D8.1 多元函数的基本概念

第八章山东交通学院高等数学教研室第一节多元函数的基本概念一、平面点集、n维空间二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性目录上页下页返回结束高等数学δPP00一、平面点集、n维空间1平面点集:点集称为在平面上,),(),(0yxδPU(圆邻域)在空间中,),,(),(0zyxPU(球邻域)注:.)(0PU点P0的去心邻域记为δPP0平面上具有某种性质的点的集合.点P0的邻域.P若不需要强调邻域半径,也可写成目录上页下页返回结束高等数学(1)内点、外点、边界点设有点集E及一点P:若存在点P的某邻域U(P)E,若存在点P的某邻域U(P)∩E=,若对点P的任一邻域U(P)既含E内的点也含EE则称P为E的内点；则称P为E的外点;则称P为E的边界点.外的点,显然,E的内点必属于E,E的外点必不属于E,E的边界点可能属于E,也可能不属于E.2点与点集的关系目录上页下页返回结束高等数学(2)聚点若对任意给定的正数,E内总有E中的点,则称P是E的聚点.聚点可以属于E,也可以不属于E(因为聚点可以为所有聚点所成的点集成为E的导集.E的边界点)目录上页下页返回结束高等数学E(3)开区域及闭区域★若点集E的点都是内点,★若点集EE,★若点集E中任意两点都可用一完全属于E的折线相连,★开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称E是连通集;★连通的开集称为开区域,..★E的边界点的全体称为E的边界,★对点集E,则称E为有界集,否则称为无界集.简称区域;则称E为开集;记作E;则称E为闭集;若存在正数r,使得EU(O,r)目录上页下页返回结束高等数学例如，在平面上0),(yxyx41),(22yxyx0),(yxyx41),(22yxyx开区域闭区域xyOxy21OxyOxy21O目录上页下页返回结束高等数学整个平面点集1),(xyx是开集，是最大的区域,也是最大的闭域;但非区域.11xyO3n维空间n元有序数组的全体所构成的集合记作,nR即RRRRn中的每一个元素用单个粗体字母x等表示,nR称为点或n维向量.即目录上页下页返回结束高等数学定义:),,,(21nxxxx1122(,,,)nnxyxyxyxy线性运算xi称为x的第i个坐标或第i个分量.称为n维空间.Rn定义了线性运算的点集的距离定义为记作或1(,,)nyyy1(,,),nxxxnR中两点目录上页下页返回结束高等数学中点a的邻域为22212nxxxx,0Raxx满足与定元中的变元an.ax记作nR则称x.(1,2,,)kkxaknxa),,,(21naaaa设显然趋于a,1,2,3n时通常记作.x12(,,,)nxxxx与零元0的距离为特别地目录上页下页返回结束高等数学二、多元函数的概念引例:圆柱体的体积一定量理想气体的压强三角形面积的海伦公式cbahr目录上页下页返回结束高等数学定义1点集D称为该函数的定义域;数集(,)(,)zzfxy,xyD称为函数f的值域.类似地,映射称为定义在D上的二元函数,,xy称为自变量，因变量或,xy的函数.z称为或当时,可定义n元函数设非空点集可定义三元函数记作()fD目录上页下页返回结束高等数学xzy例如,二元函数221yxz定义域为1),(22yxyx圆域注:二元函数z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面.的图形为空间曲面.1O222)3arcsin(),(yxyxyxf1322yx4222yx例1的定义域.解:02yx2yx∴定义域为2Oyx2求函数目录上页下页返回结束高等数学三、多元函数的极限定义20(,)(,),PxyDUPδ则称A为函数(2)二元函数的极限也称为二重极限.注:22000()(),PPxxyy的极限可写作：Ayxf),(lim000(,)(,)lim(,)xyxyfxyA若存在常数A,对任意记作Ayxfyyxx),(lim00都有对任意正数,()=(,)fPfxy的定义域是D,在正数,设二元函数当是D的聚点.000(,)Pxy时的极限,或(1)若记二元函数总存目录上页下页返回结束高等数学例2)0(1sin)(),(222222yxyxyxyxf求证:.0),(lim00yxfyx证明:故0),(lim00yxfyx,0ε,022时当δyx22yxδ总有ε要证,ε设目录上页下页返回结束高等数学(3)),(yxP于不同的极限,则可以断定函数极限以不同方式趋于,),(000时yxP不存在.函数趋注:(1)以任何方式趋于),(yxP(,)fxy都无限接近于.A(2)若以某一特殊方式趋于时,),(yxP000(,)Pxy(,)fxy即使无限接近于某一确定值,也不能断定函数的极限存在.000(,)Pxy时,若当点二重极限存在是指:或有的极限不存在,目录上页下页返回结束高等数学设P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0),22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在点(0,0)的极限.),(yxf故则有21kkk值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.00lim(,)xyfxy000lim(,)lim(0,)0.yxxfxyfy00lim(,)0xyfxy显然例3讨论函数那么？0lim(,0)xfx0，解:目录上页下页返回结束高等数学仅知其中一个存在,不能推出其他二者存在.注:二重极限),(lim00yxfyyxx不同.如果它们都存在,如显然),(limlim00yxfyyxx与二次极限),(limlim00yxfyx,0但由例3知它在(0,0)点二重极限不存在.则三者相等.目录上页下页返回结束高等数学四、多元函数的连续性定义3()(,)fPfxy的定义域为D,00lim()()PPfPfP(,)fxy如果函数在D上各点处都连续,则称此如果否则称为不连续,此时称为间断点.则称二元函数函数在D上连续.连续；000(,),PxyD聚点0000(,)(,)lim(,)=(,)xyxyfxyfxy即0P在点不连续的意义？设二元函数目录上页下页返回结束高等数学如函数0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在点(0,0)极限不存在,函数上间断.122yx故(0,0)为其间断点.在圆周结论:一切多元初等函数在其定义区域内连续.多元初等函数：由常数及不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算,式子表示的多元函数.并且可以用一个目录上页下页返回结束高等数学例4证明:在全平面连续.证明:显然连续.又220yxyx)0,0(f故函数在全平面连续.由夹逼准则得目录上页下页返回结束高等数学定理：若f(P)在有界闭域D上连续,则)()2(Pf在D上可取得最大值M及最小值m;(3)对任意PD，(有界性定理)(最值定理)(介值定理)闭区域上多元连续函数有与闭区间上一元连续函数使.11lim00yxyxyx解:21例5求111lim00yxyx原式有类似的性质:目录上页下页返回结束高等数学内容小结1区域•邻域:,),(0δPU),(0δPU•区域连通的开集•空间nR2多元函数概念n元函数),,,(21nxxxf常用二元函数(图形为空间曲面)三元函数DP)(PfunR目录上页下页返回结束高等数学APfPP)(lim0,0ε,0δ0(,)PDUPδ若，有εAPf)(3多元函数的极限4多元函数的连续性(1)函数连续在0)(PPf)()(lim00PfPfPP(2)闭域上的多元连续函数的性质:有界定理;最值定理;介值定理(3)一切多元初等函数在定义区域内连续目录上页下页返回结束高等数学极限随k值不同而不同,令ykx42200limyxyxyx241kk22420limxkxxkx∴极限不存在练习:证明极限不存在224(,)(0,0)limxyxyxy证明:求极限2222(,)(0,0)1limsin()xyxyxy(2)(1)解:原式2222(,)(0,0)1lim()xyxyxy1.