3.2一元二次不等式及其解法(采用)

回顾：一元二次方程,一元二次函数(1)一元二次方程20(0)axbxca因式分解法(十字相乘)公式法：24;2bbacxa(2)一元二次函数2(0)yaxbxca开口方向；对称轴:顶点坐标2bxa24,24bacbaa我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的不等式，称为一元二次不等式.一.一元二次不等式的定义ax2+bx+c0ax2+bx+c0(a≠0)(a≠0)如：如何解一元二次不等式？二、一元二次不等式解法1.试一试:解一元二次不等式,(1)x2-x-60(2)x2-x-60解：⑴x2-x-60(x-3)(x+2)0∴x3或x-2∴不等式的解集为﹛x|x-2或x3﹜⑵x2-x-60(x-3)(x+2)0∴-2x3∴不等式的解集为﹛x|-2x3﹜2.对“三个二次”的探究x2-x-60x2-x-6=0y=x2-x-6分析.画出函数y=x2-x-6的图象，并根据图象回答：(1).相应方程x2-x-6=0(2).当y=0时,x取，当y0时,x取，当y0时,x取.(3).由图象写出：不等式x2-x-60的解集为。不等式x2-x-60的解集为。x=-2或3x-2或x3-2x3﹛x|x-2或x3﹜﹛x|-2x3﹜yx0-23ooooy0y0y0→(x+2)(x-3)=0的根x2-x-60一元二次不等式x2-x-6=0一元二次方程y=x2-x-6一元二次函数“三个二次”的关系如下表(a0)△=b2-4ac△0△=0△0二次函数y=ax2+bx+c的图象二次方程ax2+bx+c=0的根一元二次不等式ax2+bx+c0的解集一元二次不等式ax2+bx+c0的解集有两个不等实根x1≠x2有两个相等实根x1=x2=无实根﹛x|xx1或xx2﹜{x|x∈R,x≠}R{x|x1xx2}XY0x1XY0x1x2YX02ba2ba例1：解不等式:x2－2x－15≥0解：y-350x∴不等式的解集为:{x│x≤－3或x≥5}。。。∵对应方程为x2－2x－15=0∴△0方程有两个不同的实根x1=-3,x2=5函数y=x2－2x－15的图像如图所示：123解一元二次不等式的方法步骤是：(3)根据图象写出解集步骤:(1)化成标准形式(a0)：ax2+bx+c0或ax2+bx+c0(2)求解方程，画图象；方法：数形结合记忆：3.“取值”“小于取中间”“大于取两边”1.“化成标准型”2.“解方程”→｝→练习1：课文80页第一题1.（1）再看一例例2.解不等式4x2－4x＋10解:因为△=0,方程4x2－4x＋1=0的解是，2121xx所以,原不等式的解集是21|xx注:4x2－4x＋10无解练习2：课文80页第1.(3)例3.解不等式－x2＋2x－30略解:－x2＋2x－30x2-2x+30解集为空集注:x2-2x+30Rx练习3.课文80页第1.（2）本堂总结：如何解一元二次不等式解一元二次不等式的方法步骤是：(3)根据图象写出解集步骤:(1)化成标准形式(a0)：ax2+bx+c0或ax2+bx+c0(2)求解方程，画图象；方法：数形结合记忆：3.“取值”“小于取中间”“大于取两边”1.“化成标准型”2.“解方程”→｝→一元二次方程、一元二次不等式、二次函数的相互关系及其解法：的图象的根的解集的解集acb42000二次函数)0(2acbxaxy一元二次方程)0(02acbxax)0(02acbxax)0(02acbxax1x2xyx0xy01x2x=xy0有两个相等实根aacbbxaacbbx24242221abxx22121|xxxxx或21|xxxxRxabxx2|无实根证明：1不等式对一切恒成立，则a的取值范围.04)2(2)2(2xaxaRx(1)当a–2=0时，即a=2，原不等式为-4＜0。显然，对一切都成立.Rx(2)当a-2≠0时，此不等式对一切x都成立，则021624022aaa解得-2a2.由(1)(2)知，当时不等式对一切恒成立.2,2aRx提升与拓展[点评](1)不等式ax2＋bx＋c0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c0；当a≠0时，a0Δ0.(2)不等式ax2＋bx＋c0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c0；当a≠0时，a0Δ0.类似地，还有f(x)≤a恒成立⇔[f(x)]max≤a；f(x)≥a恒成立⇔[f(x)]min≥a.1．解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋20.解：(1)当a＝0时，原不等式可化为－x＋20，解集为{x|x2}．(2)当a0时，原不等式化为(ax－1)(x－2)0，即x－1a(x－2)0.若1a2，即a12时，解得1ax2；若1a＝2，即a＝12时，解集为∅；若1a2，即0a12时，解集为2x1a.(3)当a0时，原不等式可化为x－1a(x－2)0.∵1a2，∴不等式解集为x|x1a或x2.综上所述，不等式的解集为：a＝0时，{x|x2}；0a12时，x|2x1a；a＝12时，x∈∅；a12时，x|1ax2；a0时，x|x1a或x2.【例3】已知x2＋px＋q0的解集为x－12x13，求解不等式qx2＋px＋10解：因为x2＋px＋q0的解集为x－12x13，所以x1＝－12与x2＝13是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根．由根与系数的关系得13－12＝－p，13×－12＝q，解得p＝16，q＝－16.所以不等式qx2＋px＋10即为－16x2＋16x＋10，即x2－x－60，解得－2x3.所以不等式qx2＋px＋10的解集为{x|－2x3}．方法点评：一元二次不等式ax2＋bx＋c0，ax2＋bx＋c0的解集的端点就是对应的一元二次方程的解．[例4]解不等式2x＋1x－32x＋13x－2.[解]移项得2x＋1x－3－2x＋13x－20，通分整理得2x＋12x－33x－20，∴2x＋1≠0，x－33x－20⇒x≠－12，x3或x23，∴原不等式的解集为(－∞，－12)∪(－12，23)∪(3，＋∞)．[例5]若方程kx2－(2k＋1)x－3＝0在(－1,1)和(1,3)内各有一个实根，则实数k的取值范围如何？[解]∵函数f(x)＝kx2－(2k＋1)x－3的图象是连续曲线，由题意可知f(－1)f(1)0且f(1)f(3)0，即3k－2－k－40，－k－43k－60，即k23或k－4，k2或k－4，解得k－4或k2.故所求的实数k的取值范围是k－4或k2.变式:m为何值时，关于x的方程(m＋1)x2＋2(2m＋1)x＋(1－3m)＝0有两个异号的实根．解：若有两个异号实根，则此问题等价于m＋1≠0，x1·x20，即m＋1≠0，1－3mm＋10⇔m≠－1，m－1，或m13，∴m－1或m13.