1.1.2余弦定理(课堂使用)

正弦定理：CcBbAasinsinsinR2可以解决两类有关三角形的问题?（1）已知两角和任一边。（2）已知两边和一边的对角。CRcBRbARasin2,sin2,sin2变型：BAbaBACBAcbasinsinsin:sin:sin::复习回顾莘县一中高一数学组教学目标1、了解用向量法证明余弦定理的过程2、能够从余弦定理得到它的推论3、掌握用余弦定理及推论解三角形﹚Abccbacos2222﹚探究：若△ABC为任意三角形，已知角C，a,b,求边c.cABbCAaCB,,设)()(babaccc2babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量减法的三角形法则得Cbabacos222bac﹚Baccabcos2222余弦定理Abccbacos2222babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量减法的三角形法则得Cbabacos222探究：若△ABC为任意三角形，已知角C，a,b,求边c.cABbCAaCB,,设bac向量法)()(babaccc2余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222利用余弦定理可以解决什么类型的三角形问题？CBAbac归纳利用余弦定理，可以解决：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边及夹角，求第三边和其他两个角。（3）判断三角形的形状。余弦定理已知三边,怎样求三个角呢？Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222bcacbA2cos222acbcaB2222cosabcbaC2cos222推论：CBAbac思考1：一、已知三角形的两边及夹角求解三角形的值和边、求角中，已知、在例aCBAcb,30,32,3ABC1Abccbacos2222解：由余弦定理知，3a得由正弦定理BbAasinsin233213sinBsinaAb330cos323232322CABabc60,Bcb90180CBA________,60,1,31aAcb则、若_____AC,43cos1BC2ABABC2则，，中，、在C72变式：CBAbac例2、在△ABC中，已知a=,b=2,c=,解三角形(依次求解A、B、C).解：由余弦定理得22222223161222231()()cos()bcaAbc60A45B180180604575CAB631二、已知三角函数的三边解三角形22)13(622)13()6(2cos222222acbcaB__________,2,1,3.1AcbaABC则中，若在三角形30120.13545.60.________,.2222DCBACabbcaABC或的大小为则角中，在三角形60变式：A60212cos2cos222222CababCabbcaabcbaC解析：CBAbac由推论我们能判断三角形的角的情况吗?bcacbA2cos222推论：CBAbac思考2：已知三角形形状，讨论边的取值范围。已知三角形形状，讨论边的取值范围。bacacbcbacbaABC,,,,1的三边为2当△ABC直角三角形时（cab）222bac当△ABC为钝角三角形时（cba）0222cba当△ABC为锐角三角形时（cba）0222cba当△ABC为锐角三角形时000222222222bacacbcba例3、在△ABC中，若，则△ABC的形状为（）222cbaＡ、钝角三角形Ｂ、直角三角形Ｃ、锐角三角形Ｄ、不能确定那呢?222cba三、判断三角形的形状三角形三边长分别为4,6,8，则此三角形为（）Ａ、钝角三角形Ｂ、直角三角形Ｃ、锐角三角形Ｄ、不能确定a,a+1,a+2构成钝角三角形，求a的取值范围。思考：判断三角形的形状1．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为()A.43B．8－43C．1D.23课前热身解析：由(a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4.①由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcosC＝2abcos60°＝ab，②将②代入①得ab＋2ab＝4，即ab＝43.答案：A例4在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，试证明：a=bcosC+ccosB证明由余弦定理知：，abcbaC2cos222cabacB2cos222右边=cabaccabcbab22222222abacacba22222222aa222左边aABCDcbasinsin()sincoscossincoscosABCBCBCabCcC另证提示边角互化BAbatantan22练习.在ABC中，已知,判断三角形的形状。解(略)等腰三角形或直角三角形练习2，在△ABC中，已知（a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sin2A=sinBsinC,判断三角形的形状。1、在△ABC中，cosAcosBsinAsinB,则△ABC为A、等边三角形B、直角三角形C、等腰三角形D、等腰三角形或直角三角形C（事实上，C为钝角，只有C项适合）2、在△ABC中，sin2A=sin2B+sinBsinC+sin2C,则A等于A、30oB、60oC、120oD、150oC3ABCB=30,b=503,c=150,ABC、在中，已知那么是A、等边三角形B、直角三角形C、等腰三角形D、等腰三角形或直角三角形D巩固提高tanAsinA4ABC=,___________tanBsinB、中，那么三角形是等腰三角形5、在△ABC中，A、B均为锐角，且cosAsinB,则△ABC是_______________钝角三角形6ABCsinA=2cosBsinC,ABC_______________、在中，那么是等腰三角形2222227ABCAB=a+b,AC=a+c,BC=b+c,a,b,c0,ABC____、已知中，其中那么是角三角形。