3.2一元二次不等式及其解法(1)

两个网络服务公司ISP的资费标准,电信:每小时收费1.5元.网通:用户上网的第一小时内收费1.7元,第二小时内收费1.6元,以后每小时减少0.1元.(若用户一次上网时间超过17小时,按17小时计算)(不妨设该同学一次上网不超过17小时)一次上网多长时间以内能够保证选择电信的上网费用小于或等于选择网通所需费用？分析:假设一次上网x小时,则电信公司的收取费用为1.5x根据题意知,网通收费1.7,1.6,1.5,1.4,……是以1.7为首项,以-0.1为公差的等差数列∴网通公司的收取费用为如果能够保证选择电信费用小于或等于选择网通所需费用,则整理得x2-5x≤0这是什么？)1.0(2)1(7.1xxx20)35(xx(35)1.520xxx15x2+30x－10和3x2+6x－1≤0.这三个不等式有两个共同特点：(1)含有一个未知数x；(2)未知数的最高次数为2.一般地,含有一个未知数,且未知数的最高次数为2的整式不等式,叫做一元二次不等式.x2－5x≤0考察下面含未知数x的不等式：什么1.对于x2-x-6=0,y=x2-x-6,x2-x-60,它们各自的含义分别是什么?方程、函数、不等式.思考:2.一元二次方程、一元二次不等式及与一元二次函数三者之间有什么关系?一元二次方程,就是使对应的二次函数f(x)=0.一元二次不等式就是使对应二次函数f(x)0,或f(x)0.因此二次函数,一元二次方程,一元二次不等式之间有非常密切的联系.3.不等式x2-5x0、二次函数y=x2-5x、一元二次方程x2-5x=0之间有什么关系?画出函数y=x2-5x的图象并根据图象回答(1)图象与x轴的交点坐标为.该坐标与方程x2-5x=0的解的关系.(2)当x取时,y=0?当x取时,y0?当x取时,y0?(3)由图象写出不等式x2-5x0的解集为:.不等式x2-5x0的解集为:.05xy(0,0),(5,0)交点的横坐标即为方程的根x=0,5x0或x50x5{x|x0或x5}{x|0x5}一元二次不等式也可用图象法求解.关键在于快速准确捕捉图像的特征.推广:对于一般的不等式ax2+bx+c0或ax2+bx+c0(a0)又怎样去寻求解集呢？一元二次方程的解即一元二次函数图象与x轴交点的横坐标,一元二次不等式的解集即一元二次函数图象在x轴下方或上方图象所对应x的范围.利用二次函数图象能解一元二次不等式！问:y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴的交点情况有哪几种?Δ0Δ=0Δ0x1x2xyOyxOyxOx1一元二次方程、一元二次不等式、二次函数的相互关系及其解法:判别式△=b2-4acy=ax2+bx+c(a0)的图象ax2+bx+c=0的根ax2+bx+c0的解集ax2+bx+c0的解集△0有两相异实根x1,x2(x1x2){x|xx1,或xx2}{x|x1xx2}△=0△0有两相等实根x1=x2={x|x≠}x1x2xyOyxOΦΦR没有实根yxOx1ab2ab2a0结合图形一元二次不等式的解集记忆方法若ax2+bx+c=0(a0)有两根x1,x2(x1x2),则ax2+bx+c0的解集可记忆为“大于零取两边”,ax2+bx+c0的解集可记忆为“小于零取中间”.x1x2xyOyxOyxOx1简单的说是:大于0在两边,小于0在中间.例1.解不等式2x2-3x-20.解:因为△=(-3)2-4×2×(-2)0,方程的解2x2-3x-2=0的解是121,2.2xx所以,原不等式的解集是.2,21|xxx或先求方程的根然后想像图象形状注:开口向上,大于0,解集是大于大根,小于小根.若改为:不等式2x2-3x-20.1|22xx不等式的解集是注:开口向上,小于0,解集是大于小根且小于大根.例2.解不等-3x2+6x2.解:∵-3x2+6x2∴3x2-6x+20331133|xx∵方程的解3x2-6x+2=0的解是12331,1.33xx所以,原不等式的解集是例3.解不等式4x2-4x+10解:因为△=0,方程4x2-4x+1=0的解是，2121xx所以,原不等式的解集是21|xx注:4x2-4x+10无解例4.解不等式-x2+2x-30解:不等式可化为:x2-2x+30∵△0所以方程x2-2x+3=0无实数根,而y=x2-2x+3的图象开口向上,所以原不等式的解集为φ.小结:利用一元二次函数图象解一元二次不等式,其方法步骤是:(1)先将二次项系数化为“+”,求出Δ和相应方程的解.(2)再画出函数图象,根据图象写出不等式的解.若a0时,先变形!思考:不等式(x+2)(x-3)0和(x-2)(x+3)0的解集分别是什么?思考:一般地,若ab,则不等式(x-a)(x-b)0和(x-a)(x-b)0的解集分别是什么?02bxa12xxxx或原不等式的解集为R求方程的两个根20axbxc12,xx方程没有实数根20axbxc是开始将不等式转化成一般形式20(0)axbxca24bac?否?12xx原不等式的解集为x结束是原不等式的解集为12()xxx否某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离sm和汽车车速xkm/h有如下关系:在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离大于39.5m,那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少?(精确到0.01km/h).18012012xxs解:设这辆汽车刹车前的车速至少为xkm/h,根据题意,得到.5.3918012012xx移项整理,得x2+9x-71100.显然△0,方程x2+9x-7110=0有两个实数根,即x1≈-88.94,x2≈79.94画出函数y=x2+9x-7110的图象,由图象得不等式的解集为{x|x-88.94,或x79.94}在这个实际问题中,x0,所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.oxyx1x2例4一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值y(元)之间有如下的关系:y=-2x2+220x.这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上,那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？解:设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车.根据题意,得到-2x2+220x6000移项整理,得x2-110x+30000.因为△=1000,所以方程x2-110x+3000=0有两个实数根,x1=50,x2=60.由函数y=x2-110x+3000的图象,得不等式的解为50x60.因为x只能取整数,所以当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51辆到59辆之间时,这家工厂能够获得6000元以上的收益.小结1．三个二次关系二.解一元二次不等式的步骤：1.系数化为正数.不等式化为标准形式:ax2+bx+c0(a0)或ax2+bx+c0(a0).2.求Δ,并求对应一元二次方程的根.3.画图,依图象求不等式的解集.图象一元二次不等式的解一元二次方程的根二次函数作业:P80A组1,2B组1.练习写在课本上