第2章_拉普拉斯变换的数学方法_详细

山东理工大学ShandongUniversityofTechnology18:30:341机械工程学院SchoolofMechanicalEngineeringControlEngineeringFoundation工程数学基础2-1复数和复变函数2-2拉氏变换与拉氏反变换的定义2-3典型时间函数的拉氏变换2-4拉氏变换的性质2-5拉氏反变换的数学方法2-6用拉氏变换解常微分方程18:30:342本章学习要求、重点、难点学习要求掌握拉普拉斯变换和反变换的定义。掌握典型时间函数的拉氏变换。掌握拉氏变换的主要性质。掌握拉氏反变换的部分分式法。掌握用拉氏变换解常微分方程的方法。本章重点典型时间函数的拉氏变换拉氏变换的主要性质拉氏反变换的部分分式法。本章难点拉氏变换的性质18:30:343(cossin)jsjrjre1.复数的概念2.复数的表示法3.复变函数、极点与零点的概念18:30:3442-1复数和复变函数1.复数(complexnumber)的概念18:30:345两个复数相等的条件：实部和虚部分别相等。s1=σ1+jω1s2=σ2+jω2若s1=s2，则必有σ1=σ2，ω1=ω2。一个复数等于0的条件：其实部和虚部均为零。s1=σ+jω与s2=σ−jω互为共轭复数。RealpartImaginarypart其中𝑗=−1，称为虚数单位。σ、ω均为实数，表示成σ=Re(s)，ω=Im(s)【注】虚部不包括虚数单位，但包含正负号。一个复数s由实部σ和虚部ω构成，其代数式为s=σ+jω21j32jjjj2-1复数和复变函数2.复数的表示法代数表示法s=σ+jω坐标表示法向量表示法三角表示法复指数表示法18:30:346111sj222sjσ1σ2jω1jω2σ实轴虚轴jω0图2-1坐标表示法图2-2向量表示法jωσ0θ1r1=|s1|θ2r2=|s2|辐角模/绝对值22rsarctanarctan虚部实部复平面s平面辐角逆时针为正。辐角的主值：[0，2π]σ1σ2jω1jω22-1复数和复变函数三角表示法由图2-2可知σ=rcosθ，ω=rsinθ因此s=rcosθ+jrsinθ=r(cosθ+jsinθ)【注】e±jθ的模为1，辐角为±θ。复指数表示法欧拉公式：e＋jθ=cosθ＋jsinθe－jθ=cosθ－jsinθ因此s=rejθ18:30:347三角表示法复指数表示法1cos()21sin()2jjjjeeeej2-1复数和复变函数例2-1复数s=−3+j4的各种表示法。18:30:348−3j4σjω0坐标表示法向量表示法σjω05126.9º5(cos126.9sin126.9)sj126.92.214355jjsee三角函数表示法复指数函数函数表示法2-1复数和复变函数复数的模和辐角的运算规律两个复数相乘，结果的模等于这两个复数的模的相乘；结果的辐角等于这两个复数辐角相加。两个复数相除，结果的模等于这两个复数的模相除；结果的辐角等于这两个复数的辐角相减（分子减分母）。以上结论可以推广到n个复数相乘或相除的情况。18:30:349例2-2123468sjsj，221122224||345arctan34||6810arctan3ss，，3123121441224||||||502arctan3||51||0||102ssssss，=，1423468sjssj31234)(68)sssjj=(2-1复数和复变函数3.复变函数(ComplexFunction)、极点与零点的概念18:30:3410实部：u=f1(σ，ω)虚部：v=f2(σ，ω)模：辐角：同样可以采用坐标表示法、向量表示法、三角函数表示法和复指数表示法。实部虚部22()fsuvarctanvu复变函数以复数s=σ+jω为自变量，按某一确定规律构成的函数f(s)称为复变函数（复变量复值函数的简称）。复变函数的函数值一般也为复数(实数是复数的特例），可写成f(s)=u+jv2-1复数和复变函数例2-2有复变函数G(s)=s2+1当s=σ+jω时，求其实部u、虚部v、模及幅角。解：18:30:3411222222()1()121(1)2Gssjjj2212uv222222()(1)(2)Gsuv222()arctanarctan1vGsu模幅角2-1复数和复变函数例2-2有复变函数G(s)=s2+2s+3当s=σ+jω时，求其实部u、虚部v、模及辐角。解：18:30:341222222()()2()32223(23)2(1)Gsjjjjj22232(1)uv222222()(23)[2(1)]Gsuv222(1)()arctanarctan23vGsu模辐角2-1复数和复变函数复变函数的零点：使复变函数值等于0的s点。复变函数的极点：使复变函数值等于∞的s点。例如，有下列复变函数：18:30:341310(1)(2)()(3)(45)(45)ssGssssjsj当s＝1，−2时，G(s)＝0，所以1、−2为G(s)的零点。当s＝0，−3，−4+j5，−4−j5时，G(s)＝∞，所以0、−3、−4+j5、−4−j5为G(s)的极点。1.拉氏变换（全称：拉普拉斯变换）2.拉氏反变换（全称：拉普拉斯反变换）18:30:34142-2拉氏变换与拉氏反变换的定义简介拉普拉斯变换是以法国著名的数学家和天文学家拉普拉斯名字命名的积分变换，最早是用于解决电力工程计算中遇到的一些基本问题，后来逐渐地在电学、力学、控制工程等系统分析中得到了广泛的应用，是研究以输入—输出描述的连续线性时不变系统的强有力工具（在离散系统、非线性系统、时变系统的研究中无能为力）。