锐0sin(90)sinAB即3．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinB·sinC，则A的取值范围是()解析：由已知及正弦定理，有a2≤b2＋c2－bc.而由余弦定理可知，a2＝b2＋c2－2bccosA，于是b2＋c2－2bccosA≤b2＋c2－bc，可得cosA≥12.注意到在△ABC中，0＜A＜π，故A∈0，π3.答案：CA.0，π6B.π6，πC.0，π3D.π3，π能力提高—————————————————1.三角形形状的判断思路判断三角形的形状，就是利用正、余弦定理等进行代换、转化，寻求边与边或角与角之间的数量关系，从而作出正确判断.(1)边与边的关系主要看是否有等边，是否符合勾股定理等；(2)角与角的关系主要是看是否有等角，有无直角或钝角等.2.判定三角形形状的两种常用途径①通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；②利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断.作业利用正、余弦定理判断三角形的形状[例1]在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断△ABC的形状．[自主解答]∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2sinAcosB·b2＝2cosAsinB·a2，即a2cosAsinB＝b2sinAcosB.法一：由正弦定理知a＝2RsinA，b＝2RsinB，∴sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB，又sinA·sinB≠0，∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B.在△ABC中，0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝π2.∴△ABC为等腰或直角三角形．法二：由正弦定理、余弦定理得：a2bb2＋c2－a22bc＝b2aa2＋c2－b22ac，∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0.即a＝b或a2＋b2＝c2.∴△ABC为等腰或直角三角形．若将条件改为“sinB＝cosAsinC”，试判断△ABC的形状．解：∵sinB＝cosA·sinC，∴b＝b2＋c2－a22bc·c，即b2＋a2＝c2，∴△ABC为直角三角形．综合训练例1．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.解：(1)∵2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC，得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，∴A＝60°.(1)求角A的大小；(2)若sinB＋sinC＝3，试判断△ABC的形状．(2)∵A＋B＋C＝180°，∴B＋C＝180°－60°＝120°.由sinB＋sinC＝3，得sinB＋sin(120°－B)＝3，∴sinB＋sin120°cosB－cos120°sinB＝3.∴32sinB＋32cosB＝3，即sin(B＋30°)＝1.又∵0°＜B＜120°，30°＜B＋30°＜150°，∴B＋30°＝90°，即B＝60°.∴A＝B＝C＝60°，∴△ABC为正三角形．1．(2012·新课标全国卷)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋3asinC－b－c＝0.解：(1)由acosC＋3asinC－b－c＝0及正弦定理得sinAcosC＋3sinAsinC－sinB－sinC＝0.因为B＝π－A－C，所以3sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.由于sinC≠0，所以sinA－π6＝12.又0＜A＜π，故A＝π3.(2)△ABC的面积S＝12bcsinA＝3，故bc＝4.而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.解得b＝c＝2.2．已知A、B、C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a、b、c，且2cos2A2＋cosA＝0.(1)求角A的值；(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．解：(1)由2cos2A2＋cosA＝0，得1＋cosA＋cosA＝0，即cosA＝－12，∵0Aπ，∴A＝2π3.(2)由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA，A＝2π3，则a2＝(b＋c)2－bc，又a＝23，b＋c＝4，有12＝42－bc，则bc＝4，故S△ABC＝12bcsinA＝3.作业ABC1ABCa=4,b=5,S=53,c、在中，已知求的值。1S=absinC,a=4,b=5,S=532解：2S3sinC==C=60120ab2或222C=60c=a+b-2abcosC=16+25-20=21c=21222C=120c=a+b-2abcosC=16+25+20=61c=61（三维）[2](2010·辽宁卷)在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边