互协方差函数

1§1.1引言2收音机接收的信号电阻上的热噪声电压飞机轰炸目标的着地点抛硬币的观测结果1．什么是随机信号？3随机信号的描述方法概率分布函数，概率密度函数随机信号统计平均量：等信号模型{xxxxrm,,24随机信号的概念随机信号是状态、时间的二元函数（1）t定，一个随机变量（2）s定，一个时间函数（3）t,s定，确定值（4）t,s不定，随机信号5St6（1）随机序列中的任何一个点上的取值都是不能事先精确确定的随机变量；（2）随机序列可以用它的统计平均来表征；（3）平稳随机序列是无限持续期，无限能量的时间序列。2．随机信号的特点7§1.2随机信号的时频域（统计）表达8一、平稳过程与严平稳过程9其统计特性与所选取的时间起点无关。12121212,(,,,;,,,)(,,,;,,,)XnnXnnFxxxtttFxxxttt严平稳随机序列10常数（宽）平稳随机序列1212212()(,)()()()()xxxxExtrttExtxtrttExt11二．统计平均量12离散信号连续信号llniiiExxpx()llnExxpxdx原点距13离散信号连续信号llnniiiiExExxExpx([])([])()llnExExxExpxdx中心距14特征函数jxCpxedx15常用的数字特征量均值：直流分量均方值：平均功率方差：交流功率nxniiimExxpx22niiiExxpx2222nnxnnnxExExExm16自相关函数的定义*'*''*xxxxxxrmExnxnmrmExnxnmrmExnxnm17实平稳信号'''xxxxxxrmrmrm11121212,,;xxnnmrmExxxxpxxmdxdx18自协方差函数1211**2()()()()()xxnxnxnxnmxxxxCmExmxmExmxmrmm19对于均值为零的随机过程xxxxrmCm自相关函数或自协方差函数是时域内表征一个随机过程最重要的统计量。20互相关函数**,;xynnmrmExyxypxymdxdy21互协方差函数**xynxnmyxyxyCmExmymrmmm22一般信号的处理信号预处理均值为零的处理后续处理23三.自相关函数与自协方差函数的性质24性质1:当2xxxxxCmrmm*xyxyxyCmrmmm0xmxxxxxyxyCmrmCmrm25性质2：20xxnrEx222200xxxxxnxxCrmExm26性质3：**xxxxxxxxrmrmCmCm27性质4**xyyxxyyxrmrmCmCm28性质4证明:****xyyxrmExnynmExnynmrm29*********()(xyxyxyxyxyxyxyxyCmExnmynmmrmmmmmmmrmmm******()()yxyxyxyxyxyxxyxyCmEynmxnmmrmmmmmmmrmmm30性质5：00xxxxxxxxrmrCmC31性质5证明:2****0ExnxnmExnxnxnmxnmxnxnmxnxnm**202000cos0xxxxxxxxxxxxjjxxxxxxxxxxxxxxxxrrmrmrrmrmrmrmermrmerrmrrm32性质6：若则ynxnkyyxxyyxxrmrmCmCm33性质7:**limxxnnmnnmmrmExxExEx2xm2*limlim0limlim0xxxxxmmxyxymxymCmrmmrmmmCm34如果随机过程为一向量其均值向量自协方差矩阵互协方差矩阵,Txxx12NX=,,12,,,TNEExExExXTEXEXXEXCovXTEXEXYEYCovX,Y35性质8.非负性当是实函数,取一组离散时刻和一组对应任意实数，则必有当是复函数,相对应的自相关函数也是复数xt12,,,Nttt12,,,Nkkk110NNijxxijijkkrttxt*110NNijxxijijkkrtt36四、遍历性、时间平均37随机过程具备遍历性，可以理解为随机过程各样本函数都同样地经历了随机过程的各个状态。38时间均值时间自相关函数1lim2TTTAxtxtxtdtT1,lim2TxxTTArttxtxtxtxtdtT1.时间平均39的各种时间平均(T足够长)依概率1收敛于相应的集合平均。xt2.