平方根，与各次谐波初相无关。设一端口网络的端口电压、电流取关联参考方向，则其输入的瞬时功率为p=ui其平均功率就是瞬时功率在一周期内的平均值，即0011dd(8.18)TTPptuitTT0m1cos()kukkuUUkt设0m1cos()kikkiIIkt0m0m001111d[cos()][cos()]dTTkukkikkkPuitUUktIIkttTT则有平均功率已知周期电流，求其有效值。A)]502cos(42.0)20cos(707.01[tti例题8.222211(1)(0.707)(0.42)A1.16A22I解0001dTUItT0m011cos()dTkikkUIkttT0m011cos()dTkukkIUkttTmm0111cos()cos()dTkkukikkkUIktkttTmm011cos()cos()dTkkukikkUIktkttTmm001cos22kkkkUIUI10100coskkkkkkPPIUIU式中Uk、Ik分别为第k次谐波电压和电流的有效值，为第k次谐波电压与电流间的相位差k0m0m0111[cos()][cos()]dTkukkikkkPUUktIIkttT非正弦周期电流电路的平均功率等于恒定分量、基波分量和各次谐波分量分别产生的平均功率之和。同时说明：不同频率的电压和电流不产生平均功率。已知某无独立电源的一端口网络的端口电压、电流为V)]102cos(6.56)30cos(6