3.2指数扩充及其运算性质

§2指数的运算与性质第二章函数1复习引入⑴在初中,我们学习过的整数指数幂是怎样定义的？即an=?a0=?a-n=?a0=an=1a-n=na1(a≠0,n∈N*).（a≠0）(n∈N*)答：零的零次幂没有意义零的负整数次幂没有意义aaaa(2)整数指数幂的运算性质是：①am·an=am+n(m,n∈Z)②(am)n=amn(m,n∈Z)；③(ab)n=anbn(n∈Z).注意：①--③都要遵守零指数幂、负整数指数幂的底数不能等于0的规定.【练一练】1.回答下列各题（口答）：①a2·a3=②(b4)2=③(m·n)3=.a5b8m3×n31.如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的；2.如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的.一般地，如果一个数的n（n1,n∈N*）次方等于a，那么这个数又叫做什么呢？叫做a的n次方根平方根立方根平方根立方根例如，若32=9，则3是9的；若53=125，则5是125的.答：【想一想】1.根式的概念一般地，如果一个数的n次方（n1,n∈N*）等于a，那么这个数叫做a的n次方根.式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数注意：若xn=a，则x叫做a的n次方根，其中n1,且n∈N*.也就是说：na当n是奇数时，实数a的n次方根用符号表示；当n是偶数时，正数a的n次方根用符号±表示.nana【练一练】1.填空：(1)27的3次方根表示为，(2)－32的5次方根表示为,(3)a6的3次方根表示为；(4)16的4次方根表示为，概念的理解•(1).25的平方根是________•(2).27的立方根是________•(3).-32的五次方根是_____•(4).16的四次方根是_______•(5).a6的三次方根是________•(6).0的七次方根是_______⒉方根的性质奇次方根的性质：在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数；负数的奇次方根是一个负数.偶次方根的性质：在实数范围内，正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数；负数的偶次方根没有意义.0的任何次方根都是0，记作=0.n0例1.求下列各式的值2334425(2)(2)(3)(1)(2)(3)(4)三、根式的运算性质：nna)()1、anna、)2为偶数，为奇数nana,(3)(0)npnmpmaaa、用语言叙述上面三个公式：⑴非负实数a的n次方根的n次幂是它本身.⑵n为奇数时，实数a的n次幂的n次方根是a本身；n为偶数时，实数a的n次幂的n次方根是a的绝对值.⑶若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变.()3=，()5=,()2=32753224433)2(55232)3(|-3|=3443-2227-32【课堂练习】1、下列根式的值为：2、求下列各式的值：33)8()1(2)10()2(44)3()3()()()4(2baba|-10|＝108)8()1(332)10()2(44)3()3(|3-|=-32)()4(ba|a-b|=a-b(ab)解：3.化简下列各式：⑴⑵⑶⑷⑸48x5322)32(4)3(42ba－29232x2ba:740740计算解:2274074052525252254.计算0,1,*,.nnnnabnnNabab已知化简解：当n是奇数时，原式=（a-b）+（a+b）=2a.当n是偶数时,原式=2ababbaaba所以,22nnnnaababan是奇数n是偶数5.化简325123226.求值22222x⑴.当n为任意正整数时，()n=a;⑵.当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=;⑶.（a≥0）.小结nnanna)0()0(aaaanmnpmpaana作业：101014.314.32552baba＋－－化简2：已知:3a=2，3b=5.则32a-b=_____1：1）整数指数幂是如何定义的？有何规定？an=a×a×a×……×a(n∈N*)n个aa0=1(a≠0)),0(1*Nnaaann2）整数指数幂有那些运算性质？(m、n∈Z)（1）am×an=am+n（2）(am)n=am×n（3）(ab)n=ambnam÷an=am×b－n=am－nnba=(a×b－1)n=an×b－nnnba3）根式又是如何定义的？有那些规定？如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根；如果一个数的立方等于a，则这个数叫做a的立方根；如果一个数的n次方等于a，则这个数叫做a的n次方根；na根指数根式被开方数a＞04）的运算结果如何？nna当n为奇数时，=a；(a∈R)nna当n为偶数时，nna=|a|aa00aaaann)(00n一，引入：1，的5次方根是________2,a12的3次方根是___________你发现了什么？1010255aaa1.2.1212433aaa510a再看下面几个变形：5210105(2)222；10102105222。12312333，15315333，mnnnkaaaaNnnnmkanmnm)()*),,1(,0（那么且你能得到什么结论？)0(),0()0(4545323221cccbbbaaa能否成立？规定正数的正分数指数幂3553*1616,33)1.,0()1(3553nNnmaaanmnm且)1*,,0(1)2(nNnmaaanmnm且（3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。二，分数指数幂的定义例1、用分数指数幂的形式表示下列各式:（式中a0）解：aa2)1(323)2(aaaa)3(311323323aaaa=25212212aaaa==aa2)1(323)2(aaaa)3(4321232121)()(aaaa题型一将根式转化分数指数幂的形式。（a0,b0)3.1aaa3433)273(.2ba43)(.3ba4329.4ba小结：1.当有多重根式是，要由里向外层层转化。2.对于有分母的，可以先把分母写成负指数幂。3.要熟悉运算性质。65a44383ba43)(ba8349ba551aa【课堂练习】4343aa53535311aaa32323211aaa1）2）3）4）第1题:【课堂练习】第2题:3232xx4343)()(baba(a+b0)3232)()(nmnm24)()(nmnm)0(25356pqpqp252133mmmmm（1）（2）（3）（4）（5）（6）分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质可以运用到分数指数幂，进而推广到有理数范围：),0,0()(),,0()(),,0(QrbabaabQsraaaQsraaaarrrrssrsrsr例3求值：、328、21100、3)41(.)8116(43101)10(1100121221==4328)1(232332322)2(=21100)2(=(2-2)-3=2(-2)(-3)=26=643)41)(3(43)8116)(4(827)32()32(3)43(4题型二分数指数幂求值,先把a写成nmanx然后原式便化为mnmnnmxxa)(（即：关键先求a的n次方根）4310000),1(32)27125(),2(23)4936(),3(。cbacba的值求已知2310,510,310,21010001259343216940【课堂练习】542323391（1）=54)2((2)=(3)=516135452272.用分数指数幂表示下列各式:【课堂练习】43a73x⑴=43a（2）=(x0)731x(3)=43)(baba4321)()(baba3、用分数指数幂表示下列各式:条件求值证明问题例2已知，求下列各式的值（1）（2）42121aa1aa21212323aaaa练习（变式）设的值。1332xxxx求小结1、分数指数幂的概念（与整数指数幂对比，有何差异，注意不能随意约分）.2、分数指数幂的运算性质，进而推广到有理数指数幂的运算性质。3、根式运算时，先化为指数形式进行运算，原式为根式的，再将结果化为根式。注意三点：