严遍历过程的意义40(1)式表示均值具有遍历性(2)式表示自相关函数具有遍历性当(1)式、(2)式同时依概率1成立，该随机过程是宽遍历的。(1)(2)AxtxtExtmxArxtxtExtxtrxxxx3．宽遍历过程41遍历性随机过程的时间平均趋于一个确定量，表明遍历过程样本函数的时间平均可以认为是相同的。由此可以由它的任一样本函数的时间平均代替对整个过程统计平均的研究。4．意义42遍历性随机信号一定是平稳随机信号，而平稳过程不一定是遍历性过程。后面我们所分析的信号都是遍历性随机信号。遍历性与平稳性的关系43五、功率谱密度441．复频域11()(),(,)2()()mxxxxxxmxxxxmrmSzzdzCRRjSzrmz维纳——辛钦定理452.频域mmjxxjxxmjjxxxxemrePdeePmr)()()(21)(2{46实平稳随机信号①偶函数②实函数③极点互为倒数出现xxxxrmrmjjxxxxPePejjxxxxPePe1xxxxSzSz3．性质47④功率谱在单位圆上的积分等于平均功率⑤非负性102jxxxxExrPed248六．特定的离散时间随机过程49N维密度概率函数nx11211expvar22varTpxXmXXmX1212,,,,,,NTNxxxXxxxmmmm1.实正态高斯过程50112121221222222*varNNNNNnnnmnmxxxxxxxxxxxxxxxxnxxxnxmxXExmExmxm51最随机序列，均值为零，白噪声信号任意不同两点之间互不相关。1.2.平稳白噪声22,10,nnmnxxxxmnnmrnm2nmxxmnr2jxxPe2.白噪声序列52理想白噪声；信号带宽系统带宽，且在系统的带宽内，信号的频谱基本恒定，可以将信号看作白噪声。3产生53白噪声是随机性最强的信号，功率谱是恒定的常数，它包含了所有频率成分而且强度相等。借助于光学上白光的概念，名称由此而来。4含义54正态：分布特性，信号的取值服从的规律；白色：不同时刻取值的关联性，白噪声是随机性最强的随机序列；高斯限带白噪声：服从高斯的白噪声。正态与白色是两个概念55不相关正交统计独立0xyCm0xyrmPABPAPBPAPBA随机变量与的关系:XY56其中，是常数；服从均匀分布的随机变量。1cosNiiiixnAn,1,2,,,iiAiN1,2,,iiN3．谐波过程57可以证明：谐波过程是平稳的。21,01,cos2xxNExnrnnmAm581.3线性系统对随机信号的响应59线性时不变系统的模式图：平稳随机过程：LTI系统：平稳随机过程输入平稳，输出平稳，且输入输出联合平稳。xnynhnxnhnyn60确定性信号:ynxnhn611.均值0ynkkxkjxmEyEhkxnkhkExnkmhkmHe622.输入与输出的关系*xyrmExnynm***kkxxkxxExnhkxnmkhkExnxnmkhkrmkhmrm632.输入与输出的关系**xyxxrmExnynmhmrmxyxxjjjxyxxSzHzSzPeHePe643.输出信号的自相关函数****yyklxxklrmEynynmEhkxnkhlxnmlhkhlrmlk65令，则令rlklrk*yyxxrkrmrmrhkhrk**rkrvrhkhrkhrhr*vrhrhr66则输出的自相关函数=输入的自相关函数系统单位脉冲响应的自相关函数yyxxrrmrmrvr1xxrmvm*67对(1)两边作ZT*1yyxxyyxxSzSzVzSzSzHzHz68设为实信号，上式可以写为hn1yyxxSzSzHzHz1*jzeHzHz*2jjjjyyxxjjxxPePeHeHePeHe69功率谱密度非负性22100212jyynyyjjxxrEyPedHePed70设为理想带通滤波器jHe()iHeabba--21000bajyyxxjxxEynrPedPe714．相关卷积定理72i.e.与卷积的自相关=的自相关的自相关简言之，卷积的相关=相关的卷积xnhnxnhn**yyxxnrmrmvmvmhmhmhnhnm73相关卷积定理则即:卷积的相关=相关的卷积enanbnfncndnefacbdrnrnrn74ex1重新计算输入与输出的互功率谱xyxxSzSzHzxnxnnynxnhn*x