18:30:3415Laplace（1749-1827）法国数学家、天文学家，法国科学院院士。是天体力学的主要奠基人、天体演化学的创立者之一，还是分析概率论的创始人。2-2拉氏变换与拉氏反变换的定义1.拉氏变换(LAPLACETRANSFORMATION)的定义设实变量函数f(t)在t≥0时有定义，且广义积分在s的某一区域内收敛，则由此积分确定的函数称为f(t)的拉普拉斯变换（简称拉氏变换），记为18:30:34160()[()]()dstFsLftftet像函数表示对f(t)做拉氏变换原函数0()dstftet这里s=σ+jω为复变量，称为拉普拉斯算子（其中σ、ω为实变量），所以F(s)一般为一复变函数。f(t)称为“原函数”（本课程中f(t)一般是时间的函数），F(s)称为“像函数”。2-2拉氏变换与拉氏反变换的定义1.拉氏变换(LAPLACETRANSFORMATION)的定义【注1】上述拉普拉斯变换的积分下限取0，这样定义的拉普拉斯变换也称为单边拉普拉斯变换。本教材全部采用这一定义。双边拉普拉斯变换的定义如下：18:30:3417()[()]()dstFsLftftet如果f(t)在t＜0时为0，则单边拉普拉斯变换与双边拉普拉斯变换相等。如果没有特殊说明，本课程的时域信号一律假设为“f(t)在t＜0时为0”。2-2拉氏变换与拉氏反变换的定义1.拉氏变换(LAPLACETRANSFORMATION)的定义【注2】如果在t=0处包括冲激函数，则拉普拉斯变换的积分下限应该修改成0−或0+，以表明积分区间是否包括该冲激函数。例如：18:30:3418f(t)t0在t＝0处有冲激函数0()[()]()dstFsLftftet包含冲激函数0()[()]()dstFsLftftet不包含冲激函数式中0-代表从负方向趋于00+代表从正方向趋于02-2拉氏变换与拉氏反变换的定义1.拉氏变换(LAPLACETRANSFORMATION)的定义【注3】一个函数f(t)的拉普拉斯变换是否存在是有条件的（见下一页）。18:30:34192-2拉氏变换与拉氏反变换的定义单边拉普拉斯变换的存在条件：如果f(t)满足下面二个条件，那么它的单边拉普拉斯变换存在。实变量的复值函数f(t)和f'(t)在t≥0上除掉有第一类间断点（即在任一有限区间上至多有有限多个间断点）外连续，或者说f(t)在t≥0的任何有限区间上分段连续；18:30:3420图2-3在[a，b]上分段连续0f(t)tba2-2拉氏变换与拉氏反变换的定义当t→∞时，f(t)的增长速度不超过某一指数函数，也就是说可以找到常数α和M＞0,使得|f(t)|≤Meαt(t≥0)只要是在复平面上对于Re(s)＞α（即σ＞α）的所有复数s，都能使拉氏变换的积分绝对收敛，则Re(s)＞α为拉氏变换的收敛域（或称解析域），α称作收敛坐标，见图2-4。18:30:3421图2-4拉氏变换定义域α0Im(s)Re(s)收敛域【注】教材11页图2-4中的ω应为s。2-2拉氏变换与拉氏反变换的定义第二个条件证明如下：设s=σ+jω，则18:30:3422tsttjteeee所以()()()tststftfteftee如果()()()ttttstfteMeeMefte≤()tMeft≤则所以()00d()()dtstMetFsftet≤由上式可知，只有当σ-α0时，上式右端积分才收敛，所以拉氏变换只在Re(s)＞α的区域上存在，即Re(s)＞α为拉氏变换的收敛域。2-2拉氏变换与拉氏反变换的定义例如：t、sinωt、tsinωt的收敛域为Re(s)＞0；e−at、te−at、e−atsinωt的收敛域为Re(s)＞−a；而𝑒𝑡2、t𝑒𝑡2不存在拉氏变换。但是如果18:30:342320()00tetTftttT≤≤＜＜，＞则f(t)的拉普拉斯变换存在。这是因为𝑒𝑡2只在有限的时间区间[0，T]存在，而不是0≤t≤∞。这样的信号在物理上是可以实现的，而𝑓𝑡=𝑒𝑡2（t≥0）在物理上是不可能实现的。所以，实际工程中，物理上能够实现的信号的拉普拉斯变换一般总是存在的。2-2拉氏变换与拉氏反变换的定义2.拉氏反(逆)变换由像函数F(s)求原函数f(t)称作拉氏反(逆)变换。计算公式（称为反演积分公式）为18:30:342411()[()]()d(0)2jstjftLFsFsestj该积分是沿直线Re(s)=σ的复积分。计算复变函数的积分通常非常困难。当F(s)满足一定条件时，可以利用留数定理来计算这个积分，本课程对此不做要求，但要求能够利用部分分式法将一个复变函数分解成简单的复变函数之和，然后利用拉氏变换对照表查得原函数。【注1】在做作业和考试时不要试图按上述定义式求拉氏反变换。【注2】教材11页式(2-2)中的ω应为∞。1.单位阶跃函数2.单位脉冲函数3.单位斜坡函数4.指数函数eat5.正弦函数sinωt6.余弦函数cosωt7.幂函数tn18:30:34252-3典型时间函数的拉氏变换【说明】在本课程中，计算各种时间函数f(t)的拉普拉斯变换时，f(t)的定义域一律为t≥0，并且假定t＜0时，f(t)≡0。18:30:34262-3典型时间函数的拉氏变换【提示】在计算函数f(t)的拉普拉斯变换时，可以将复变量s作为实数变量来处理，得到的结果适合于s为复变量的一般情况。但应注意到收敛域方可得到正确的结果。也要切记s并不是实变量而是复变量。例如：设f(t)=e5t（t≥0），其拉氏变换为18:30:3427(5)5(5)00