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3.2圆的对称性九年级数学(下)第三章圆定义一：在同一平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。１、从运动和集合的观点理解圆的定义：定义二：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。３、证明几个点在同一个圆上的方法。要证明几个点在同一个圆上，只要证明这几个点与一个定点的距离相等。２、点与圆的位置关系：设⊙Ｏ的半径为r，则点P与⊙O的位置关系有：（１）点Ｐ在⊙Ｏ上ＯＰ＝r（２）点Ｐ在⊙Ｏ内ＯＰ＜r（３）点Ｐ在⊙Ｏ外ＯＰ＞r知识回顾复习提问：1、什么是轴对称图形？我们在学过哪些轴对称图形？如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形2、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？.圆的对称性圆是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？●O你是用什么方法解决上述问题的?圆是中心对称图形吗？如果是,它的对称中心是什么?你能找到多少个对称中心？你又是用什么方法解决这个问题的?想一想圆是轴对称图形.想一想圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.●O可利用折叠的方法即可解决上述问题.圆也是中心对称图形.它的对称中心就是圆心.用旋转的方法即可解决这个问题.圆的对称性猜一猜请同学们观察屏幕上两个半径相等的圆。请回答：它们能重合吗？如果能重合，请将它们的圆心固定在一起。O’然后将其中一个圆旋转任意一个角度，这时两个圆还重合吗?O归纳：圆具有旋转不变性,即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的圆重合。因此,圆是中心对称圆形，对称中心为圆心。圆的中心对称性是其旋转不变性的特例.ABCDO∠AOB∠COD∠AOC∠BOD我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.圆心角的概念判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。①②③④过点O作弦AB的垂线,垂足为M,则垂线段OM的长度,即圆心到弦的距离，叫弦心距,图1中，OM为AB弦的弦心距。OABM图1OM是唯一的。2、下列图中弦心距做对了的是（）┐┐①②③④④做一做按下面的步骤做一做1、利用手中已准备的两张半径相等的透明圆胶片，在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′,然后将两圆的圆心固定在一起。2、将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与O′A′重合。ABOA′B′O′ABoCDO′CD如图，在等圆∠AOB=∠COD相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.AB=CDAB=CD圆心角定理：在同圆或等圆中，条件结论∵∴O′·OABA′B′定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时，∵∠AOB＝∠A′OB′，半径OA与OA′重合∴半径OB与OB′重合．∵点A与A′重合，B与B′重合∴AB︵与A'B'︵重合，AB与A′B′重合．∴AB︵=A'B'︵，AB=A'B'ＡＢＣＤＡB=CD吗？弧AB与弧CD呢？O条件结论在同圆或等圆中如果圆心角相等那么圆心角所对的弧相等圆心角所对的弦相等所对的弦的弦心距相等想一想1、在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗?你是怎么想的？2、在同圆或等到圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等吗？它们所对的弧相等吗？你是怎么想的？ABOA′B′O′ABOB′A′O′(1)∵⊙O和⊙O′是等圆,且∠AOB=∠A′O′B′∴AB=A′B′，AB=A′B′.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。∵⊙O和⊙O′是等圆,且AB=A′B′,∴AB=A′B′，∠AOB=∠A′O′B′.(2)∵⊙O和⊙O′是等圆,且AB=A′B′,∴AB=A′B′，∠AOB=∠A′O′B′(3)在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等,所对的圆心角相等.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等,它们所对的弧相等.定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。ABOB′A′O′BEODAC例1:如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O的一点，且AD︵=CE︵，BE与CE的大小有什么关系？为什么？解：BE=CE。理由是：∵∠AOD=∠BOE∴AD︵=BE︵又∵AD︵=CE︵∴BE︵=CE︵∴BE=CE随堂练习3.已知A、B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C是AB︵的中点。试确定四边形OACB的形状，并说明理由。OABC知识技能1.如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，AB=DC，△ABC与△DCB全等吗？为什么？OBADC数学理解3.如图，AB是⊙O的直径，OD∥AC，CD︵与BD︵的大小有什么关系？为什么？OABCD练习1.如图,⊙O中，AB∥CD.（1）求证：∠AOC=∠BOD（2）求证：AC=BD·ODCAB你能得出什么结论？在同一个圆中，两条平行弦所夹的弦相等，所夹的弧相等。21例2：（数学理解2）如图，在⊙O中，AB，CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD,重足分别为E，F。CAFBEOD⑴如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？⑵如果OE=OF那么AB与CD的大小有什么关系？为什么？∠AOB与∠COD呢？⌒⌒解：OE=OF，理由是：∵OE⊥AB，OF⊥CD，OA=OB，OC=OD，∴∠OEB=∠OFD=90°,∠EOB=∠AOB,∠FOD=∠COD∵∠AOB=∠COD，∴∠EOB=∠FOD，∵在△EOB和△FOD中，∠OEB＝∠OFD,∠EOB＝∠FOD,OB＝OD∴△EOB≌△FOD（AAS）∴OE=OF．如图，在⊙O中，AB，CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD,重足分别为E，F。CAFBEOD⑴如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？2121例2：（数学理解2）解：AB=CD，AB=CD，∠AOB=∠COD，理由是：∵OE⊥AB，OF⊥CD∴∠OEB=∠OFD=90°∵在Rt△BEO和Rt△DFO中，OB＝OD,OE＝OF∴Rt△BEO≌Rt△DFO（HL）∴BE=DF，由垂径定理得：AB=2BE，CD=2DF，∴AB=CD，∴AB=CD，∠AOB=∠COD．如图，在⊙O中，AB，CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD,重足分别为E，F。CAFBEOD⑵如果OE=OF那么AB与CD的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什么？∠AOB与∠COD呢？⌒⌒⌒⌒⌒⌒例2：（数学理解2）随堂练习2.利用一个圆及其若干条弦分别设计出符合条件的图案：（1）是轴对称图形但不是中心对称图形（2）是中心对称图形但不是轴对称图形（3）既是轴对称图形又是中心对称图形1.圆是轴对称图形.圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.2.圆也是中心对称图形.它的对称中心就是圆心.课时小结4.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。5.定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。3.顶点在圆心的角叫做圆心角.再见