欧式空间

1§2标准正交基§3同构§4正交变换§1定义与基本性质小结与习题§6对称矩阵的标准形§5子空间§7向量到子空间的距离─最小二乘法§8酉空间介绍2一、欧氏空间的定义二、欧氏空间中向量的长度三、欧氏空间中向量的夹角四、n维欧氏空间中内积的矩阵表示五、欧氏子空间第九章欧几里德空间3问题的引入：性质(如长度、夹角)等在一般线性空间中没有涉及.其具体模型为几何空间、23,RR1、线性空间中，向量之间的基本运算为线性运算，但几何空间的度量长度：都可以通过内积反映出来：,cos,夹角：2、在解析几何中，向量的长度，夹角等度量性质第九章欧几里德空间4满足性质：,,,VkR1(,)(,)2(,)(,)kk3(,),(,)4(,)0,当且仅当时0(,)0.一、欧氏空间的定义1.定义设V是实数域R上的线性空间，对V中任意两个向量、定义一个二元实函数，记作，若,(,)(,)（对称性）（数乘）（可加性）（正定性）第九章欧几里德空间5①V为实数域R上的线性空间;②V除向量的线性运算外，还有“内积”运算;(,).R③欧氏空间V是特殊的线性空间则称为和的内积，并称这种定义了内积的(,)实数域R上的线性空间V为欧氏空间.注：第九章欧几里德空间6例1．在中，对于向量nR1212,,,,,,,nnaaabbb所以为内积.(,)当时，1）即为几何空间中内积在直角3n3R坐标系下的表达式.即(,).这样对于内积就成为一个欧氏空间.nR(,)易证满足定义中的性质～.(,)141）定义1122(,)nnababab（1）第九章欧几里德空间72）定义1122(,)2kknnababkabnab从而对于内积也构成一个欧氏空间.nR(,)由于对未必有,V(,)(,)注意：所以1），2）是两种不同的内积.从而对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间.nR所以也为内积.(,)易证满足定义中的性质～.(,)14第九章欧几里德空间8例2．为闭区间上的所有实连续函数(,)Cab[,]ab所成线性空间，对于函数，定义(),()fxgx(,)()()bafgfxgxdx（2）则对于（2）作成一个欧氏空间.(,)Cab证：(),(),()(,),fxgxhxCabkR1.(,)()()()()(,)bbaafgfxgxdxgxfxdxgf2.(,)()()()()bbaakfgkfxgxdxkfxgxdx(,)kfg第九章欧几里德空间921)(,)(,),,(,)kkkkk2)(,)(,)(,)推广：11(,)(,)ssiiii3)(0,)02.内积的简单性质,,,VkRV为欧氏空间，第九章欧几里德空间102)欧氏空间V中，,(,)0V使得有意义.二、欧氏空间中向量的长度1.引入长度概念的可能性1）在向量的长度（模）.3R2.向量长度的定义,,(,)V称为向量的长度.特别地，当时，称为单位向量.1第九章欧几里德空间111)0;003.向量长度的简单性质2）非零向量的单位化：1.第九章欧几里德空间121）在中向量与的夹角3R2）在一般欧氏空间中推广（4）的形式，首先三、欧氏空间中向量的夹角1.引入夹角概念的可能性与困难应证明不等式：(,)1此即,,cosarc（4）第九章欧几里德空间13对欧氏空间V中任意两个向量，有、(,)（5）2.柯西－布涅柯夫斯基不等式当且仅当线性相关时等号成立.、第九章欧几里德空间141122nnababab,,1,2,,.iiabRin3.柯西－布涅柯夫斯基不等式的应用柯西不等式2222221212nnaaabbb（7）1）第九章欧几里德空间1522()()()()bbbaaafxgxdxfxdxgxdx施瓦兹不等式从而得证.2）（7）对欧氏空间中的任意两个向量有,、3）三角不等式第九章欧几里德空间16设V为欧氏空间，为V中任意两非零、向量，的夹角定义为、4.欧氏空间中两非零向量的夹角定义1：(,),cosarc0,设为欧氏空间中两个向量，若内积、,0则称与正交或互相垂直，记作.定义2：第九章欧几里德空间175.勾股定理设V为欧氏空间，,V222若欧氏空间V中向量两两正交，12,,,m推广：则22221212.mm(,)0,,,1,2,,ijijijm即第九章欧几里德空间18例3、已知2,1,3,2,1,2,2,1在通常的内积定义下，求,(,),,,.解：2222,21321832(,)211232210,2又1,1,5,1222211512827通常称为与的距离，记作(,).d第九章欧几里德空间19设V为欧氏空间，为V的一组基，对V中12,,,n任意两个向量四、n维欧氏空间中内积的矩阵表示1122nnxxx1122nnyyy令(,),,1,2,.ijijaijn1111(,)(,)(,)nnnniijjijijijijxyxy（8）第九章欧几里德空间20定义：矩阵111212122212(,)(,)(,)(,),(,)(,)(,)(,)nnnnnnA称为基的度量矩阵.12,,,n1122,,ijnnnnxyxyAaXYxy（9）则11(,)nnijijijaxyXAY（10）第九章欧几里德空间21①度量矩阵A是实对称矩阵.