二次函数,与一元二次方程的关系

二次函数与一元二次方程的关系1一元二次方程-5t2+40t=0的根为：。2一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=。当△﹥0方程根的情况是：；当△=0时，方程；当△﹤0时，方程。b2-4ac有两个不等实数根有两个相等实数根没有实数根t1=0，t2=83二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)图像是一条，它与x轴的交点有几种可能的情况？抛物线三种可能：①两个交点②一个交点③没有交点。复习提问一、探究探究1、求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点A、B的坐标。解：∵A、B在轴上，∴它们的纵坐标为0，∴令y=0，则x2-3x+2=0解得：x1=1，x2=2；∴A（1，0），B（2，0）你发现方程的解x1、x2与A、B的坐标有什么联系？x2-3x+2=0结论1：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线y=x2-3x+2与x轴的两个交点的横坐标。因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的。即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2，则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（），B（）x1，0x2，0xOABx1x2y探究2、抛物线与X轴的交点个数能不能用一元二次方程的知识来说明呢？b2-4ac＜0OXYb2-4ac=0b2-4ac0结论2：抛物线y=ax2+bx+c抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：1、b2-4ac＞0一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根与x轴有两个交点——相交。抛物线y=ax2+bx+c2、b2-4ac=0一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根与x轴有唯一公共点——相切（顶点）。抛物线y=ax2+bx+c3、b2-4ac＜0一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根与x轴没有公共点——相离。判别式Δ＝b2-4acy=ax2+bx+c(a≠0)ax2+bx+c=0(a≠0)图像分布a＞0a＜0aacbb242aacbb242abx21abxx221图象与x轴有两个不同的交点(x1,0)(x2,0),且x1,2=方程有两个不相等的实数根x1,x2,且x1,2=图象与x轴有唯一交点(x1,0)，且方程有两个相等的实数根x1,x2，且图象与x轴无交点方程无实数根Δ＜0Δ＝0Δ＞0一般地，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值为0时自变量x的值，也就是函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标。二、基础训练1、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则a=；若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是；若抛物线与坐标轴有两个公共点，则a的范围是；3、已知抛物线y=x2+px+q与x轴的两个交点为（-2，0），（3，0），则p=，q=。2、已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴最多只有一个交点，则a的范围是。4、判断下列各抛物线是否与x轴相交，如果相交，求出交点的坐标。（1）y=6x2-2x+1（2）y=-15x2+14x+8（3）y=x2-4x+46、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象全部在轴下方的条件是（）（A）a＜0b2-4ac≤0（B）a＜0b2-4ac＞0（C）a＞0b2-4ac＞0（D）a＜0b2-4ac＜0D2.已知二次函数的y=-x2+2x+m的部分图象如图,则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为_____13Oyx3.关于x的一元二次方程x2-x-n=0没有实数根，则抛物线y=x2-x-n的顶点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限4.二次函数的y=ax2+bx+c的图象如图,①c=0②函数的最小值为3，③方程ax2+bx+c=0的两个根为0和4④当x＜0时，y＞0，⑤当0＜x1＜x2＜2时，y1＞y2其中正确的个数为（）A.2B.3C.4D.52-3Oyx能力提升5.已知二次函数y1＝ax2＋bx＋c（a≠0)与一次函数y2＝kx＋m(k≠0)的图象相交于点A(－2,4)，B(8,2)（如图所示），则能使y1＞y2成立的x的取值范围是＿＿＿＿＿xyOy2y1ABx＜－2或x＞8－28能力提升小试牛刀答案：(1)△＞0,函数的图象与x轴有两个交点,(2)△＝0,函数的图象与x轴有一个交点,(3)△＜0,函数的图象与x轴没有交点。22.(1)(1)1ymxmx若函数的图象与x轴只有一个公共点,求m的值.22212:(1)1,(1)10,(1)4(1)01,3.10,1,3.mxxmxmmmmammm解析二次函数y=(m+1)x的图象与轴只有一个公共点方程(m+1)x有两个相等的实数根即解之得又的值为2221.,(1);(2)69;(3)3611.xyxxyxxyxx试判断下列各函数的图象与轴有没有公共点并说明理由。三、例题推荐1、已知二次函数y=x2-kx-2+k.(1)求证:不论k取何值时，这个二次函数y=x2-kx-2+k与x轴有两个不同的交点。(2)如果二次函数y=x2-kx-2+k与轴两个交点为A、B，设此抛物线与y轴的交点为C，当k为6时,求S△ABC.2、已知抛物线y=x2+2x+m+1。（1）若抛物线与x轴只有一个交点，求m的值。（2）若抛物线与直线y=x+2m只有一个交点，求m的值。3、已知是x1、x2方程x2-（k-3）x+k+4=0的两个实根，A、B为抛物线y=x2-（k-3）x+k+4与x轴的两个交点，P是y轴上异于原点的点，设∠PAB=α，∠PBA=β，问α、β能否相等？并说明理由.AOBPXYαβ4、已知抛物线y=x2-（m2+8）x+2（m2+6）.求证:不任m为何实数,抛物线与x轴都有两个不同的交点,四、小结1、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是A（x1，0），B（x2，0）2、若一元二次方程ax2+bx+c=0与二次三项式ax2+bx+c及二次函数y=ax2+bx+c这三个“二次”之间互相转化的关系。体现了数形结合的思想。