②由内积的正定性，度量矩阵A还是正定矩阵.注：事实上，对，即,0V0X有(,)0XAXA为正定矩阵.③由（10）知，在基下，向量的内积12,,,n由度量矩阵A完全确定.第九章欧几里德空间22欧氏空间V的子空间在V中所定义的内积之下也是一个欧氏空间，称之为V的欧氏子空间.五、欧氏空间的子空间第九章欧几里德空间23作业习题九1选做P39312.2)第九章欧几里德空间24一、正交向量组二、标准正交基三、正交矩阵第九章欧几里德空间25设Ｖ为欧氏空间，非零向量12,,,,mV①若则是正交向量组.0,②正交向量组必是线性无关向量组.一、正交向量组定义：如果它们两两正交，则称之为正交向量组.注：第九章欧几里德空间26④维欧氏空间中正交向量组所含向量个数.nn③欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组．12(,)10.12(1,1,0),(1,0,1)例如：中3R线性无关．但不是正交向量组.12,第九章欧几里德空间27补例P3934第九章欧几里德空间281.几何空间中的情况3R在直角坐标系下(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)ijk是由单位向量构成的正交向量组，即二、标准正交基(,)(,)(,)0,ijjkki,,ijk是的一组基.3R||||||1ijk第九章欧几里德空间29设3111222,xiyjzkxiyjzkR①从111(,),(,),(,)ixjykz②121212(,)xxyyzz③222111||xyz(,)(,)(,)iijjkk得④121212222222111222,arccosxxyyzzxyzxyz即在基下，中的与内积有关的度量性质有,,ijk3R简单的表达形式.第九章欧几里德空间30维欧氏空间中，由个向量构成的正交向量组nn称为正交基；2.标准正交基的定义由单位向量构成的正交基称为标准正交基.注：①由正交基的每个向量单位化，可得到一组标准正交基.第九章欧几里德空间31②维欧氏空间V中的一组基为标准正交基n1,,n③维欧氏空间V中的一组基为标准正交基n1,,n当且仅当其度量矩阵(,).ijnAE1(,),1,2,,0ijijijnij，(1)④维欧氏空间V中标准正交基的作用:n设为V的一组标准正交基，则1,,n第九章欧几里德空间32(i)设1122nnxxxV由(1)，(,).iix(ii)11221(,)nnniiixyxyxyxy(3)这里1122nnxxx，1122.nnyyy(iii)221||nxx1122(,)(,)(,)nn有(2)第九章欧几里德空间33(定理1)维欧氏空间中任一个正交向量组都能n扩充成一组正交基.证：设欧氏空间Ｖ中的正交向量组，12,,,m对作数学归纳法．nm当时,0nm3.标准正交基的构造─施密特(Schmidt)正交化过程12,,,m就是一组正交基了.1）第九章欧几里德空间3412,,,k使1212,,,,,,,mk假设时结论成立，即此时可找到向量nmk成为一组正交基.现在来看的情形.1(1)nmk所以必有向量不能被线性表出，12,,,m11122mmmkkk,mn因为作向量待定．ikR(0)第九章欧几里德空间35从正交向量组的性质知1(,)(,)(,),1,2,,.imiiiikim于是取(,)1,2,,,(,)iiiikim,1(,)01,2,,.imim,即为正交向量组．121,,,,mm由归纳法假设知，对这个向量构成的正交组1m可得可扩充得正交基.于是定理得证．第九章欧几里德空间362）都可找到一组标准正交基使12,,,,n1212(,,,)(,,,),1,2,,iiLLin(定理2)对于维欧氏空间中任一组基12,,,nn第九章欧几里德空间37Schmidt正交化过程:11,11(,),2,3,,;(,)jjijjiiiijm1,1,2,,||iiiim12,,,.m化成正交向量组先把线性无关的向量组1,,m1再单位化得标准正交向量组12,,,.m22122111(,),(,)第九章欧几里德空间38例1.把12(1,1,0,0),(1,0,1,0),34(1,0,0,1)(1,1,1,1)变成单位正交的向量组.11(1,1,0,0)2122111(,)(,)313233121122(,)(,)(,)(,)解：令43414244123112233(,)(,)(,)(,)(,)(,)(1,1,1,1)正交化11(,,1,0)22111(,,,1)333第九章欧几里德空间391111||2221||再单位化3331||4441||即为所求．1234,,,11(,,0,0)22112(,,,0)6661113(,,,)121212121111(,,,)2222第九章欧几里德空间40补例2P3938第九章欧几里德